质数和合数的概念模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇质数和合数的概念，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

小学数学质数和合数的概念描述如下：

1、质数又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

2、合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。

（来源：文章屋网 ）

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概念的引入是数学概念性教学的第一步，就如第一印象在人际交往中重要性一样，数学概念的引入对于整个数学知识框架的学习而言至关重要。在进行初中数学概念性教学之前，必须先明确数学概念的两种基本形式：直观性概念和抽象性概念。

（一）实物法——直观性数学概念引入的常用策略

直观性概念的特点在于：直观明了、通俗易懂，然而此种概念的引入需要注意的是概念的混淆，因而采用实物法进行概念引入有助于帮助学生辨别相似概念、区别概念本质。

例如，在进行三角形的概念性教学时，等腰三角形和直角三角形的概念引入的关键在于这两者概念的区别，对此，教师可以利用三角形的模型进行概念引入，比如七巧板拼出等腰三角形和直角三角形，两边相等的三角形是等腰三角形，有一个内角为90°的三角形为直角三角形。等腰三角形和直角三角形的概念引入教学中，需要注意的一点是这两组概念具有交叉集，有一种三角形兼具两种三角形的特质，那就是等腰直角三角形，因此直观性概念教学中应该特别注重概念的共性和个性，既保证学生能够清楚区分相似概念，又能帮助学生依托相似概念扩展数学概念体系。

（二）媒介法——抽象性数学概念引入的常用策略

抽象性概念的特点在于：文字和数学符号、公式有机结合，导致概念理解难度高，此种概念的引入需要注意的是化解概念的抽象性，而媒介法就是糅合现代先进的多媒体教学手段，具象地呈现概念的分化和递进的过程，能够让学生直观地了解抽象性概念的形成过程。

例如，在进行一次函数的概念性教学时，就可以运用多媒体教学手段，以应用实例为依托，比如出现在教材中的例题：某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度之内，所挂物件的质量x每增加1千克，弹簧长度y就增加0.5厘米，弹簧长度y与所挂物件的质量x之间所存在的关系就是一次函数关系，利用flash动画手段可以将y与x的方程曲线具象呈现，再对照曲线图深入讲解“一次函数”的概念，将有利于帮助学生领悟和消化这一抽象性概念。

二、数学概念的延伸——概念性教学的拓展，扩展概念认识体系

数学概念的延伸，就是学生进行概念深层涵义的挖掘和探索，对数学概念进行多方位、多角度思考，从而帮助学生拓展数学概念性思维的深度和广度，为学生之后的数学原理和数学思想的学习夯实基础。从本质而言，数学概念的延伸其实包含概念的强化、拓展和迁移，同时向学生传递一种数学思想：数学概念并不局限，概念的定义和解释取决于观察问题的角度、方位和层面，学生在概念认识和分析中要学会灵活运用、全面深入思考。

例如，在进行线段的垂直平分线的概念性教学时，在学生理解并掌握垂直平分线概念的基本含义（一条线段与一条直线相交形成的四个角中有一个角是直角，且一条线段被另一条直线分成相等的两段）的基础上，就可以对这个数学概念加以延伸、拓展和强化，比如线段的垂直平分线意味着一条线段与一条直线相交，所成的角均为90°，再将这个概念放到图形中去理解，比方等腰三角形底边上的高垂直平分底边，这是普通三角形不具备的性质之一，通过这样的概念性教学的拓展，学生有机会换一种方位去进行概念理解，从而认识这个概念应用的不同形式和情况，深化学生的数学概念认知，扩展概念认识体系。

三、数学概念的应用——概念性教学的巩固，夯实概念认识体系

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中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）07-029-01

我在数学教学中经常会发现这个问题：学生自认为上课听懂了，但在涉及到独立解题时又感到千般思绪，万般无奈。产生了一种“懂”与“做”之间的障碍。于是我尝试了以下方法，收到了不错的效果。

一、新概念提前预习

在每次新课前，我都要提前给学生提出明确的目标任务，让学生带着问题去预习。首先围绕基本概念、原理、法则、规律、公式等阅读教材，了解本课的目标、重点与难点以及与旧知识间的内在联系，重点读定义的字、词、句。其次做课后练习题，目的在于检查自己的预习效果和水平，找出自己不懂或不足的地方，然后带着问题去听课，并发现先前的知识没有掌握时，及时补上来。在预习过程中做好预习笔记，将自己的思维成果记录下来。这样既培养学生了独立解决问题的能力，又便于教师根据学生预习情况，有目的、有重点的精讲教材的有关内容，提高课堂效率。

二、新概念及时练习

一般地在教学一个新概念之后，教师宜及时地针对概念的本质特征选择一些课内外练习题是完全必要的确。

例如在讲了集合概念后，针对集合概念的三个本质特征：①集合是指具有某种属性的一些对象的全体，而不是指其中的个别对象；②集合中的元素是确定的，即可以确切地判断一个对象属于还是不属于这个集合；③集合中的元素是彼此不相同的，即一个元素在同一集合里不能重复出现。可以选择下列练习题

问题一：以下各题是否正确，为什么？（1）由班上不高不矮的人能组成一个集合；（2） 是方程 的解的集合；（3） 是方程 的解的集合；（4）1，2，3，1，4五个数构成一个集合

三、相关概念结合练习

数学知识的系统性很强。对于数学概念来说，一些旧概念都是某些新概念的基础，新概念则是由旧概念增加新的属性而建立起来的，新旧概念之间既有区别，又有联系，教师在讲解一个新概念之后，应把与此相关的旧概念结合在一起，选择练习题，让学生练习。

四、易混概念对比练习

对于容易产生混淆的概念，要引导学生用对比方法认识它们之间的区别和联系。显然，这不仅要求教师讲授时应充分应用对比方法，讲清易混概念之间的相同点和相异点；而且必须加强对比练习，才能使学生泾渭分明。练习题应选择那些易于比较的题目，使学生通过练习，既掌握它们各自的特点，又能区别它们的异同。

五、重点概念着重练习

数学概念，由于它们在数学知识体系及其应用中具有不同的地位和作用，总是有主要与次要、关键与一般、难学与易学之分。所以要使学生学好数学基础知识，必须突出重点、抓住关键，解决难点。这不仅应该体现在教师的讲解上，还应体现在对练习的要求上。对于重要概念的练习，要在题目的数量和质量的选择两方面下功夫。一般地说，在讲了一个新的重要概念之后，选配一些比较简单的练习题用以增强学生对新概念的理解。然后，在此基础上由浅入深、由易到难，逐步配备一些较为复杂的题目，以培养学生应用概念全面分析和正确解答问题的能力。

六、枯燥概念趣味练习

在事件的相互独立性的教学中，我用了“三个臭皮匠顶个诸葛亮“这个故事引入 ，学生很感兴趣，我顺水推舟，布置了这样的练习题：已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，求：①老大、老二、老三都能解出的概率；②老大、老二、老三恰有一人能解出的概率；③老大、老二、老三至少有一人能解出的概率；④老大、老二、老三都不能解出的概率；⑤老大、老二、老三至多一人能解出的概率；

七、抽象概念实践练习

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现阶段初中学生比以往的同龄人具有知识接触面更广，思维更开阔，个性化更强，更乐于接受新事物的特点，他们已不满足于循规守旧.近年来，全国各地推广的课改、素质教育等新的教育理念，都是力求“改变”，以适应时代的发展.数学教师也要适应这种变化.首先，教师要改变过去的教学模式，向学生展示一个丰富多彩的数学世界以及构成我们现代社会的有形和无形的各方面的应用.从小到小商贩谋生算数，大到卫星上天，都和数学密不可分.数学的应用价值是显而易见的.人人都有机会用到数学，正如新课标所提出：“使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学；人人都获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展.”

教师有意识地传授数学的基础属性，使数学脱离抽象、枯燥，引导学生发现数学的美感，增强学生对数学的关注和浓厚的兴趣.兴趣是学好数学的先决条件，也是识记数学概念和性质的主动力.要做到这一点，要求教师平时多收集相关的素材，精心编排，利用授课、活动等机会，适时地灌输、展示给学生，使学生相信数学，喜欢和理解数学，运用数学.

例如，学到“平移”这个概念时，首先给学生展现一些收集到的图片、花边、剪纸等有关素材，让学生感受数学的美感，再让学生观察、关注日常生活，看看在哪些地方用到了平移.

学生A：小芳衣服上的花纹.

学生B：汽车在笔直的公路上行驶

……

学生踊跃发言后，让全体学生评判，补充，然后老师点评，接着让学生分组讨论平移的性质，利用平移的有关知识画图或剪纸设计美丽的图案，并在教室里展示，然后选派小组代表发言说明设计理念.

通过上述的教学环节，增强学习数学的兴趣，让学生在自主探究、合作交流和动手操作的活动中运用数学，识记概念和性质.

二、用多种活动切入数学概念和性质的学习

心理学家研究表明，学生看到直观、新颖、有震撼效果的信息时，相对于抽象、平淡的信息，脑神经元会出现兴奋，产生更多的化学物，记忆的“痕迹”更深.“看一看、读一读、听一听、做一做、辩一辩、教一教”活动正是按照这一原理设立的.教师引入数学概念时，要精心设计，利用课件、教具等直观、熟悉的物件，现场示范模拟概念，在活动中开展概念和性质的学习.

例如，在“圆”的概念和性质学习时，教师通过让学生观察实物、教具，运用多媒体向学生展示圆的形状，给学生直观的感受.然后，组织大家开展自由辩论，鼓励学生就“圆”举出更多的生活实例和用途.最后，引导学生用教具画出圆形，引入“圆”的概念，并大声朗读有关“圆”的概念和性质.同时分组探究“圆”的相关概念和性质.如，“圆是轴对称图形”、“垂径定理”等.教学过程中，以学生为主体，教师以引导、组织为主的课堂，使学生真正地融入场景中，使“圆”的概念和性质反复地刺激学生的兴奋中心，最终发挥出最大的识记效能.

三、用充分消化、理解来识记数学概念和性质

通过活动引入了概念，学习了性质，但要记住这些知识还需巩固.记忆理论认为，对一种知识没有很好地理解就不能有效地编码并把它记住，只有将新学知识经过大脑进行进一步消化、理解，将新知识和人脑中的原有记忆知识结合，使之规则化和系统化，才能发挥最大的识记能力.所以，教师一定要引导学生深入地理解数学概念和性质，通过提问、辩论、竞赛等形式，加强知识的识记力度.

四、用多次复习来进一步加强识记数学概念和性质的能力

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[中图分类号] R544.1 [文献标识码] A [文章编号] 1674-4721（2016）12（a）-0028-04

Effect of Enalapril combined with calcium carbonate vitamine D3 on bone mineral density of elderly patients with essential hypertension and osteoporsis

CHEN Ping-jun WANG Xia HUANG Xiao-hong

Department of Geriatrics，the First People′s Hospital of Jiujiang City in Jiangxi Province，Jiujiang 332000，China

[Abstract]Objective To observe the effect of Enalapril combined with calcium carbonate vitamine D3 on bone mineral density（BMD） of the elderly patients with essential hypertension and osteoporosis.Methods From May 2014 to December 2015，a total of 63 elderly patients with essential hypertension and osteoporosis in our hospital were selected as study object and randomly and double-blindly divided into group A （n=32） treated by Enalapril with calcium carbonate vitamine D3 and group B （n=31） without Enalapril.The two groups were observed for one year，the levels of 25-OH-vitamin D，serum calcium （Ca2+），serum phosphorus （P），alkaline phosphatase （ALP），parathyroid hormone （PTH），osteocalcin were measured before and 3，6，9，12 months after treatment.Bone mineral density （BMD） of lumbar vertebrae and neck were measured before and after treatment.Results There was no significant difference in baseline values of serum parameters between two groups （P>0.05）.The total serum 25-OH-vitamin D levels in two groups were increased 12 months after treatment，and which 9 and 12 months after treatment was significantly higher than the baseline values，however，the levels of 25-OH-vitamin D in two groups were lower than normal value（30 ng/ml），there was no significnt statistical difference in the levels of 25-OH-vitamin D between two groups（P>0.05）.12 months after treatment，serum Ca2+ levels of two groups were elevated and within the normal range，no hypercalcemia occurred；serum Ca2+ levels of two groups 6，9 and 12 months after treatment compared to the baseline values were significantly increased （P0.05）.Osteocalcin，PTH，ALP，P compared with baseline values did not change significantly，there was no significant difference between two groups （P>0.05）.BMD （L1-4） value after treatment for one year in group A was significantly higher than that before treatment （P0.05）；after treatment for one year，BMD （L1-4） between two groups were compared，and the difference was statistically significant （P0.05）.Conclusion BMD value was obviously increased in the elderly patient with essential hypertension and osteoporosis who have taken Enalapril and calcium carbonate vitamine D3 after treatment for one year.

[Key words]Essential hypertension；Osteoporosis；Bone mineral density；Enalapril

肾素-血管紧张素系统（renin-angiotensin system，RAS）存在于骨组织并参与骨代谢疾病的发病过程。血管紧张素（angiotensin，Ang）Ⅰ与Ⅱ与骨质疏松发生密切相关，AngⅡ激动过氧化物酶体增殖物激动剂受体使骨吸收增加而骨形成减少[1]。多数研究者一致认为RAS抑制剂可增加骨形成，减少骨量丢失，然而临床研究血管紧张素转换酶抑制剂（angiotensin converting enzyme inhibitor，ACEI）对骨密度（bone mineral density，BMD）的作用存在不一致性。本研究选择我院住院及门诊高血压并骨质疏松患者为研究对象，旨在探讨依那普利联合维生素D3对BMD的影响，现报道如下。

1对象与方法

1.1对象

选择2014年5月～2015年12月我科住院及门诊的63例老年高血压并骨质疏松患者为研究对象，年龄67.5～85.8岁，平均77.3岁，随机、双盲分成A组和B组。A组32例中，男22例，女10例；年龄67.5～82.7岁，平均75.3岁。B组31例中，男18例，女13例；年龄69.6～85.8岁，平均76.1岁。两组一般资料比较，差异无统计学意义（P>0.05），具有可比性。

评定标准：①符合中国高血压防治指南（2010版）之原发性高血压诊断标准[2]，收缩压≥140 mmHg和（或）舒张压≥90 mmHg。②BMD测定标准，参照WHO推荐的诊断标准，基于双能X线吸收法（DXA）测定。BMD值低于同性别、同种族正常成人的骨峰值2.5个标准差为骨质疏松症，即BMD≥-1 SD为正常，-2.5 SD

排除标准：继发性高血压；继发性骨质疏松；有肿瘤或Paget病（畸形性骨炎）；患有糖尿病、甲亢、甲旁亢等内分泌性疾病；患有卵巢及子宫切除术等影响骨代谢疾病者；半年内曾使用过激素或其他影响骨代谢的药物者；不愿参加干预及随访者。

1.2研究方法

所有病例均进行常规项目检查：①测血压、体重、血常规、生化等。②BMD测定，采用美国进口双光能X线骨密度检测仪（型号：DPX-NT）对所有患者进行腰椎L1～4和股骨颈（neck）BMD测量。采用罗氏化学发光法测定血清25（OH）D水平，并测定骨转换指标[钙、磷、碱性磷酸酶（ALP）、甲状旁腺激素（PTH）]。③A组患者口服依那普利（扬子江药业集团江苏制药股份有限公司）+碳酸钙D3，B组单纯口服碳酸钙D3。两组观察1年，测定治疗前及治疗后3、6、9、12个月的血清指标及治疗前后的BMD情况（腰椎L1～4和股骨颈BMD测量）。

1.3统计学处理

采用SPSS 13.0统计软件对数据进行分析，计量资料用均数±标准差（x±s）表示，采用t检验，计数资料用百分率（%）表示，采用χ2检验，以P

2结果

2.1两组血清指标基线值的比较

两组各血清参数基线值比较，差异无统计学意义（P>0.05）（表1）。2.2两组治疗前后血清骨代谢指标情况的比较

两组治疗后3、6、9、12个月总血清25（OH）D水平均呈上升趋势，治疗后9、12个月较基线值显著升高（P0.05）。治疗后12个月，两组血清Ca2+水平均有不同程度升高，均在正常范围内，无高钙血症发生；A组、B组治疗后6、9、12个月较基线值显著升高（P0.05）。骨钙素、PTH、ALP、P较基线值均无明显变化，两组比较差异无统计学意义（P>0.05）（表2）。

2.3两组BMD值治疗前后的比较

A组治疗后1年的L1～4 BMD值^治疗前显著升高（P0.05）（表3）。

3讨论

高血压和骨质疏松是老年患者中常见共存疾病，在与非高血压患者的对比研究中认为合并高血压的患者易患骨质疏松的危险性增加[3-4]。交感神经兴奋释放儿茶酚胺，导致血压升高，通过刺激成骨细胞，对骨代谢有负性调节作用[5]。同时近年来不断有研究[6-8]表明降压药物在控制血压的同时，对骨质疏松症具有一定的改善作用。其中发现RAS存在于骨组织并参与骨代谢疾病的发病过程[9-10]。AngⅡ能通过ERK信号通路和cAMP信号途径诱导成骨细胞表达核因子κB受体活化因子配体，损害成骨细胞，增加破骨细胞数量，最终骨量下降，骨微结构破坏[11-12]。AngⅡ也可能通过降低离子钙和增加甲状旁腺激素水平影响钙代谢。由于骨组织RAS的活性升高，其活性肽AngⅡ的生成增加，AngⅡ显著增加多核破骨细胞与成骨细胞通过细胞外蛋白激酶RANKL表达上调[13]。ACEI可抑制AngⅠ并阻止AngⅠ转换成AngⅡ，使AngⅡ水平下降，从而使BMD增加。动物实验证实ACEI可使骨组织ACE、AngⅡ、肾素等RAS组分的蛋白表达水平都明显降低，可明显提高血磷和血清骨钙素（骨形成指标）水平，具有潜在的调控骨转换速率的作用。

多项临床研究[14-16]数据显示，ACEI可以在改善BMD方面发挥积极作用。同时国内在ACEI应用动物小鼠试验中也得出ACEI能部分改善骨组织的负转换状态，有助于骨质疏松的治疗[17]。一项流行病学研究和对老年人开展的横断面研究[18]，发现ACEI具有增加骨量和降低骨折风险的作用。本文选择对象为年龄>67岁的老年患者，对比研究发现，骨质疏松患者联合服用依那普利片和碳酸钙D3后，A组股骨颈BMD明显提高，进一步支持ACEI可改善骨质疏松，降低骨折风险的论点。本文两组维生素D水平尽管较基线值升高，但仍低于正常水平值30 ng/ml，可能与口服维生素D剂量不足、老年患者胃肠吸收相关。ALP和骨保护素是反映骨形成的两个重要指标，两者的提高可抑制骨吸收，促进骨形成。本文两组血清钙水平较治疗前明显升高，无一例高钙血症，无任何不良反应事件发生。

依那普利联合碳酸钙D3干预研究1年后，A组的BMD值有显著上升。依那普利在治疗高血压的同时，可能有效地发挥对骨质疏松症的改善作用，但还需要进一步临床研究证实其产生的效益。

[参考文献]

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一、引言

熟语是构成汉民族丰富语言体系的方言中最为突出的语言特色之一。《现代汉语词典》对“熟语”的定义是“固定的词组，只能整个应用，不能随意变动其中成分，并且往往不能按照一般的构词法来分析，如：慢条斯理、无精打采、八九不离十等。”《辞海》（1999）给出的定义是：“语言中固定的词组或句子，使用时一般不能任意改变其组织，且要以其整体来理解语义，包括成语、谚语、格言、惯用语、歇后语等。”由此，熟语的基本特征可归纳为：结构固定、意义完整、富有哲理。前人的研究主要集中在熟语特征及翻译、中西方熟语的比较、熟语的分类及其中的隐喻等，且着重宏观层面研究，鲜有涉及微观层面即方言中的熟语。方言的历史远于普通话的历史，方言中的熟语才真真正正是千百年来汉民族经验和智慧的结晶。

Fauconnier与Turner创建的概念整合理论中的“概念整合”是在自然语言意义构建过程中的一种极为普遍的认知过程。王文斌（2004）认为，概念整合理论是关于言语交际过程中各心理空间相互映射并产生互动作用的系统性阐述，其宗旨是试图揭示言语意义在线构建背后的那座认知冰山。本文以台州方言中的熟语为研究对象，运用概念整合理论，分析台州人民脑海中存在的地方熟语意义的心理表征，进而探讨其背后动态的意义构建过程。

二、台州熟语与概念整合理论

（一）台州熟语

熟语用简短但富有地方特色的语言来反映富有哲理、耐人寻味的道理；它是一种特殊的语言形式，是我国民间最为宝贵的语言文化特色之一；它反映了汉民族的思想内容，具有较强的民族特色和地方特色。自古以来，我国有很多精彩的熟语流传下来，社会的发展促进了熟语数量的增加。

前贤侧重研究普通话中的熟语，却忽视了方言中的熟语。方言是中国语言最重要的组成部分。台州位于浙江省东南部，四面环山，交通不便，以农业劳作为主。所以，台州方言由于与外界缺乏交流而富有极强的地方特色。

（二）概念整合理论

概念合成理论的滥觞者是以Fauconnier和Turner为代表的一批美国学者。“概念合成”是指心理空间的合成，其中的心理空间，汪少华（2001）认为是指人们进行思考、交谈时为了达到局部理解与行动之目的而构建的小概念包”。王文斌（2007）认为，心理空间指人们进行交谈和思考时为了达到局部理解与行动的目的而构建的概念集。简言之，概念合成指将两个或两个以上空间中的部分结构整合为合成空间中带有层创特性的一个结构，运用在线的、动态的认知模式来构建意义。它是人类进行思维和活动，特别是创造性思维和活动时的一种认知过程。Fauconnier（1997、2002）指出，概念整合理论可用来解释各种语言现象，如隐喻、转喻、虚拟句、指示代词、语法结构等。

概念合成一共包括四个相互联系的心理空间：两个输入空间（输入空I和输入空间II），一个类属空间和一个合成空间（见图1）。

图1（转自廖扬，2007）

下面对图1作简单说明（引自王文斌：2007）：输入空间I指隐喻中的始源域，输入空间II指隐喻中的目标喻。这两个输入空间包含来自范围的相关信息，也包含文化、语境及其它背景信息。类属空间是一个较为抽象的组织和结构，包含来自于两个输入空间抽取出来的相匹配的相似的语义特征。合成空间指从类属空间中继承事件与结果的关系，并将两个输入空间中的成分和结构有选择地对应起来，进而形成一个在一定程度上有别于原输入空间的概念结构。合成空间中方框所指的新显结构指当两个输入空间部分而又选择地被映射到合成空间结构后，通过三种相互联系的方式，即“组合”“完善”和“扩展”的共同作用而产生的结构。这个新显结构的产生过程就是意义的演变和形成过程。

三、台州熟语的概念合成阐释

熟语既有字面意义，又有隐喻意义。熟语的使用语境已经超越了最初的语境，使得其意义与现实世界中所指的现实事件联系起来。张辉（2003）指出，熟语的初始来源域和抽象目标域可根据话语语境纳入到熟语空间中去，并在熟语空间与话语感知空间的整合中影响到熟语的理解和意义建构。王红梅和董桂荣（2006）认为，语境在熟语等理解中具有重要作用，语境可以为意义的即时构建提供具体信息，促成层创结构（即新显结构）的产生，从而完成概念整合。因此，熟语空间和话语感知空间的共同整合导致了熟语意义的产生。运用概念整合理论，我们能从一个全新的视角来理解和阐释台州熟语的认知动因和推理机制。下面以几条台州人民口语中常用的熟语为例，分析说明其中的动态意义构建过程。

（1）邻居A：谁把我家的桌凳拿走了，讲都不讲一下，让我找也找不到。

邻居B：不要担心，这些东西不会丢的。你不在家时，可能有人过来拿去用一下啦。

邻居C：（邻居C过来归还桌凳时）：大姐，我来借的时候，你不在家里。事情比较急，我就先拿去用啦，你不要生气，偷秧弗是贼。

输入空间I：字面意义上的“偷秧弗是贼”是对种田人而言的。该熟语的意思是“偷秧的人不是小偷”。农民在插秧时节偷秧往往是为了缓解燃眉之急，那时被偷秧的农民对此是理解和包容的。所以，当人们急需某物而没有，无奈拿了他人的东西时，会用这个俗语来进行辩解。这个熟语字面意义包含了各种成分：“偷秧的农民”“偷秧的农民的选择”“秧”“丢失秧的农民”。

输入空间II：邻居C（拿桌凳的人）、邻居C的选择、“桌凳”、邻居A（丢桌凳的人）。

类属空间：行为者、行为者的选择、行为者所拿去的东西、受损害的人。

合成空间：拿桌凳的人是情有可原的，应该得到理解，不应该受到责备。

对熟语“偷秧弗是贼”，听者头脑中会产生两个输入空间。一个是由当时的语境相关的话语感知空间，其成分包括邻居C、邻居C的选择、“桌凳”、邻居A；另一个是熟语本身构成的熟语空间，其成分包括“偷秧的农民”“偷秧的农民的选择”“秧”“丢失秧的农民”。类属空间对以上两个空间的共有组织和成分结构进行抽象概括，并通过语境的作用使两输入空间相互匹配和对应连接，使得输入空间II中的成分赋予新的涵义和价值，使成分得到压缩，在心理空间之间相互映射，生成一个新的突显结构，使熟语得到了具体语境下的解读。因此，邻居C的隐含意思：为解燃眉之急，邻居之间应该相互理解。当急需某物而又难以联系到物件的主人时，可以先拿走东西用一下，被拿走的那一方应予以理解。

运用该熟语，邻居C隐含且委婉地说明了自己不应该受到责备。如此使用，邻居C既维持了自己的面子，又取得了邻居A的谅解。我们对习语的理解是一个瞬间过程，但在理解背后，是通过动态的在线推理才得到的相关结果。其概念整合网络如下图：

图2

（2）学生的家长A：你帮我跟领导讲一下吧，这件事情是我家小孩错了，他不应该去玩游戏。帮我求情一下啦。

学生的班主任B：你知道校长的脾气的，和他讲是没有用的。你让我去求情，不就是牵牛上板壁，我也做不到的。

输入空间I：“牵牛上板壁”意思和“赶鸭子上架”类似。该熟语意思是“让牛上板壁是不可能的事情”，说明这个牵牛人了解牛。寓意是某人在不知道另外一个人能力的情况下强迫他做超出能力范围的事情。这个熟语字面意义包含了多种成分：“牵牛的人”“牛”“牵牛人强迫牛做的事情”。

输入空间II：“学生的家长A（找人帮忙办事的人）”“学生的班主任B（被要求帮忙办事的人）”“帮A的小孩跟校长求情”。

类属空间：行为发出者、行为承受者、发出的行为。

合成空间：不能要求别人做其能力范围之外的事情。

对熟语“牵牛上板壁”，听者头脑中会产生两个输入空间。一个是由当时的语境相关的话语感知空间，其成分包括“学生的家长（找人帮忙办事的人）”“学生的班主任B（被要求帮忙办事的人）”“事件（帮A的小孩跟校长求情）”；另一个是熟语本身构成的熟语空间，其成分包括“牵牛的人”“牛”“牵牛人强迫牛做的事情”。新生成的突显结构使熟语得到了具体语境下的解读。因此，我们便知道了B的隐含意义：A对B提出的要求，B是无法完成的。对于B来说，这无疑是超出其能力范围的。

运用该熟语，B隐含且委婉地说明了自己无法向校长帮A的小孩求情。如此使用，B既维持了自己的面子，又生动地向A表达了不是自己不愿意，而是这确实是其难以完成的事情。其概念整合网络如下图：

图3

（3）女儿A：妈妈，今天我们去看病吧。你的病再不去看是肯定不行的啦。

妈妈B：不去。看病钱这么贵。病自己会好的，干嘛要花钱去看病？

女儿A：不行。一定要去看病。不去看病，钱是省了，但病越来越严重。不就是大水牛推（拟音字，冲）去，凉帽花拾转。

输入空间I：“大水牛推（拟音字，冲）去，凉帽花拾转”的意思和“丢了西瓜捡了芝麻”类似。“凉帽花”指破旧的箬帽，洪水冲走了大水牛，放牛的人只捞回破箬帽。这个熟语的意思是“讥讽某人迂笨，不想办法挽住大利益，却在那儿捞取蝇头小利。”这个熟语字面意义包含了多种成分：“放牛的人”“大水”“牛被水冲走”“捡回凉帽花”。

输入空间II：“妈妈”“病”“病情加重”“省钞票”。

类属空间：行为者、事件引发源、事件负面后果、事件伪正面后果。

合成空间：为了省钱不去看病，钱虽然省下来了，但是病情却越来越严重，得不偿失。

对熟语“大水牛推去，凉帽花拾转”，听者头脑中会产生两个输入空间。一个是由当时的语境相关的话语感知空间，其成分包括“妈妈”“病”“病情加重”“省钞票”；另一个是熟语本身构成的熟语空间，其成分包括“放牛的人”“大水”“牛被水冲走”“捡回凉帽花”。新生成的突显结构使熟语得到了具体语境下的解读。因此，我们知道了女儿A的隐含意义：A要求妈妈B不要为了省钱而放弃看病。钱虽然能省下来一些，但是病越来越厉害，最后要花大钱去看原本可以用小钱就能看好的病。

使用该熟语，女儿A向妈妈B委婉表达了自己的不满，觉得妈妈是没抓住主要问题，得不偿失。其概念整合网络如下图：

图4

通过以上分析可知，熟语的隐喻意义理解关键是熟语本身空间和话语感知空间的概念整合。通过这种动态的在线整合过程，熟语可在新的话语语境中得到具体阐释。

台州方言中还有很多熟语可在概念整合理论下得到解释。如：熟语“人家呒主脑，种些杂纳稻”就是指一户人家没有主心骨，日子过得乱糟糟的，如同田里种着“杂纳稻（杂七杂八、好好坏坏掺和在一起）”。“稻杆绳落水——假紧”的字面意义是指稻杆绳浸到水里一下子变得紧实，捞出来一晒，它便恢复蓬松的原状。人们借此熟语讽刺那些临时表现积极的懒人。“烂污田翻捣臼——越陷越深”①的字面意义是满是稀泥浆的水田，石臼滚下去，越是翻动，陷得越深。人们借此熟语来形容人深陷绝境，越是挣扎，陷得越深。台州方言中还有很多极具地方特色的熟语，这些熟语在具体话语语境中都可以运用概念整合理论来得到解释。这些熟语意义构建过程就是概念的整合过程。

四、结语

人们对熟语的理解是一个较为复杂的且是互动的在线认知心理过程。Fauconnier和Turner的概念整合理论通过多个空间相互作用从而建构意义，为熟语的在线建构提供了一个全新的视角。熟语动态意义的建构同时展示了人们对熟语的抽象认知过程。它是在话语感知空间和熟语本身空间共同作用下得到阐释的，这不仅要求对话双方都熟悉熟语涉及到的相关知识，而且要求对语境具有一定的感知能力。概念整合理论所具有的强大的阐释力和分析力能够阐释台州熟语背后的认知动因，有助于我们更加明确了解台州方言中熟语的认知机制和逻辑推理过程。

注 释：

①上文熟语使用语境本应该用方言形式。但为便于理解，本文采用

普通话形式。熟语仍用方言形式。

参考文献：

[1]Fauconnier，G.Mappings in Thought and Language[M].Cambridge：Cambridge University Press，1997.

[2]Fauconnier，G.& M.Turner. The Way We Think[M].New York：Basic Books，2002.

[3]廖扬.概念复合理论对广告语中汉语熟语翻新的认知阐释[J].西南农业大学学报（社会科学版），2007，（5）.

[4]王红梅，董桂荣.概念整合理论与习语的理解[J].安徽理工大学学报，2006，（3）.

[5]汪少华.合成空间理论对隐喻的阐释力[J].外国语2001，（3）.

[6]王文斌.概念整合理论研究与应用的回顾与思考[J].外语研究，2004，（1）.

[7]王文斌.隐喻的认知构建与解读[M].上海：上海外语教育出版社，2007.

篇7

Mao Yaozhong Zhang Rui Li Mansheng

（School of mathematics，Lanzhou City College，Lanzhou Gansu，730070，China）

Abstract：Set theory is the foundation of the whole mathematics building.Investigation shows that Pre-service Mathematics Teachers do not have adequate level on the concept of set. The paper puts forward some suggestions to improve education quality of pre-service mathematics teachers.

Key words：Pre-service mathematics teachers；Set；Comprehension on concept；Investigation

职前数学教师的概念学习对于其专业发展至关重要。因此，评价职前数学教师的学习成就不仅要关注程序性的知识更要强调概念性的知识。值得注意的是，职前数学教师拥有的诸多概念知识当中，有很多并没有反应出概念的本真意义，甚至是完全错误的。简言之，职前数学教师的概念体系当中具有较多的迷思概念。迷思概念对于职前数学教师认知活动产生的危害难以估量，其会让职前数学教师的认知活动呈现出“劣币驱除良币”的状态，使认知结构产生严重偏差。集合理论是整个数学大厦的基础，通过问卷测试职前数学教师对于集合概念的理解情况，以管窥豹，发现问题，提出改进职前数学教师教育的建议具有重要的理论及现实意义。

1 研究设计

1.1 研究问题

论文主要围绕职前数学教师关于集合概念的理解水平是怎样的这样一个核心问题展开。

1.2 调查对象

调查选取了甘肃省三所师范类高校数学与应用数学专业的176名大三学生，其中男生62名，女生114名。

1.3 测试题

论文选取了7道有关集合概念的开放式问题作为测试题，依次如下：

（1）什么是集合？

（2）可以用哪些方式表征集合？

（3）整数集合与偶数集合等价吗？

（4）空集是有限集合吗？请说明理由。

（5）全集是永恒唯一的吗？

（6）一个集合的补集可以不同吗？

（7）区间是集合吗？请说明理由。

1.4 数据分析工具

Excel2003软件被用来处理调查得来的数据。

2 调查结果及分析

2.1 对于“什么是集合？”的调查结果及分析

对于问题“什么是集合？”的回答，65.9%的职前数学教师回答正确，1.1%的职前数学教师回答部分正确，33.0%的职前数学教师回答错误。集合是一些明确规定且彼此不重复的对象的全体。那些回答部分正确的同学仅仅认为，“集合就是明确规定的对象的整体”，缺少了“对象不能重复”这个关键点。

学生对于集合定义的错误理解其实与平时的集合定义教学存在很大的关联。在教学过程中，很多教师往往会直接教授集合的定义、规则及运算，缺少正反例证，没有细致分析哪些对象的全体能够或者不能够形成集合。比如，互相之间不存在共同特征的对象以及彼此不能够共存的对象的全体就无法构成集合。

2.2 对于“可以用哪些方式表征集合？”的调查结果及分析

集合有三种表征方式，分别是列举法、描述法和韦恩图法，缺少描述法是大多数部分回答正确学生的通病。总的来看，女同学的正确率（74.6%）明显高出男同学的正确率（56.5%）。

集合的不同表征往往能促使学生更加深刻、全面地认识集合。然而从调查结果看，不少学生对描述法表征集合的认识比较欠缺，这其实与描述法相对更加抽象有关。因此，在日常教学中教师应该加强集合表征方式的教学，不仅要让学生熟悉各种表征方式，而且要重点训练让学生学会在各种表征方式之间进行转换。

2.3 对于“整数集合与偶数集合等价吗？”的调查结果及分析

对于问题“整数集合与偶数集合等价吗？”的回答，绝大多数学生（89.2%）的回答都是错误的，认为整数集合包含奇数集合与偶数集合，偶数集合是整数集合的真子集，所以整数集合与偶数集合不等价。他们的疑惑体现在：与原集合不相等的真子集怎么能和原集合等价呢？部分怎么能等价于整体呢？事实上，根据一一对应的原理偶数集合与整数集合是等价的。相对来讲，男学生（17.7%回答正确）的结果好于女学生（7.0%回答正确）。此外，很多学生的答案答非所问，没有按照题目的要求作答。

集合中的元素如果能被数完就是有限集合，如果数不完就是无限集合。有限集合不能等价于除本身之外的任一子集，而无限集合可以等价于它的某个真子集（如通过一一对应就可以使整数集与偶数集等价）。将近九成的学生（89.2%）都对此做出了错误的回答，错误的原因主要是学生缺少集合等价的知识，不知何为集合的等价，把集合的等价与集合的相等混为一谈。在集合的教学活动中，教师应该补充集合等价的理论，并让学生明确区分集合的相等与等价。

2.4 对于“空集是有限集合吗？”的调查结果及分析

空集是一个有限集合，但是很多学生基于“空集中没有元素”这个事实，认为：“空集很含糊，不能讨论其有限性”；“空集中没有元素，不好做任何解释”；“空集既不是有限集合，也不是无限集合”。

学生对这个问题的回答不太理想（62.5%的学生回答错误）主要是因为学生对于什么是有限集合的定义理解不深。大多数学生只是感官上觉得集合中的元素如果能被数完就是有限集合，而空集中没有元素他们就主观地认为不能数数了，自然也就不属于有限集合。在今后的教学活动中，必须强化有限与无限集合定义的本质特征，以是否可以与其真子集等价作为判断有限集合与无限集合的标准。

2.5 对于“全集是永恒唯一的吗？”的调查结果及分析

全集并不是永恒不变或者唯一存在的，它随着处理问题的差别可以取许多不同的形式，甚至对于同一个问题由于所用数学方法或者看问题的角度不同都可以取不同的全集。但是，很多学生（69.9%）并没有理解全集的实质，做出了错误的回答。

对于全集的认识不能“望文生义”，很多学生的回答只是汉语意思的臆测，比如“全集是指包含所有个体及运算的集合”，“最大的集合”等。这主要是学生不理解全集的本原意义，不知道根本就不存在最大的集合这个事实。因为如果存在最大的集合，那么将其作为新的元素，又可以生出更大的集合。事实上，全集是应用一定方法讨论问题时关于对象范围的限定，问题不一样，方法不一样所选取的全集就可能不一样。

2.6 对于“一个集合的补集可以不同吗？”的调查结果及分析

对于问题“一个集合的补集可以不同吗？”的回答，虽然男同学的回答正确率（24.2%）高于女同学的正确率（9.6%），但是总体来看，回答正确率显著偏低（总体回答正确率为14.8%）。

补集确定的基础是全集，学生对于全集理解的偏差会导致对于补集的错误理解。数学是一门前后内容密切关联的学科，对于一些关键的核心概念一定要形成正确、牢固的认识，为后续概念的掌握提供支持，避免“错一处而乱全局”的困境出现。

2.7 对于“区间是集合吗？”的调查结果及分析

区间是一种特殊的集合，然而调查结果显示大多数学生（84.1%）并不知道这个事实或者曲解了这个事实。

区间是一类特殊的集合，它的元素均是实数，之所以很多学生否定这个事实，主要在于区间的写法与集合的描述法、列举法的写法存在形式上的不同。学生们在学习集合这个概念之初就熟悉用花括号的记法，而区间用的是圆括号和方括号，这个明显的差异导致许多学生认为区间不是集合。因此，对于集合概念的教学应该突出概念的本质，不要拘泥于概念的形式，也就是要“注重实质，淡化形式”。

3 建议

从前述的调查结果可以看出，职前数学教师对于集合概念的理解并不理想，与调查之初的预想存在较大的反差。职前数学教师所掌握的集合知识缺少完整度，知识与知识的联系比较松散；对于概念的理解主观腻断，往往会“望文生义”出现似是而非的错误理解；缺少数学探究的理性精神，学习中很少“打破砂锅问到底”；对于许多有关集合概念的知识存在学习盲区，欠缺部分必要的学科知识。基于存在的这些问题，笔者提出以下一些建议。

3.1 对高师课程改革的建议

基础教育课程改革如火如荼，但与之紧密联系的高师课程改革则严重滞后。基础教育课程改革的核心之一就是提升教师的知识与能力，需要高师院校培养适应新课程的新教师，高师课程改革迫在眉睫。2012年，教育部组织出版了各科的《中小学教师专业发展标准及指导》，[1]为高师课程改革提供了依据，广大高师院校应该认真落实，对自身的课程体系进行调整以适应新形势的需要。在具体操作中，职前数学教师教育课程应该消除高等数学与初等数学的界限，并针对当前绝大多数数学教师的数学史与数学文化知识整体欠缺的现状，[2]开设一些诸如《高观点下的初等数学》《数学史》《数学文化》等宏观理解整个数学体系的课程；同时，应该增加数学教学知识类课程的比重，使学生能够把中小学数学的学术形态转化为教育形态，从而体现出数学教师工作的专业性；最后，职前数学教师教育课程应设置实践性及研究性的课程，增强职前数学教师的学习主动性和探究性，达到对于特定专题的深刻理解与掌握。

3.2 对职前数学教师教育者的建议

作为职前数学教师教育者，首先应该在思想上重视日常的教学，不能把教学工作简单地理解为照本宣科，而应当想办法做实事，使整个教学过程更具有效性；其次，职前数学教师教育者在教学中应该告诉学生知识的来龙去脉，避免“烧中段”式的灌输教学；再次，职前数学教师教育者应该研究教学过程的规律，把教学与教学研究结合起来，促进自身教学水平的提高；最后，应该改变当前职前数学教师教育者过于偏重科研的现状，把教学绩效与科研绩效放在同等重要的位置，使其愿意投身教学及教学研究。

3.3 对职前数学教师的建议

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DOI：

10.16657/ki.issn1673-9132.2016.01.151

计数器在小学数学课堂上必备的教学工具之一，常常用于数的认识、数的运算等课的教学中，其在帮助学生建构十进制、位值制概念及相同计数单位数直接加减等核心概念的学习中有着独特的文化含义和价值。笔者通过最近听过的三个课例谈谈计数器对以上核心概念建构的价值。

课例一：11-20各数的认识（青岛版课程标准实验教科书小学数学一年级上册第五单元）

11-20各数的认识是10以内数的认识的延续，也是认识更大自然数的基础，是学生建立数位概念的重要节点。一年级学生大多数能按顺序从1数到20，甚至更多，但学生对于计数单位“十”“满十进一”、位值等概念还很模糊，大多数学生不理解“位值原理”。因此，这节课让学生体会体验计数单位“十”产生的必要性是一个核心点。

<F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif> [10个一][1个十][1 0][这是计数器。] [十位 个位] [1 1][十位 个位]<F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif>[1个十，1个一，是11。

10+1=11]

教学片断：解决“沙滩上有多少只海鸥”―― 认识数“11”

1.数海鸥：先估计再数数――突出数法指导，渗透数数策略。

2.摆小棒表示数――体验计数单位“十”产生的必要性。

3.用计数器表示数。――建立1个“十”和10个“一”的不同表象。

（1）计数器上拨出11。

（2）增加数位，对比小棒法认识计数器上的个位和十位。

教师：计数器上还有很多的珠子，它们坐的位置不一样，表示的意义就不一样。十位上的珠子是专门用来表示几个十的，十位上坐上 1 颗珠子，它就表示 1 个十，就是刚才我们捆起来的一捆小棒;个位上的这些珠子是专门用来表示几个一的，个位上坐上 1 颗珠子，它就表示 1个一。

4.用符号表示数――把计数器上表示的数抽象化，就是数的书写形式。

价值分析：这里计数器的使用是必需的，数学思维一般通过数学活动要揭示（发现、掌握）的新的、未知的东西是什么。有些新的、未知的东西，学生自己能够发现，比如海鸥有11只，可以通过数知道。但学生不可能发现新的计数单位 “十”。因此，计数器从一个数位扩展到两个数位，并通过比较小棒摆11和计数器拨11的两个活动，让学生体会其相同点和不同点。因为同一个数字符号在不同的数位上表示不同的数值，所以，用较少的数字符号可以表示很多数，古人用位值制就将数学的简洁、智慧与优越彰显无遗。

课例二：9加几（青岛版课程标准实验教科书小学数学一年级上册第七单元）

“9加几”作为20以内进位加法的第一课时，是一节种子课。这样一节种子课的教学价值不言而喻。因此教师不仅要熟悉教材中的每个知识点、清楚知识链接的逻辑体系，也要厘清9加几的算理、算法分别是什么、知识生长点在哪里，才能更好地引导学生学可以生长的数学。为此，我翻阅了相关资料，对“9加几”中涉及算理、算法、十进制等文化。

教学片断：探究9+6=

方法一：接着数

生1：1，2，3……15。

生2：10，11，12，13，14，15。

方法二：凑整

生1：老师我是这样做的。我先算的10+6=16，9+6=15。（板书）

方法三：凑十

1.摆小棒“凑十”

生1：我从6拿出1个一，给9，9变成10，10再加上剩下的5就合成了15。

生2：我把这个1和9合成了10，10再加上剩下的5，就是15。

师：（课件动画）我们一起来看看他是怎么做的。9+6，我们先从6里面拿出1个一，给9，9凑成1个十，再和原来的5个一合成15。

师：既然是把9凑成10，我们就叫它凑十法吧。

2.计数器感知的必要性。

师：你能在计数器上拨出9+6吗？

先拨9，再拨6――十位上拨出6个十（不行）――不会拨，因为个位只剩1个。由此得出这个6必须拨在个位上，可是个位上只剩下1个了。那怎么拨6，想办法。

先拨一个，用十位上的1个代替个位上的10个。（学生交流：为什么？十位上因为10个一，就是1个十。）

再在个位上拨剩下的5个了。（学生交流：为什么+6，却拨5个）

师：9+6。先拨9，9+6再先拨其中的1，这样就10个一了，用.十位上的一个代替个位上的10个，再在个位上拨剩下的5个，听明白了吗？

3.抽象算法。

……

价值分析：该课例在处理9+6=？这一个核心知识点的建构时通过摆小棒、圈图、用计数器等方法，利用数的组成、十进制计数策略等不仅注重了凑十的形象思维，还突出满十进一的十进制计数法，诠释了“凑十法”与十进制计数法之间的联系，把表象转化成学生头脑中的思维程序，使学生不仅知其然， 还要知其所以然， 从而保证了在进位加法中的有效迁移，实现了核心知识以生长的姿态的主动建构。

课例三：两位数加两位数（不进位）（五年制青岛版小学数学教科书一年级下册第六单元）

分析两位数加两位数（不进位）的教材，不难发现算法可多样，重点介绍笔算。通过对学生的了解分析，我着重关注了两点：一是如何将学生更习惯的口算的方法与笔算对接;二是如何将算理直观，算法抽象;三是课本中的“在竖式计算时，相同数位要对齐。”如何帮助学生理解建构？我在对上述问题深度思考的过程中，觉得计数器更加接近笔算的样子，那么借助计数器帮助学生直观算理，算法抽象应该效果会好。

<F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif> [26

12][+][38] [十位][十位]

[竖式计算也叫笔算，也就是把

口算的过程用笔写出来。

例如：26+12][6+2=8

20+10=30

30+8=38] [26

12

8

30

38][+] [26

12

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一、前言

合作学习模式既是探索新课程改革中教学模式突破口的一个重要切点，又是高度契合素质教育精神的一种新型课堂教学形式。在教师的指导之下，鼓励学生参与教学活动，并进行自主探索与合作交流，这是初中数学新课程标准对于初中数学教学改革的原则性要求。在本文中，我结合自己的教学经验，参照相关学习理论，总结了一套提高基于合作学习理念的初中数学教学效果的方法和措施。

二、提高初中数学合作学习模式实效性的策略

不少的教育专家均承认，如果是单纯地将学生划分为一个一个学习小组，并要求每个小组成员进行合作，这根本无法保证学生达成“合作学习”的目标。换言之，小组合作学习模式效果的发挥需要众多因素的参与，也只有这些参与因素的协调与配合，才能够在真正意义上达成小组合作学习的目标。我结合相关理论和教学实践，在下文中给出了提高初中数学合作学习模式实效性的若干策略。

1. 端正认识。合作学习模式之所以不同于传统的教学模式，主要是因为处于同一小组的学生需要依照明确的分工来共同完成预定的学习目标。简言之，团队精神对于合作学习模式而言至关重要。组员之间不仅分工明确，而且还需要相互帮助，除了知识的学习之外，学生往往需要更多的时间去倾听、参与、交流，因此，能力培养尤为合作学习模式所看重。教师和学生对此必须要有深刻的认识。

2.划分小组。学习小组划分得是否科学合理将直接影响日后的学习效果。因此，教师在进行小组划分时必须要充分考虑学生的性格、性别、兴趣、成绩等多种因素，参照“组内异质、组间同质”的基本分组原则合理划分学习小组。在小组成员数量方面需要进行有效控制，建议每个学习小组包括四至六名学生为最佳；同时，为了能够调动学生参与的积极性，保证每个组内成员拥有同等参与机会，应该让每一个组员均担任一定角色（如组长、发言人、记录员等），并且每一个角色由组员定期、轮流担任。

3.明确分工。明确的分工有利于小组内部成员各司其职，也有利于查找学习任务进行不顺利的根源。所以，教师在完成分组之后，需要为每一个小组明确合作学习的目标与任务，并帮助学生合理划分组内职能。另外，建议制定一份合作学习的操作程序（包括学习任务的意图、要求、方法、步骤等信息），并认真讲解给同学听，为初次合作学习提供行动指导。因为团队精神对于合作学习的成败有着至关重要的作用，所以，教师应该重点培养每一个组员的合作意识与合作精神，并积极构建组员之间的依赖关系，使他们觉得能够与小组成员分享自己的学习成果是一种荣誉。

4.设计内容。作为一种教学模式，合作学习是突破学生和学生之间、教师和学生之间心理壁垒的有效途径，更是实现师生合作、生生合作的重要方法，它能够有效培养学生的自学能力和自我督促能力。但是，需要我们注意的是，并不是所有的初中数学内容（包括指定需要合作学习的内容）均适合采用合作学习模式。在设计合作学习内容的时候，需要充分考虑问题难度、学生素质、教材内容以及教学目标等多种因素，最后做出最优的选择。

5.过程管控。在开展小组活动时，常会表现出一些问题，教师要有效地进行调控。当小组提前完成任务时，应检查他们是否正确完成了任务；发现小组讨论混乱无序时，要耐心讲解，帮助学生尽快进入有效的讨论；讨论偏离主题时，要及时发现，及时制止，将学生引回到任务中来。

6.典型示范。合作学习结束后，要给学生充分展示成果的机会，并给予及时的反馈和总结，做到善始善终。教师要尽量让更多的小组充分展示其成果，每位学生的发言都是代表小组的意见而不是哪个人的想法。其他组的成员有不理解的地方可以向发言小组的成员提问。

所以，落实初中数学的合作教学模式，绝对不能够照搬理论、硬套模式，需要结合当时的实际情况，并及时解决应用过程中的各种问题，使其最符合当时的教学实际情况，如此才能够满足学生的个性化学习需求，并实现学习时间的灵活调配。总而言之，在落实合作教学模式的过程中，应该认真组织学习进行充分沟通，调动学生参与的积极性，不仅要求组员之间相互合作，还要求组员之间相互鼓励进行探索，彰显合作学习的精神价值。

参考文献：

[1]黄安成.自主探究 合作交流 挑战竞争 师生双赢――学习《数学课程标准》改进课堂教学[J].数学通报.2004（08）.

篇10

复习引入:

问:反比例函数的解析式和定义域?

师:这节课,我们研究在直角坐标平面中反比例函数的图像和性质。

出示课题:18.3.2反比例函数的图像和性质(1)

(一)三个操作,确定观察实例

(2)描点

(3)连线

师:按照自变量从小到大,即按点从左到右,用光滑的曲线连接,并向两方伸展。所画图像向两方延伸,会不会与坐标轴相交?

小结:根据解析式,如果x所取值的绝对值越来越大,那么y的对应值的绝对值越来越小;而x所取值的绝对值越来越小(不为零),则y的对应值的绝对值越来越大。由此可知,图像向右或向左延伸,与x轴越来越靠近;图像向上或向下延伸,与y轴越来越靠近,但都不会与坐标轴相交。

操作2(师生同步画图)

类比操作1,画反比例函数 的图像。

(2)描点

(3)连线

师:对学生画图中出现的问题进行投影讲评,引导学生小结画反比例函数图像应注意的事项。

3.操作3(学生独立画图)

画反比例函数和 的图像。

(老师示范 自变量x的取值、描点)

(二)三次类比,分析本质属性

师:我们前面研究正比例函数是通过图像得到性质,这里我们同样通过函数图像来归纳反比例函数的性质。

问:正比例函数的图像是什么?那么反比例函数的图像是什么?(投影表格)

完成正反比例函数图像部分的填写

1.类比思考

问:正比例函数有哪些性质?

师:观察、比较上面四个函数的图像,类比正比例函数性质的研究,请各小组从“图像的位置分布、函数的增减性”几个方面讨论反比例函数有哪些性质。

讨论参考问题:

(1)函数的图像分别位于哪几个象限内?

(2)随着图像上的点的横坐标x逐渐增大,纵坐标y是怎样变化的?

(3)图像的每支都向两方无限延伸,它们可能与x轴、y轴相交吗?为什么?

2.类比归纳

反比例函数(k是常数,k)的性质:

(边归纳边完成表格)

分组讨论,修正性质

师:以函数为例,若在第一象限的分支上取两点,如a(1,6),b(3,2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小;若在第三象限的分支上取两点,如c(-1,-6),d(-3,-2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小。但如果,分别在第一、三象限各取一点,如a(1,6),d(-3,-2),是否符合这一增减性规律?

生:应该加上“在每个象限内”或“在对于每个分支而言”或“当x>0或x<0”时,等等。

3.类比小结

对照表格,谈谈正反比例函数图像和性质的异同点。

(三)三层练习,进行巩固运用

(1)比例系数k分别是多少?

(2)图像分别在哪些象限?

(3)图像在每个象限内,y的值随x的值的变化而怎样变化?

课堂小结

谈谈你学习的收获和体会

(学生没有提到的部分,老师通过引导直接讲解,帮助学生进行小结)

师:同学们回答的很好,这节课我们不仅学习了画反比例函数的图像,还研究了它的性质,更重要的是我们感受了学习知识的方法。上节课我们学习了反比例函数的概念,这节课我们学习了如何画反比例函数的图像,归纳得出了反比例函数的性质,下节课我们将运用这些性质来解决一些问题。

二、对数学概念课教学设计的几点思考

“反比例函数图像和性质”的内容教学,学生在前面已经学习了正比例函数的解析式、图像和性质,反比例函数的解析式。本节课的教学重难点有两个:一是会用描点法画反比例函数的图像;二是结合图像分析归纳反比例函数的基本性质,并掌握这些性质。

反比例函数的图像和性质较正比例函数而言,较难操作画图,比较抽象,不易理解。这堂课力求在学生已有知识结构的基础上,让学生在动手操作、性质比较、自主探究的过程中不断地发现新知识,从而促进学生对有关反比例函数图像和性质的知识构建。

(一)注重两种数学概念学习形式的有机结合

数学概念学习主要有两种形式:一是数学概念形成,二是数学概念同化。数学概念形成需要的是对物体或事件的直接经验,从这些物体或事件中抽象出它们的共同属性。而在数学概念同化的过程中,重点在于学生把新知识与头脑中已有的有关知识联系起来。但两者不是互相排斥的,在数学教学中可以把这两种数学概念学习形式有机的结合起来,常常能收到较好的效果。

本例中设计了三个操作、三次类比、三层练习,让学生经历了“观察操作实例——分析本质属性——修正本质属性——练习简单运用”等几个阶段,这里运用的是数学概念形成的学习形式。本例从具体的操作实例出发,对反比例函数从k>0和k<0的两种情况分类研究操作画图,归纳得出了反比例函数图像性质的“本质属性”,再通过具体实例函数 在第一象限的分支上的两点a(1,6),b(3,2)和第三象限的分支上的两点c(-1,-6),d(-3,-2),对性质进行检验与修正,最终概括得到反比例函数的性质。然而,在分析本质属性中,本课将正反比例函数的图像和性质进行三次类比,运用了数学概念同化的学习形式。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系,把新概念纳入到相应的概念体系中,同化新概念。

通过数学概念形成和数学概念同化两种学习形式的结合运用,学生对“反比例函数的图像和性质”既有感性认识又有理性认识,从具体到抽象,符合人的认识规律,提高了教学效率,使学生能够在较短的时间内正确理解数学概念所反映的事物的本质属性。

(二)注重数学思想方法的渗透

对数学而言,知识的发生过程,实际上也就是思想方法的发生过程。因此,概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程等都是向学生渗透数学思想方法的极好机会。

本例的一个重难点是“理解和掌握反比例函数的图像和性质”。在性质归纳中设计了“类比思考”、“类比归纳”、“类比小结”三个环节,对正反比例函数进行充分的类比,让学生更好的体会利用函数图像来研究函数性质的研究方法,降低学习难度,对反比例函数的图像和性质的掌握会更好。

另外,本课将反比例函数分成“k>0”和“k<0”两种情况进行研究,渗透了分类讨论的数学思想。在反比例函数增减性的讲解中,借助图像和具体的点和坐标,再从具体到抽象,充分运用数形结合的数学思想方法,帮助学生更好的理解性质中的难点。

数学的概念、性质和定理等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而基本的数学思想方法却隐含在知识的教学过程中,是无“形”的,并且不成体系散见于教材各章节中。在概念课的教学过程中,我们老师应注意把握好数学思想的渗透时机,寻找适合学生的认知发展水平的渗透方法。

(三)注重数学概念的过程教学

数学知识的发生、发展、形成和应用的过程,是课程目标内容,也是课程学习内容。在数学概念课教学中,要抓住数学概念的本质属性及其内部联系,结合学生的能力状况及知识水平,采用多种方式,组织学生参与概念的分析、概括、形成过程,变“成果教学”为“过程教学”。

例如在“反比例函数增减性”的教学中,不是直接给出“在每一象限内”这一前提,而是先由学生类比得出“k>0时,y的值随x的增大而减小;k<0时,y的值随x的增大而增大”这一不正确的结论。再给出具体的函数上的两点a(1,6),d(-3,-2),讨论是否符合这一增减性规律。最后,对得到的结论进行修正。

学生在这一讨论后,提出了不同的修正方案,有“对于每一个分支而言”、“对于每个象限”而言、“当x>0时”等。这一开放性的教学策略,为学生提供更多的机会和时间,让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结,使课堂成为学生能动地、创造性的生成过程,避免了把数学概念绝对化,让学生形成“正确的答案可能不止一个”的认识。

总之,数学概念的教学,既是数学教学的重要环节,又是数学学习的核心,其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延,使学生思考问题、推理证明有所依据,能够创见性地解决问题。概念教学的效果如何,将直接影响学生对数学知识的理解、掌握和应用。因此,在概念教学中,教师要根据课程标准对概念教学的具体要求,创造性地使用教材,努力优化概念教学设计,把握概念教学过程,真正让学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。

整理

参考文献:

[1]瑜文琪.要重视概念和知识的发展过程的教学.中学数学教学参考,2000.