反比例函数的应用模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇反比例函数的应用，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

学会认识题目中的图形,使解题思路清楚,将题目“清晰化”

例1(漳州)矩形面积为4,它的长 与宽 之间的函数关系用图象大致可表示为()

解析:由题意xy=4,即y是x的反比例函数,图象B和C都是反比例函数图象,但图象B的自变量取值范围是x>0,选B。

例2 (兰州) 如图,在直角坐标系中,点A是 轴正半轴上的一个定点,点B是双曲线y= (x>0)上的一个动点,当点B的横坐标逐渐增大时,OAB的面积将会()。

A.逐渐增大 B.不变

C.逐渐减小 D.先增大后减小

解析:双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴不相交,在第一象限内当点B的横坐标逐渐增大时,点B到x轴的距离越来越小,所以OAB的面积将会逐渐减小。选C。

点悟:识图是学习函数图象的基础,“点动成线”即图象是由满足某个条件的无数个点组成的,而这些点的横坐标、纵坐标分别代表着函数的两个变量,因此函数的变化可以通过点的变化形成的图象直观地反映出来。

二、想图

无图想图,把数和形有机地结合起来,将题目“明朗化”

例3 (扬州) 函数y= 的图象与直线 没有交点,那么k的取值范围是( )。

A.k>1 B.k―1 D.k

解析:由解析式想图象,直线y=x经过一、三象限,而函数y=的图象是双曲线,它又与直线无交点,那么双曲线只能在二、四象限,得1-k

例4 (东营) 已知点M (-2,3)在双曲线y= 上,则下列各点一定在该双曲线上的是( )。

A.(3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)

解析:第二象限的点 M (-2,3 )在双曲线y= 上,可知双曲线在二、四象限,题中四个点只有A在第四象限,因此选A。

点悟:研究函数离不开图象,当题目中没有图象时,要能根据条件充分地想象,把“数”转化为“形”,以形助数,从而得到解决问题的方法。

三、画图

作出符合题意的图象,将题目“直观化”。

例5 (内江) 若A(a,b),B(a-2,c)两点均在函数y= 的图象上,且a

A.b>c B.b

C.b=c D.无法判断

解析:k=1>0,所以图象在一、三象限,又a

例6 (梧州)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=

(k>0)图象上的两点,若x1

A.y1

解析:k>0,所以图象在一、三象限,又x1

点悟:把数转化成形,并能画出函数图象是学习函数的基本要求之一,通过画出图象使题目直观化,这样能更好地分析函数性质,加深对数量关系的认识,有利于探求解题的途径。

四、用图利用图象的桥梁作用,把性质和解析式联系起来,将题目“互动化”

例7 (黄石) 如图所示,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,分别以A、B两点为圆心,画与 轴相切的两个圆,若点A的坐标为(2,1),则图中两个阴影部分面积的和是 。

解析:因为反比例函数图象关于原点的中心对称图形,所以A、B两点是对称点,那么整个图形是中心对称图形,得两圆的阴影部分可拼成一个圆,半径为1,所以两个阴影部分面积的和为π。

篇2

图1如图1，AC是长方形ABCD的对角线，点P是对角线BD上一动点，过点E分别做AB、AD的平行线段IF、HG，点I、F分别在AD、BC上，点H、G分别在AB、DC上。则图中阴影部分的面积相等即S1=S2。

证明如图，在矩形ABCD中，易知

SABD=SCDB。①

同理在矩形AHGD中，知SPGD=SDIP。②

同理在矩形HBFP中，知SHBP=SFPB。③

①-②-③得：S1=S2。

这是矩形学习中很容易证明的一个结论，但一类有关反比例函数的题目，用矩形的这个结论来解显得极其容易，若对这个结论没掌握好要解这类题目是不容易的，下面我们来一起学习一下这个结论在反比例函数试题中的应用.

2应用举例

图2例1如图2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k1x的图象上。若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（）

A。-2B。2C。3D。4

解法1设C（m，n），则B（-2，n），D（m，-2），因BD经过原点，得n1-2=-21m，得mn=4，所以k=4.

解法2由以上结论，易知与两坐标轴围成的一、三限象中两小矩形面积相等，由点A的坐标为（-2，-2）得小矩形面积为4，所以k=4，答案：D.

点评显然，解法一不易想到正比例函数图象上的点B、D坐标满足的关系，从而解不出k的值。若熟悉以上矩形中的结论，便可很容易求出k的值来。

例2如图2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k2+2k+11x的图象上。若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（）

A。1B。-3C。4D。1或-3

点评由结论以上，易知k2+2k+1=4，解得：k=1或-3。

篇3

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合从某种意义上说，就是将数学问题之间的条件与结论进行一定的联系，将数学问题中的代数知识和几何知识运用、体现出来，将代数的准确性以及几何的直观性都充分地表现出来，将这些考虑问题的手段有效地结合在一起，从而促进数学解题思路的拓展与提升，从而将数学问题的难度降低，帮助学生更轻松、更直观地进行解题。反比例函数自身就是一种几何与代数知识的结合，因而在进行反比例函数解题的时候，我们应当尽量多地利用数形结合思想，将初中数学反比例函数中的问题更好地解决。

例1.已知圆柱的侧面积是20π cm2，若圆柱底面半径为r cm，高为h cm，则h关于r的函数图像大致是（ ）。

我们根据已知数据并且结合圆柱的侧面积表达公式即：s=2πrh，并且2πrh=20，那么我们就可以得到h=10/πr，因此我们可以知道π与r之间是反比例关系，在解决实际问题的时候，我们还应当关注题目的实际应用，即r作为半径应当有一个潜在的取值范围即r>0，那么我们就可以知道h与r之间的反比例函数关系图象一定是在第一象限，通过已有知识的掌握，联系现实实际，我们可以将问题答案成功地求出来。在这里，我们应用到的知识主要是反比例函数的定义，即，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。我们通过圆柱侧面积的表达公式，并将题目中已经掌握的信息利用起来，求出h与r之间的关系，发现与反比例函数的定义相符，那么我们就可以判定这肯定是一个反比例函数图象，接着，我们就可以确定答案为A。当然，这道题目中的解题思考进行概括和升华之后可以是这样的：我们在进行解题时，应当先找出两个变量之间的关系，根据这个关系式我们可以画出相应的函数图象，从而能够归纳出相应的图象特征，并找到相应的函数图像。

例2.如图：A、B是双曲线一个分支上的两点，且B（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是―（ ）。

根据题目中的图像所示，我们可以得出A点的坐标为（1，2），同时我们知道B点也是这个双曲线一个分支上的一点，因此点B的坐标可以利用双曲线的函数关系式表达成为（a，2a），又因为点B位于点A的右侧，那么我们可以根据反比例函数图象在第一象限中的变化规律得出y随着x的增大而减少的结果，因此我们可以得出a一定大于1，且b一定小于2，b一定大于0，也就是b大于0且b小于2。在这道题目的解题过程中，我们主要运用的解题思路是结合我们已知的条件，从图象中寻找有用的相关信息，从而能够将已知条件转化为要求的目标，只有充分地结合图像，我们才能将所有的条件都考虑完整，不会将“b在第一象限，所以一定大于0”的信息给忽略掉，从而得出更为准确的答案。

总而言之，反比例函数作为一种重要且有效的数学解题手段，我们应当帮助学生在数学思维养成的过程中逐步学会这种思维手段，并将其熟练地运用到数学解题过程中去。对于反比例函数中比较突出的问题，包括比较大小、通过应用题目确定数值关系式等，我们应当运用数形结合的解题思想进行解题，从而达到事半功倍的解题效果，实现反比例函数的优质解题。

篇4

例1 （2013・贵州安顺）若y=（a+1）xa2-2是反比例函数，则a的取值为（ ）.

A. 1 B. -1

C. ±1 D. 任意实数

【分析】此题考查的是反比例函数的定义. y=，k≠0，x的次数为“-1”，列出方程，求出a的值.

解：y=（a+1）xa2-2是反比例函数，

a2-2=-1，a=±1，又a+1≠0，a≠-1，a=1. 选A.

【点评】紧扣概念，牢记反比例函数的三种形式：y=（k≠0）、xy=k（k≠0）、y=kx-1（k≠0），此类问题常以填空、选择题的形式出现，解题时要特别注意k≠0.

考点二 反比例函数的图像和性质

例2 （2013・南京溧水区一模）在反比例函数y=（k

-，y2，则y1-y2的值是（ ）.

A. 负数 B. 非正数

C. 正数 D. 不能确定

【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，可结合函数图像的增减性解决问题. 因为y=（k

解：由于反比例函数的图像位于二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大. 两点（-1，y1），

-，y2均在第二象限，且-1

例3 （2013・江苏南京）在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y=的图像没有公共点，则（ ）.

A. k1+k20

C. k1k20

【分析】本题是关于正比例函数与反比例函数图像性质的简单应用，根据它们图像的分布可知：①当k>0时，正比例函数和反比例函数的图像都过一、三象限，有两个交点；②当k

考点三 反比例函数解析式的确定

例4 （2013・内蒙古赤峰）如图1，在平面直角坐标系中，O的半径为1，∠BOA=45°，则过点A的双曲线的解析式是____________.

【分析】要确定反比例函数的解析式，只需知道一个点的坐标. 由于点A在双曲线上，所以求出A点坐标是解决本题的关键. 要想求出A点坐标，只需过点A向x轴作垂线构造一直角三角形，再用勾股定理便可求出其坐标.

解：设反比例函数解析式为y=（k≠0），过A作AC垂直于x轴，垂足为C，O的半径为1，OA=1，在RtOAC中，OA=1，∠BOA=45°，OC=AC，由勾股定理可求出OC=AC=，A

，，代入可得k=，y=.

【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法是中学阶段求解析式的常用方法，也是重点考查内容之一. 解答此题需运用“反比例函数图像上点的坐标特征”（点在反比例函数的图像上，则点的坐标就满足反比例函数的解析式）这一知识点.

考点四 反比例函数中k的几何意义

例5 （2013・湖南永州）如图2，两个反比例函数y=、y=在第一象限内的图像分别是C1、C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为______.

【分析】根据反比例函数中k的几何意义，得POA和BOA的面积分别为2和1，所以阴影部分的面积为1.

【点评】本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积为S=k；图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=k，解此类题一定要正确理解k的几何意义.

考点五 反比例函数的综合应用

例6 （2013・广西钦州）如图3，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=的图像交于A（-2，m）、B（4，-2）两点，与x轴交于C点，过A作ADx轴于D.

（1） 求这两个函数的解析式；

（2） 求ADC的面积.

【分析】本题是有关一次函数与反比例函数的交点问题，因为反比例函数过A、B两点，所以代入两点可求其解析式和m的值，从而知A点坐标，由A、B两点进而求一次函数解析式，从而求出C点的坐标，接着就能求出三角形的面积.

解：（1） 反比例函数y=的图像过点B（4，-2），k=xy=-8.

反比例函数y=的图像过点A（-2，m），-8=-2m，m=4，即A（-2，4）.

一次函数y=ax+b的图像过A（-2，4），B（4，-2）两点，

一次函数的解析式为y=-x+2.

（2） 直线AB：y=-x+2交x轴于点C，

C（2，0）. ADx轴于D，A（-2，4），

篇5

数学反比例函数知识反比例函数主要考察三个方面

1)反比例函数图像的性质;

2)求反比例函数解析式;

3)K的几何性质的应用。

以上几点考察基本上都是和一次函数，相似，全等，方程，圆，三角函数，勾股定理等知识相结合考察，单一命题的机会比较少同时题目也比较简单。本专题主要针对B卷类近几年考到的填空题做出总结，让同学们能够从多角度，多方位的训练。

反比例函数的定义

如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。y是x的反比例函数?函数表达式为y=k/x或y=kxˉ1或xy=k(k为常数，k≠0)。

反比例专题

我们总结出六类常考题型：

1)由反比例函数k的几何意义转化出三角形或梯形之间面积的等量关系题型。

2)由反比例函数和一次函数相交形成的线段等量关系题型。

3)由反比例函数和一次函数相交求交点坐标的题型。

4)反比例函数与相似三角形综合考察求k或线段比题型。

5)反比例函数图像的分布与k之间的关系题型

6)反比例函数与三角函数，方程(组)等有关的问题。

数学反比例函数知识2反比例性质

1规律：反比函数与一次函数(与正比例函数相交，交点关于原点对称)相交，求线段数量关系时，切记“原点O到两交点的距离是相等的”若给出反比函数解析式，那么最终求得的结果的过程肯定要转化成关于“k”的几何意义。

2规律：一次函数与反比函数相交且两函数解析式都未知，此时一次函数所在直线与交点分别于x轴，y轴做垂线的交点所连接的线段是相互平行的，同时一次函数与反比函数的交点到一次函数与x轴，y轴的交点的距离是相等的。

3规律：题目中给出线段比例和四边形的面积求k问题，利用同底等高三角形面积与高之间的关系，面积与k之间的关系。求出k(此时不用具体求出点坐标)。

4规律：有中点时利用中点坐标公式，再根据反比函数上任何一点 处的几何意义都相同的思想转化出面积问题。

5规律：若反比例函数图像经过多个点，那么在这几点处的几何意义是相同的。根据相等的关系我们可以将等积量转化成等比量。

6规律：当反比例函数与正三角形的某一边有交点时，可以根据正三角形的特性表示出该交点的坐标，从而计算出该点的坐标得到k。

7规律：当题目给出的线段之间的数量关系时，可构造直角三角形用相似的关系具体的求出点的坐标计算k的值。

8规律：当反比例函数解析式已知，而要求图像上点的坐标问题。同长情况下用全等或相似的关系将点的坐标用同一字母代数式表示出来，再利用k的几何意义求出点坐标。

9规律：直接利用面积比和相似比之间的关系确定k值。

10规律：当一次函数与反比例函数相交有特殊角度时(30°，45°，60°)或一次函数k为( √3/3 ，√3.....)时，将所给的等量数据转化成反比函数图像上点的横纵坐标乘积(不用具体求出坐标点)得k值。

11规律：巧用k值，建立方程(方程组)解答。

12规律：类似反比例函数的问题，根据题目的特殊条件不用具体计算线段的长度，应用对比，转化思想解答。

13规律：给出反比例函数解析式，应用相似比与面积比之间的关系，面积与k之间的关系解答。

学好数学的方法1.功在平时，学会总结：多做题，总结题型

考试时技巧重要，但是考试总要有平时的积累做铺垫的吧?数学的学习-平时最主要的就在于掌握知识点，多做类型题，用题目来巩固知识点，要学会用一道题型掌握一类题型。这样既节省时间，又能够灵活自如应对考试中千变万化的数学题型。

比如说数列求和部分：也就那么几个方法，构造等差等比、裂项求和、错位相减、倒序相加。有时候拿到一个题目你知道这样做，但是你不一定知道为什么要这样做，你知道这个套路就可以了。

2.考试时对试卷的把控：学会宏观把握

对于高考数学来说，大部分地区的试卷结构依次是选择题、填空题、大题。所以要根据自己实际掌握的情况，进行一个简单的分析，先易后难，把自己最有把握拿到的分拿到，那种特别难的最后再看。通过真题训练，你需要知道：选择题前几道是比较简单的，会考集合、复数、算法等(举例，仅限于个别地区试卷);从第几道题开始是比较难的，一般会考什么内容;第几道题是最难的题目。

只有这样对试卷的宏观把握，到了考场才能心里有数，并且针对自己的情况，作出具体的对策。

3.考试时间分配很重要：多拿分才是王道

有些同学是碰到一道题目，只要做不出来，就不甘心，非要把它做出来不可;还有一类学生是：一看题，不会，算了，下一道。其实这两类学生考试成绩都不会太理想，考试时一定要避免这两种极端行为，平时做题按部就班，一道一道的来，但是考试的时候以多拿分为原则。

针对这两种情况，一定要计划好自己考试的分配时间。一般来说：选择题和填空题为35-40分钟，大题一个小时15-20分钟，最后剩5-10分钟浏览考试卷，稍作检查，防止小粗心而失分。

4.熟悉题型：每种题型解题方法不一样

选择题排除，填空题猜测，大题写知识点和公式。

下面说到具体的应试技巧，当你面对一道题时，真的不知道准确答案，对于不同的题型也有不同的方法。

篇6

1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；

2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；

3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；

4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；

5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.

教学重点：

结合图象分析总结出反比例函数的性质；

教学难点：描点画出反比例函数的图象

教学用具：直尺

教学方法：小组合作、探究式

教学过程：

1、从实际引出反比例函数的概念

我们在小学学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例

即vt=S（S是常数）；

当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S（S是常数）

从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：

（S是常数）

（S是常数）

一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数．

如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数．当矩形面积S是常数时，长a是宽b的反比例函数．

在现实生活中，也有许多反比例关系的例子．可以组织学生进行讨论．下面的例子仅供

2、列表、描点画出反比例函数的图象

例1、画出反比例函数与的图象

解：列表

x

-6

-5

-4

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-1.2

-1.5

-2

6

3

2

1.5

1.2

1

1

1.2

1.5

2

-6

-3

-2

-1.5

-1.2

1

说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图

一般地反比例函数（k是常数，）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.

3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质

前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.

显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考）

（1）的图象在第一、三象限.可以扩展到k>0时的情形，即k>0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.

的讨论与此类似.

抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.

（2）函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；

从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k>0时，函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.

同样可以推出的图象的性质.

（3）函数的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出，.如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出图象的性质.

函数的图象性质的讨论与次类似.

4、小结：

本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.

5、布置作业习题13.81-4

教学设计示例2

反比例函数及其图像

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生了解反比例函数的概念；

2．使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；

3．使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；

4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式.

（二）能力训练点

1．培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；

2．向学生渗透数形结合的教学思想方法.

（三）德育渗透点

1．向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；

2．使学生体会事物是有规律地变化着的观点.

（四）美育渗透点

通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.

二、学法引导

教师采用类比法、观察法、练习法

学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.

2．教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.

3．教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.

4．解决办法：（1）中隐含条件是或；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.

四、教学步骤

（一）教学过程

提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？

由学生先考虑及讨论一下.

答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.

看下面的实例：（出示幻灯）

1．当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；

2．当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例；

它们分别可以写成（s是常数），（S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）

一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数.

即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢？

通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足（k是常数，）就可以．因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为（s是常量）．对第2个实例也一样．

练习一：教材P129中1口答．P1301

根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？

答：图像和性质．

通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后

学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．

下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）

例1画出反比例函数与的图像．

提问：1．画函数图像的关键问题是什么？

答：合理、正确地选值列表．

2．在选值时，你认为要注意什么问题？

答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；

（2）不能选，因为时函数无意义；

（3）选整数较好计算和描点．

这个问题中最核心的一点是关于

的问题，提醒学生注意．

3．你能不能自己完成这道题呢？

学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：

注意：（1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）这两条曲线不相交；

（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．

关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？

通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性．

再让学生观察黑板上的图，提问：

1．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

2．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：

对于双曲线（1）当：（1）当时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大．

3．反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？

通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．

练：教材P129中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上

上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）

例2已知y与成反比例，并且当时，，求时，y的值.

用提问的方式对此题加以分析：

（1）y与成反比例是什么含义？

由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了：.

（2）根据这个式子，能否求出当时，y的值？

（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？

（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？

答：用待定系数法，把时代入，求出k的值.

（5）你能否自己完成这道例题：

由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.

例3已知：，与x成正比例，与x成反比例，当时，时，，求y与x的解析式.

分析：一定要先写出y与x的函数表达式，

要用x分别把，表示出来得，

要注意不能写成k，

解：设，

.

由题意得

.

（二）总结、扩展

教师提问，学生思考回答：

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图像是什么样的？

3．反比例函数的性质是什么？

4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.

五、布置作业

1．教材P130中4，5，6

2．选做：P130中B1，2

六、板书设计

13．8反比例函数及其图像

引例：（1）例1：例2：例3：

（2）

1．反比例函数：

2．反比例函数的性质

探究活动

已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。

解：（1）过点B作轴于点H。

在Rt中，

由勾股定理，得

又，

点B（－3，－1）。

设反比例函数的解析式为

。

点B在反比例函数的图像上，

。

反比例函数的解析式为。

（2）设直线AB的解析式为。

由点A在第一象限，得。

又由点A在函数的图像上，可求得点A的纵坐标为。

点B（－3，－1），点，

解关于、的方程组，得

直线AB的解析式为。

令。

求得点D的横坐标为。

过点A作轴于点G

由已知，直线经过第一、二、三象限，

，即。

由此得

。

即。

（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

证明如下：

。

由，

得

解得。

经检验，都是这个方程的根。

，

不合题意，舍去。

点A（1，3）。

设过A（1，3）、B（－3，－1）两点的抛物线的解析式为。

由此得

即。

设抛物线与x轴两交点的横坐标为。

则

令

则。

即。

整理，得。

篇7

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-205-01

一、在对反比例函数的学习认识中，要首先研究了解其概念

就反比例函数概念而言，通俗来讲，一般而言，如果说两个变量的每一组对应值的乘积都是一个不为0的常数，则可以就说这两个变量成反比例。其形式可以写为y=k/x（k为常数，k≠0，x≠0），当这个函数关系成立时，该函数就叫做反比例函数。相比较一次函数，二次函数，反函数有它自己的特征和概念，二次函数的函数是二次的，而反比例函数的函数是一次的，一次函数是另外的一种函数。

在教学过程中，把建模思想运用到教学过程中，对学生的教育可以对比记忆、绘图记忆，努力融入数学思想，这样可以更好的把握反比例函数的概念，理解的也可以更深刻。

二、利用数学的建模思想，研究反比例函数的图像，然后再根据图像判断其性质，这对数学的学习和研究使很有必要的

研究反比例函数，来研究其性质和图像的特征和函数的单调性，根据反比例函数的概念和函数的表达式来研究其单调性。

根据反比例函数的表达式，描点来画其图像，可以看出反函数的图像是一条双曲线，从图像上来看，可以发现它是关于原点对称，由奇偶函数的概念可知反函数是奇函数。

而一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线，根据每个函数的表达式的不同，每种函数的图像也不相同，当然，其性质也不可能相同。反比例函数是九年义务教育中学的最后一种函数，同学们通过对其他函数的学习，对这一类函数多少已经有些了解，了解如何去研究这一类函数的性质，去研究这一类函数的图像，在教学过程中，融入数学中的建模思想，亲手自己画图像，并且研究图像，通过与一二此函数的对比研究和反复记忆，来更深刻的理解和明白反比例函数，加深对反比例函数的进一步的研究，更深刻地理解和记忆反比例函数。

三、在反比例函数的学习过程中，要充分将建模思想融入进去，并且能够根据实际情况来举例研究，这样对反比例函数本身的学习会有很大的帮助，对理解也会有很大的帮助

建模思想是数学研究中一个很重要的思想，也是在学习中对学习和知识的研究和掌握很有帮助的一种思想，学习反函数的过程中，充分运用建模思想，在学习完其基本知识后，再出一些相关的题目，或者根据生活中的一些情况进行讲解，这对反函数的认知有很大的帮助。

实时的针对反比例函数出一些题目，例如，根据性质如何来判断它是哪一种函数，或者，告诉学生们某一函数的表达式，让他们来判断是什么函数，说明其性质，并且能够准确的画出图像。性质、图像、表达式之间能够灵活的转换是学习函数、弄明白函数的一个重要的方法，一个重要的要求，这也是在数学中建模思想的要求，是数学建模思想中一项很重要的思想，即建模思想中的模型分析和模型检验。

四、数学学习中，还有很重要的一项要求即要列出重点，强调重点，这是一项很重要的工作。当然，对于反比例函数的研究与学习，也是一样的

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。所以在学习中要强调一些很重要的东西，比如说函数性质等，在反比例函数中，要突出强调其表达式，反比例函数的性质，关于原点对称，是奇数函数，并且重点研究一下它的图像，让同学们可以明白哪部分是重点，如何学习，并且要好好的学习记忆。建模思想本身就是数学类的思想，强调重点、重点记忆更是学习的一个重要手段。所以，在研究中，要把建模思想很好的融入进来。

总之，当今时代的发展，建模思想早已是数学中很重要的思想，对于九年义务的教育，对于反比例函数的学习，要掌握其概念、表达式、性质和特点，数学本身就是一门很枯燥的学科，过多的都是理论化的东西，将建模思想融入学习，对掌握反比例函数是很有帮助的，也是很有必要、很重要的。

参考文献：

[1] 朱宸材；3.4 反比例函数[J]；中学生数理化（初中版）（中考版）；2014年01期

[2] 刘玉红；反比例函数图像的一个结论及其应用[J]；中学数学杂志；2014年02期

[3] 王建霞；反比例函数的图像和性质（第二课时）[A]；河北省教师教育学会第一届教学设计创新论坛论文集[C]；2011年

篇8

例1 当m为____时,函数y=(m+1)x 是反比例函数.

错解:根据反比例函数的定义可知,m2+3m+1=-1即m2+3m+2=0.解得m1=-1,m2 =-2.

错因分析:忽略了y=kx-1中k≠0的条件.m不仅要满足m2+3m+1=-1,而且还要满足m+1≠0.

正解:根据题意可知,m2+3m+1=-1且m+1≠0,解得m = -2.

点拨:出现以上错误的原因是忽视反比例函数y=kx-1 中的比例系数不为零的条件.这是命题者常设的陷阱,也是同学们常犯的错误,应引起高度重视.

二、利用反比例函数的性质设置陷阱

例2 已知点A(x1,y1 )、B(x2,y2)是反比例函数y= ( k>0)图像上的两点,若x1

A.y1< 0

C.y1< y2

错解:因为点A(x1,y1 )、B(x2,y2)是反比例函数y=图像上的两点,且k>0,当x1

错因分析:当k>0时,反比例函数的图像在第一、三象限内,且在每一象限内,y随x的增大而减小,而点(x1,y1),(x2,y2)不在同一象限内,因而不能由x1

正解:k>0,y随x的增大而减小,且函数图像分布在一、三象限内.

由题意可知点(x1,y1)在第三象限,点(x2,y2)在第一象限,

所以y1< 0

点拨:本题利用反比例函数的性质设置陷阱,应熟练掌握反比例函数的性质并能正确应用加以比较.

例3 如图1,一次函数y1=x-1与反比例函数y2 = 的图像交于点A(2,1),B(-1,-2),则使y1 >y2 的x的取值范围是().

A. x >2 B. x>2或-1

C.-1

错解: A.

错因分析:由于反比例函数的图像在第一、三象限,与直线有A、B两个交点,因此要比较两个函数值的大小,必须把x的范围划分成四个区间来考虑:①x

正解:B.

点拨:要使一次函数值大于反比例函数值,一次函数的图像应在反比例函数图像之上.数形结合观察,在由交点坐标划分的四个区间中,有两个区间满足条件.命题者正是利用同学们在进行分类时会考虑不周设置陷阱.

三、利用自变量取值范围设置陷阱

例4 在函数y=中,自变量x的取值范围是().

A. x< B. x≠-

C. x≠ D. x>

错解:是分式, x> ,

自变量x的取值范围是 x> .

错因分析:本题自变量取值范围不是3x-1>0,而是3x-1≠0即x≠.

正解:C.

点拨:命题者利用同学们思维记忆上的混淆设置陷阱.在求函数自变量的取值范围时,应熟练掌握反比例函数的意义.

四、利用图像设置陷阱

例5 若ab

错解:ab

错因分析:由已知条件ab

正解:由已知条件可知a、b异号,故可排除A、D两项;又因为正比例函数y=ax经过原点,可排除C,故正确答案为B.

点拨:命题者利用正、反比例函数中的系数设置陷阱,解题的关键是分析a、b的符号情况,结合正、反比例函数图像的形状及其与坐标轴交点等特征逐一筛选.

五、利用隐含条件设置陷阱

例6 矩形面积为4,它的长y与宽x之间的函数关系用图像大致可表示为().

错解:由题意可知,xy=4,所以y= ,所以函数图像分布在第一、三象限,故选择C.

错因分析:忽视了自变量x>0的条件.

正解:由题意可知,xy=4,所以y=,其自变量x的取值范围为x>0,其图像只能取第一象限的那一支曲线,故正确答案为B.

点拨:利用实际问题中的隐含条件设置陷阱.在求解实际中的反比例函数问题时,一定要注意自变量的取值范围.

六、利用图像的特殊性设置陷阱

例7 如图2,已知点C为反比例函数y=-上的一点,过点C向坐标轴引垂线,垂足分别为A、B,那么四边形AOBC的面积为________.

错解:设点C点坐标为(m,n),

点C在y=-的图像上,

n=-,mn=-6.

S矩形AOBC=AC•AO=-6.

所求四边形的面积为-6.

错因分析:对反比例函数的图像性质掌握不牢.图像在二、四象限,k应为负数.因为点C(m,n)在第四象限,m0,即 mn

正解:设C点坐标为(m,n),

C(m,n)在y=-的图像上,

mn=-6.

S矩形AOBC=AC•AO=-6=6.

所求四边形的面积为6.

点拨:反比例函数y=(k≠0)的特征是两个变量y与x的乘积是一个常数k.由此不难得出反比例函数的一个重要性质: 如图3,若点A是反比例函数图像上的任意一点,且AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C,则矩形面积S矩形ABOC=|k|.连接OA,则三角形AOB的面积为SAOB=|k|.

这一性质在求反比例函数图像上一点与两坐标轴围成图形的面积或由面积求解析式问题中有着重要的应用.

七、利用实际问题设置陷阱

例8 一个直角三角形的两直角边长分别为x、y,其面积为2,作y与x之间的函数图像.

错解:y与x之间的函数关系式y= .列表略.

描点连线得图像(如图4).

错因分析:实际问题中的反比例函数自变量取值要使实际问题有意义,本题中的自变量x表示直角边,即x>0,所以第三象的分支应舍去.

正解:y与x之间的函数关系式为y=(x>0).

篇9

1.反比例函数和一次函数结合

中考中反比例函数和一次函数结合的这种题型比较多见，通过查阅近两年中考题，我们可发现，每个省的中考题中均会有这一题型的相关考题出现.这一类的考题可在中学课本中找到原型，具体如下：

练习题一：正比例函数y=x图像和反比例函数y=k/x的图像有一个交点，纵坐标为2，求：（1）当x=-3时，反比例函数y的值；（2）当-3

分析：从本题已知信息中可以看出，两个函数图像有一个交点，其坐标是（2，2），由此可知反比例函数k为4.在解析（1）时，将x=-3带入到反比例函数中，经解析可得y=-4/3.第（2）题在解析时，只需代入x=-1至反比例函数，可得y=-4，由此获知y的取值范围为-4

在中考中，反比例函数与一次函数结合的中考题考查的内容包括以下几点：待定系数法求解析式；求三角形面积、对函数值大小进行比较、求取函数值或自变量取值范围，等等.

我们对中考题进行分析，看怎样利用上述思路解决中考中的相关反比例函数问题.

例题1（2011年河南卷）：如图1所示，一次函数y=kx+2和反比例函数y=k/x图像，两图像在A（4，m）、B（-8，-2）处相交，和y轴交于C点.求解：（1）k与k的值；（2）根据函数图像分析，若y>y，则x的取值范围是多少？（3）过点A作AD与X轴在点D垂直，点P为反比例函数第一象限内图像中的一点，假设直线OP和线段AD在点E相交，若S∶S=3∶1，点P坐标是多少？

解析：第（1）题的答案是1/2，16；第（2）题答案或x>4或-8

因为S∶S=3∶1，所以S=1/3×12=4.故而OD・DE为4，DE为2，可得点E坐标（4，2）.由于点E位于直线OP之上，故OP解析式为y=1/2x，可得OP和y=16/x图像于第一象限内交点P坐标是（4，2）.

2.反比例函数增减性分析

练习题二：如图2是反比例函数y=（n+7）/x图像中的一支，根据图像对下述问题进行解答：（1）图像另一支所处象限是哪个象限？常数n取值范围是什么？（2）在这个函数图像的某一支上任取点A（a，b）与B（a’，b’），若a

这一问题的重点在于对反比例函数增减性加以考查，也即“y在x增大时增大或减小”.由于反比例函数自变量不可是0，故而其增减性并非在整个定义区域范围中得以表现，而是仅仅在每个象限中表现出增减性，这同样是中考重点考查内容.

我们选取2010年台州的一道考题进行分析：

例题2：反比例函数y=6/x图像上有三个点三者间的关系是（）

得知要研究的点并非处于同一象限内，因此不可根据“y随x增大而减小”这一规律进行判断，需通过画图将这一问题解决，因此答案应选B.

3.k几何意义分析

练习题三：下列哪个等式内y为x反比例函数？

y=4x；y/x=3；y=6x+1；xy=123

篇10

函数知识是初中数学教学中的重要内容，既是重点又是难点。它将方程、不等式等知识有机结合起来，是整个初中代数知识的“桥梁”。反比例函数是在已经学习了直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，它的研究是对一次函数和正比例函数的研究经验和方法的迁移应用，为学生研究二次函数及其他函数提供了研究经验和方法，在初中函数知识的学习中起着承上启下的作用。

二、学情分析

1.学生已经学习了反比例关系、分式、函数及一次函数的内容，对函数已经形成了初步认识。但由于函数是比较抽象的概念，学生不可避免地会有所遗忘，因此，教学中对于一些上位的相关知识要进行适当的复习。

2.对于此类抽象概念，许多学生仅仅是机械记忆、模仿练习，缺乏对概念本质的理解，因此在解决问题时不能举一反三。于是，教学中要关注反比例函数的实际背景及形成过程，从学生已有的知识和生活经验出发创设情境，让学生通过观察、比较、归纳、举例等活动，逐步抽象出反比例函数的概念，从而激发学习的兴趣，提高学习的主动性。

三、目标预设

1.从现实情境和已有的知识经验出发，感悟生活中不同的函数关系。

2.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念。

3.了解反比例函数的常见形式，会判断一个函数是否为反比例函数，会确定比例系数。

4.能根据已知条件确定反比例函数的表达式。

5.感悟函数思想、整体思想。

6.通过小组学习培养学生的自主学习能力，提高学习的兴趣，增强合作精神。