质数和合数的概念模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇质数和合数的概念，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

小学数学质数和合数的概念描述如下：

1、质数又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

2、合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。

（来源：文章屋网 ）

篇2

概念的引入是数学概念性教学的第一步，就如第一印象在人际交往中重要性一样，数学概念的引入对于整个数学知识框架的学习而言至关重要。在进行初中数学概念性教学之前，必须先明确数学概念的两种基本形式：直观性概念和抽象性概念。

（一）实物法——直观性数学概念引入的常用策略

直观性概念的特点在于：直观明了、通俗易懂，然而此种概念的引入需要注意的是概念的混淆，因而采用实物法进行概念引入有助于帮助学生辨别相似概念、区别概念本质。

例如，在进行三角形的概念性教学时，等腰三角形和直角三角形的概念引入的关键在于这两者概念的区别，对此，教师可以利用三角形的模型进行概念引入，比如七巧板拼出等腰三角形和直角三角形，两边相等的三角形是等腰三角形，有一个内角为90°的三角形为直角三角形。等腰三角形和直角三角形的概念引入教学中，需要注意的一点是这两组概念具有交叉集，有一种三角形兼具两种三角形的特质，那就是等腰直角三角形，因此直观性概念教学中应该特别注重概念的共性和个性，既保证学生能够清楚区分相似概念，又能帮助学生依托相似概念扩展数学概念体系。

（二）媒介法——抽象性数学概念引入的常用策略

抽象性概念的特点在于：文字和数学符号、公式有机结合，导致概念理解难度高，此种概念的引入需要注意的是化解概念的抽象性，而媒介法就是糅合现代先进的多媒体教学手段，具象地呈现概念的分化和递进的过程，能够让学生直观地了解抽象性概念的形成过程。

例如，在进行一次函数的概念性教学时，就可以运用多媒体教学手段，以应用实例为依托，比如出现在教材中的例题：某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度之内，所挂物件的质量x每增加1千克，弹簧长度y就增加0.5厘米，弹簧长度y与所挂物件的质量x之间所存在的关系就是一次函数关系，利用flash动画手段可以将y与x的方程曲线具象呈现，再对照曲线图深入讲解“一次函数”的概念，将有利于帮助学生领悟和消化这一抽象性概念。

二、数学概念的延伸——概念性教学的拓展，扩展概念认识体系

数学概念的延伸，就是学生进行概念深层涵义的挖掘和探索，对数学概念进行多方位、多角度思考，从而帮助学生拓展数学概念性思维的深度和广度，为学生之后的数学原理和数学思想的学习夯实基础。从本质而言，数学概念的延伸其实包含概念的强化、拓展和迁移，同时向学生传递一种数学思想：数学概念并不局限，概念的定义和解释取决于观察问题的角度、方位和层面，学生在概念认识和分析中要学会灵活运用、全面深入思考。

例如，在进行线段的垂直平分线的概念性教学时，在学生理解并掌握垂直平分线概念的基本含义（一条线段与一条直线相交形成的四个角中有一个角是直角，且一条线段被另一条直线分成相等的两段）的基础上，就可以对这个数学概念加以延伸、拓展和强化，比如线段的垂直平分线意味着一条线段与一条直线相交，所成的角均为90°，再将这个概念放到图形中去理解，比方等腰三角形底边上的高垂直平分底边，这是普通三角形不具备的性质之一，通过这样的概念性教学的拓展，学生有机会换一种方位去进行概念理解，从而认识这个概念应用的不同形式和情况，深化学生的数学概念认知，扩展概念认识体系。

三、数学概念的应用——概念性教学的巩固，夯实概念认识体系

篇3

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）07-029-01

我在数学教学中经常会发现这个问题：学生自认为上课听懂了，但在涉及到独立解题时又感到千般思绪，万般无奈。产生了一种“懂”与“做”之间的障碍。于是我尝试了以下方法，收到了不错的效果。

一、新概念提前预习

在每次新课前，我都要提前给学生提出明确的目标任务，让学生带着问题去预习。首先围绕基本概念、原理、法则、规律、公式等阅读教材，了解本课的目标、重点与难点以及与旧知识间的内在联系，重点读定义的字、词、句。其次做课后练习题，目的在于检查自己的预习效果和水平，找出自己不懂或不足的地方，然后带着问题去听课，并发现先前的知识没有掌握时，及时补上来。在预习过程中做好预习笔记，将自己的思维成果记录下来。这样既培养学生了独立解决问题的能力，又便于教师根据学生预习情况，有目的、有重点的精讲教材的有关内容，提高课堂效率。

二、新概念及时练习

一般地在教学一个新概念之后，教师宜及时地针对概念的本质特征选择一些课内外练习题是完全必要的确。

例如在讲了集合概念后，针对集合概念的三个本质特征：①集合是指具有某种属性的一些对象的全体，而不是指其中的个别对象；②集合中的元素是确定的，即可以确切地判断一个对象属于还是不属于这个集合；③集合中的元素是彼此不相同的，即一个元素在同一集合里不能重复出现。可以选择下列练习题

问题一：以下各题是否正确，为什么？（1）由班上不高不矮的人能组成一个集合；（2） 是方程 的解的集合；（3） 是方程 的解的集合；（4）1，2，3，1，4五个数构成一个集合

三、相关概念结合练习

数学知识的系统性很强。对于数学概念来说，一些旧概念都是某些新概念的基础，新概念则是由旧概念增加新的属性而建立起来的，新旧概念之间既有区别，又有联系，教师在讲解一个新概念之后，应把与此相关的旧概念结合在一起，选择练习题，让学生练习。

四、易混概念对比练习

对于容易产生混淆的概念，要引导学生用对比方法认识它们之间的区别和联系。显然，这不仅要求教师讲授时应充分应用对比方法，讲清易混概念之间的相同点和相异点；而且必须加强对比练习，才能使学生泾渭分明。练习题应选择那些易于比较的题目，使学生通过练习，既掌握它们各自的特点，又能区别它们的异同。

五、重点概念着重练习

数学概念，由于它们在数学知识体系及其应用中具有不同的地位和作用，总是有主要与次要、关键与一般、难学与易学之分。所以要使学生学好数学基础知识，必须突出重点、抓住关键，解决难点。这不仅应该体现在教师的讲解上，还应体现在对练习的要求上。对于重要概念的练习，要在题目的数量和质量的选择两方面下功夫。一般地说，在讲了一个新的重要概念之后，选配一些比较简单的练习题用以增强学生对新概念的理解。然后，在此基础上由浅入深、由易到难，逐步配备一些较为复杂的题目，以培养学生应用概念全面分析和正确解答问题的能力。

六、枯燥概念趣味练习

在事件的相互独立性的教学中，我用了“三个臭皮匠顶个诸葛亮“这个故事引入 ，学生很感兴趣，我顺水推舟，布置了这样的练习题：已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，求：①老大、老二、老三都能解出的概率；②老大、老二、老三恰有一人能解出的概率；③老大、老二、老三至少有一人能解出的概率；④老大、老二、老三都不能解出的概率；⑤老大、老二、老三至多一人能解出的概率；

七、抽象概念实践练习

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现阶段初中学生比以往的同龄人具有知识接触面更广，思维更开阔，个性化更强，更乐于接受新事物的特点，他们已不满足于循规守旧.近年来，全国各地推广的课改、素质教育等新的教育理念，都是力求“改变”，以适应时代的发展.数学教师也要适应这种变化.首先，教师要改变过去的教学模式，向学生展示一个丰富多彩的数学世界以及构成我们现代社会的有形和无形的各方面的应用.从小到小商贩谋生算数，大到卫星上天，都和数学密不可分.数学的应用价值是显而易见的.人人都有机会用到数学，正如新课标所提出：“使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学；人人都获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展.”

教师有意识地传授数学的基础属性，使数学脱离抽象、枯燥，引导学生发现数学的美感，增强学生对数学的关注和浓厚的兴趣.兴趣是学好数学的先决条件，也是识记数学概念和性质的主动力.要做到这一点，要求教师平时多收集相关的素材，精心编排，利用授课、活动等机会，适时地灌输、展示给学生，使学生相信数学，喜欢和理解数学，运用数学.

例如，学到“平移”这个概念时，首先给学生展现一些收集到的图片、花边、剪纸等有关素材，让学生感受数学的美感，再让学生观察、关注日常生活，看看在哪些地方用到了平移.

学生A：小芳衣服上的花纹.

学生B：汽车在笔直的公路上行驶

……

学生踊跃发言后，让全体学生评判，补充，然后老师点评，接着让学生分组讨论平移的性质，利用平移的有关知识画图或剪纸设计美丽的图案，并在教室里展示，然后选派小组代表发言说明设计理念.

通过上述的教学环节，增强学习数学的兴趣，让学生在自主探究、合作交流和动手操作的活动中运用数学，识记概念和性质.

二、用多种活动切入数学概念和性质的学习

心理学家研究表明，学生看到直观、新颖、有震撼效果的信息时，相对于抽象、平淡的信息，脑神经元会出现兴奋，产生更多的化学物，记忆的“痕迹”更深.“看一看、读一读、听一听、做一做、辩一辩、教一教”活动正是按照这一原理设立的.教师引入数学概念时，要精心设计，利用课件、教具等直观、熟悉的物件，现场示范模拟概念，在活动中开展概念和性质的学习.

例如，在“圆”的概念和性质学习时，教师通过让学生观察实物、教具，运用多媒体向学生展示圆的形状，给学生直观的感受.然后，组织大家开展自由辩论，鼓励学生就“圆”举出更多的生活实例和用途.最后，引导学生用教具画出圆形，引入“圆”的概念，并大声朗读有关“圆”的概念和性质.同时分组探究“圆”的相关概念和性质.如，“圆是轴对称图形”、“垂径定理”等.教学过程中，以学生为主体，教师以引导、组织为主的课堂，使学生真正地融入场景中，使“圆”的概念和性质反复地刺激学生的兴奋中心，最终发挥出最大的识记效能.

三、用充分消化、理解来识记数学概念和性质

通过活动引入了概念，学习了性质，但要记住这些知识还需巩固.记忆理论认为，对一种知识没有很好地理解就不能有效地编码并把它记住，只有将新学知识经过大脑进行进一步消化、理解，将新知识和人脑中的原有记忆知识结合，使之规则化和系统化，才能发挥最大的识记能力.所以，教师一定要引导学生深入地理解数学概念和性质，通过提问、辩论、竞赛等形式，加强知识的识记力度.

四、用多次复习来进一步加强识记数学概念和性质的能力

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[中图分类号] R544.1 [文献标识码] A [文章编号] 1674-4721（2016）12（a）-0028-04

Effect of Enalapril combined with calcium carbonate vitamine D3 on bone mineral density of elderly patients with essential hypertension and osteoporsis

CHEN Ping-jun WANG Xia HUANG Xiao-hong

Department of Geriatrics，the First People′s Hospital of Jiujiang City in Jiangxi Province，Jiujiang 332000，China

[Abstract]Objective To observe the effect of Enalapril combined with calcium carbonate vitamine D3 on bone mineral density（BMD） of the elderly patients with essential hypertension and osteoporosis.Methods From May 2014 to December 2015，a total of 63 elderly patients with essential hypertension and osteoporosis in our hospital were selected as study object and randomly and double-blindly divided into group A （n=32） treated by Enalapril with calcium carbonate vitamine D3 and group B （n=31） without Enalapril.The two groups were observed for one year，the levels of 25-OH-vitamin D，serum calcium （Ca2+），serum phosphorus （P），alkaline phosphatase （ALP），parathyroid hormone （PTH），osteocalcin were measured before and 3，6，9，12 months after treatment.Bone mineral density （BMD） of lumbar vertebrae and neck were measured before and after treatment.Results There was no significant difference in baseline values of serum parameters between two groups （P>0.05）.The total serum 25-OH-vitamin D levels in two groups were increased 12 months after treatment，and which 9 and 12 months after treatment was significantly higher than the baseline values，however，the levels of 25-OH-vitamin D in two groups were lower than normal value（30 ng/ml），there was no significnt statistical difference in the levels of 25-OH-vitamin D between two groups（P>0.05）.12 months after treatment，serum Ca2+ levels of two groups were elevated and within the normal range，no hypercalcemia occurred；serum Ca2+ levels of two groups 6，9 and 12 months after treatment compared to the baseline values were significantly increased （P0.05）.Osteocalcin，PTH，ALP，P compared with baseline values did not change significantly，there was no significant difference between two groups （P>0.05）.BMD （L1-4） value after treatment for one year in group A was significantly higher than that before treatment （P0.05）；after treatment for one year，BMD （L1-4） between two groups were compared，and the difference was statistically significant （P0.05）.Conclusion BMD value was obviously increased in the elderly patient with essential hypertension and osteoporosis who have taken Enalapril and calcium carbonate vitamine D3 after treatment for one year.

[Key words]Essential hypertension；Osteoporosis；Bone mineral density；Enalapril

肾素-血管紧张素系统（renin-angiotensin system，RAS）存在于骨组织并参与骨代谢疾病的发病过程。血管紧张素（angiotensin，Ang）Ⅰ与Ⅱ与骨质疏松发生密切相关，AngⅡ激动过氧化物酶体增殖物激动剂受体使骨吸收增加而骨形成减少[1]。多数研究者一致认为RAS抑制剂可增加骨形成，减少骨量丢失，然而临床研究血管紧张素转换酶抑制剂（angiotensin converting enzyme inhibitor，ACEI）对骨密度（bone mineral density，BMD）的作用存在不一致性。本研究选择我院住院及门诊高血压并骨质疏松患者为研究对象，旨在探讨依那普利联合维生素D3对BMD的影响，现报道如下。

1对象与方法

1.1对象

选择2014年5月～2015年12月我科住院及门诊的63例老年高血压并骨质疏松患者为研究对象，年龄67.5～85.8岁，平均77.3岁，随机、双盲分成A组和B组。A组32例中，男22例，女10例；年龄67.5～82.7岁，平均75.3岁。B组31例中，男18例，女13例；年龄69.6～85.8岁，平均76.1岁。两组一般资料比较，差异无统计学意义（P>0.05），具有可比性。

评定标准：①符合中国高血压防治指南（2010版）之原发性高血压诊断标准[2]，收缩压≥140 mmHg和（或）舒张压≥90 mmHg。②BMD测定标准，参照WHO推荐的诊断标准，基于双能X线吸收法（DXA）测定。BMD值低于同性别、同种族正常成人的骨峰值2.5个标准差为骨质疏松症，即BMD≥-1 SD为正常，-2.5 SD

排除标准：继发性高血压；继发性骨质疏松；有肿瘤或Paget病（畸形性骨炎）；患有糖尿病、甲亢、甲旁亢等内分泌性疾病；患有卵巢及子宫切除术等影响骨代谢疾病者；半年内曾使用过激素或其他影响骨代谢的药物者；不愿参加干预及随访者。

1.2研究方法

所有病例均进行常规项目检查：①测血压、体重、血常规、生化等。②BMD测定，采用美国进口双光能X线骨密度检测仪（型号：DPX-NT）对所有患者进行腰椎L1～4和股骨颈（neck）BMD测量。采用罗氏化学发光法测定血清25（OH）D水平，并测定骨转换指标[钙、磷、碱性磷酸酶（ALP）、甲状旁腺激素（PTH）]。③A组患者口服依那普利（扬子江药业集团江苏制药股份有限公司）+碳酸钙D3，B组单纯口服碳酸钙D3。两组观察1年，测定治疗前及治疗后3、6、9、12个月的血清指标及治疗前后的BMD情况（腰椎L1～4和股骨颈BMD测量）。

1.3统计学处理

采用SPSS 13.0统计软件对数据进行分析，计量资料用均数±标准差（x±s）表示，采用t检验，计数资料用百分率（%）表示，采用χ2检验，以P

2结果

2.1两组血清指标基线值的比较

两组各血清参数基线值比较，差异无统计学意义（P>0.05）（表1）。2.2两组治疗前后血清骨代谢指标情况的比较

两组治疗后3、6、9、12个月总血清25（OH）D水平均呈上升趋势，治疗后9、12个月较基线值显著升高（P0.05）。治疗后12个月，两组血清Ca2+水平均有不同程度升高，均在正常范围内，无高钙血症发生；A组、B组治疗后6、9、12个月较基线值显著升高（P0.05）。骨钙素、PTH、ALP、P较基线值均无明显变化，两组比较差异无统计学意义（P>0.05）（表2）。

2.3两组BMD值治疗前后的比较

A组治疗后1年的L1～4 BMD值^治疗前显著升高（P0.05）（表3）。

3讨论

高血压和骨质疏松是老年患者中常见共存疾病，在与非高血压患者的对比研究中认为合并高血压的患者易患骨质疏松的危险性增加[3-4]。交感神经兴奋释放儿茶酚胺，导致血压升高，通过刺激成骨细胞，对骨代谢有负性调节作用[5]。同时近年来不断有研究[6-8]表明降压药物在控制血压的同时，对骨质疏松症具有一定的改善作用。其中发现RAS存在于骨组织并参与骨代谢疾病的发病过程[9-10]。AngⅡ能通过ERK信号通路和cAMP信号途径诱导成骨细胞表达核因子κB受体活化因子配体，损害成骨细胞，增加破骨细胞数量，最终骨量下降，骨微结构破坏[11-12]。AngⅡ也可能通过降低离子钙和增加甲状旁腺激素水平影响钙代谢。由于骨组织RAS的活性升高，其活性肽AngⅡ的生成增加，AngⅡ显著增加多核破骨细胞与成骨细胞通过细胞外蛋白激酶RANKL表达上调[13]。ACEI可抑制AngⅠ并阻止AngⅠ转换成AngⅡ，使AngⅡ水平下降，从而使BMD增加。动物实验证实ACEI可使骨组织ACE、AngⅡ、肾素等RAS组分的蛋白表达水平都明显降低，可明显提高血磷和血清骨钙素（骨形成指标）水平，具有潜在的调控骨转换速率的作用。

多项临床研究[14-16]数据显示，ACEI可以在改善BMD方面发挥积极作用。同时国内在ACEI应用动物小鼠试验中也得出ACEI能部分改善骨组织的负转换状态，有助于骨质疏松的治疗[17]。一项流行病学研究和对老年人开展的横断面研究[18]，发现ACEI具有增加骨量和降低骨折风险的作用。本文选择对象为年龄>67岁的老年患者，对比研究发现，骨质疏松患者联合服用依那普利片和碳酸钙D3后，A组股骨颈BMD明显提高，进一步支持ACEI可改善骨质疏松，降低骨折风险的论点。本文两组维生素D水平尽管较基线值升高，但仍低于正常水平值30 ng/ml，可能与口服维生素D剂量不足、老年患者胃肠吸收相关。ALP和骨保护素是反映骨形成的两个重要指标，两者的提高可抑制骨吸收，促进骨形成。本文两组血清钙水平较治疗前明显升高，无一例高钙血症，无任何不良反应事件发生。

依那普利联合碳酸钙D3干预研究1年后，A组的BMD值有显著上升。依那普利在治疗高血压的同时，可能有效地发挥对骨质疏松症的改善作用，但还需要进一步临床研究证实其产生的效益。

[参考文献]

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一、“合作探究”模式提出的背景

1.数学概念课教学的特点及现状.数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，具有抽象性、严密性、简明性等特点.正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.然而在传统教学中，由于受教学方法、教学呈现方式等影响，概念课的教学显得平铺直叙、枯燥无味，对于数学基础知识相对薄弱的中职学生来说更是厌学、怕学.

2.中职数学课程新要求.中职数学课程改革的深入推进，对中职数学课程教师提出了更高的要求.对照《江苏省中职数学课程要求》，中等职业教育数学课程的目标之一是：获得专业学习和终身发展所必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用.通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程.以上目标强调了“双基”的形成过程.

二、“合作探究”教学模式的实施过程

1.创设情境，提出问题

这里的问题情境可大致分为两类：一类是与学生生活密切相关的情境.如在讲授指数概念的时候通过观看视频《拉面大王的传奇故事》引入了生活中的拉面问题，引导学生思考面条根数与对折次数之间的函数关系；在讲授等差数列的概念时，通过观察图片《电影院的座位》，引导学生思考各排座位数之间的规律；在讲授平面向量的概念时，通过Flas《豹子为什么追不上小狗》，引导学生思考生活中是否存在一些既有大小又有方向的量；等等.借助于多媒体课件各类形式的呈现，可充分调动学生的学习积极性，使他们认识到数学就在我们身边，数学概念是抽象的，但是其形成的过程是具体生动的.另一类是与学生已学的知识相关的情境.

2.分组讨论，分析问题

这一环节应该视问题本身的难易及学生课堂学习的状态而确定.若第一环节所提的问题本身对学生来说难度不大，可引导学生自己思考分析，这一环节可以直接跳过；若学生课堂反映比较茫然、不知所措，教师应精心组织学生通过分组讨论，学会通过合作分析问题.对照中等职业教育的培养目标，教师在平时的教学中应重视学生合作意识的形成、协作能力的提高，尤其是基础相对薄弱的学生更需要通过小组的帮助提升兴趣，提高学习的积极性.对于小组讨论形成的结论，教师可组织学生当场演示或借助于多媒体投影.

3.形成概念，建构知识

在这一环节中教师应处理好多媒体课件呈现与黑板板书的关系.作为概念教学的重要环节之一，笔者认为多媒体课件的呈现是起辅助作用的，教师应将本节课的重要概念完整地呈现在黑板上，以深化学生对概念的理解.另一方面，教师应引导学生比较相似概念的联系和差别，以深化学生对概念的理解.如在讲授指数函数概念时注意比较与幂函数的区别，在讲授向量时注意比较与线段、有向线段的区别，在讲授等比数列概念时注意与等差数列概念的区别等等.只有让学生充分认识到知识点之间的联系和差别，才能理解并灵活运用.

4.讲练结合，深化认识

在这一环节，教师应注意如下三点：一是教师应结合所教班级学生的实际情况，合理设计例题.总的原则是“统筹全局，兼顾差异”，即以基础题为主训练学生对基础知识、基本概念的掌握，并在基础题上进行适当的拓展，给学有余力的学生一些思考的余地.二是把握教师讲与学生练的时间比例.教师应摆脱学生不会做而教师一言堂的困境，应留给学生充足的时间做模仿练习，教师讲授一道例题，可以让学生模仿练习两道甚至更多.对学生练习中存在的问题可以帮助指导，但是不能包办、取而代之.三是丰富学生练习的形式.除了传统的黑板板演的方式，还有多媒体投影、自由接力赛、以小组为单位的竞赛等.如在讲授向量的概念时，由于涉及的相关概念比较多，我利用多媒体设计了小组竞赛场，在大屏幕界面上，学生可以自由选择题目的题号，回答问题并统计正确的得分.通过教学呈现形式的更新，鼓励更多的学生主动参与到学习中来.

5.联系实际，解决问题

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概念是学习数学知识的基础,是最基本的教学原材料,许多数学知识都是在基本概念的基础上拓展与延伸的。“比”的教学,先学“比”的概念。什么是“比”?两个数相除就叫作两个数的比。再学习比与分数、与除法的关系,接着学习化简比,求比值,按比例分配等问题。如果“比”的概念都没有搞清楚,后面的学习之路自然是难走下去啊。还有另一种情况,数学概念学过了,许多教师并没有安排学生去背诵、抄写、默写等,时间一长,自然就忘了。当复习中问起时,只有张嘴结舌,数学概念早就“还”给老师了,遇到判断、选择、填空等这一类与概念联系密切的题目时只能望洋兴叹,胡乱选之了。因为在教学中,对数学概念知识一带而过,没有让学生用红笔勾画,更没有让学生去熟记、背诵,怎么能够做好这一类型的题目呢?

二、 数学教学的教学语言要准确规范

每项数学概念都是有准确的定义的,语句都是经过许多的数学家反复推敲、论证后界定下来的,是经过教材编著者反复使用后确定下来的。因此,教师在教学数学概念时,应使用准确、规范的语言,把数学概念原原本本地告诉学生,而不是随意而出,信手拈来,教给学生的概念不严密、不科学,甚至是错误的,这样就会影响学生进一步的学习与知识的掌握。如教学“方程”的概念:含有未知数的等式叫做方程,这个概念含有两个要点:一是要含有未知数,二是必须是等式,同时满足这两个条件的才能成为方程。如:m+2=6;4a-5=3;15-x=6;x=5都是方程。而5+3=8;12-9

三、数学概念的教学要突出关键

数学概念是由一句或几句相关依存,联系紧密,逻辑性很强的语句组成的,它们的先后顺序不能打乱,中间要素缺一不可,为了让学生更好地掌握数学概念,可采用突出关键的办法,效果较好。如在“平行四边形与梯形”的概念学习中,什么是平行四边形?两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。什么是梯形?只有一组对边平行的四边形叫做梯形。对比这两个概念,平行四边形与梯形都属于四边形,但它们的关键点不同:平行四边形是两组对边分别平行,梯形是一组对边平行,突出了关键点,再辅以直观的图形,这两个概念学生就易于掌握了,而且印象深刻。

又如:分数的基本性质是:分数的分子与分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。在这一概念里,需要强调的有两点:一是同时乘或除,而不是加或减,二是附加条件:“0除外。”千万不要小瞧这不起眼的一句。因为这一关键点强调不到位,导致许多类似的判断题出错。

四、概念的教学要以学生理解为归宿

概念描绘的事理都是现实生活的反映,是现实生活数量关系的真实写照。但它又是从生活中高度概括提炼出来的,由抽象的语言组成的。如何让学生通过这些抽象的语句来理解现实的数量关系,进而达到对数学概念的准确把握,深刻理解呢?

篇8

DOI：

10.16657/ki.issn1673-9132.2016.01.151

计数器在小学数学课堂上必备的教学工具之一，常常用于数的认识、数的运算等课的教学中，其在帮助学生建构十进制、位值制概念及相同计数单位数直接加减等核心概念的学习中有着独特的文化含义和价值。笔者通过最近听过的三个课例谈谈计数器对以上核心概念建构的价值。

课例一：11-20各数的认识（青岛版课程标准实验教科书小学数学一年级上册第五单元）

11-20各数的认识是10以内数的认识的延续，也是认识更大自然数的基础，是学生建立数位概念的重要节点。一年级学生大多数能按顺序从1数到20，甚至更多，但学生对于计数单位“十”“满十进一”、位值等概念还很模糊，大多数学生不理解“位值原理”。因此，这节课让学生体会体验计数单位“十”产生的必要性是一个核心点。

<F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif> [10个一][1个十][1 0][这是计数器。] [十位 个位] [1 1][十位 个位]<F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif>[1个十，1个一，是11。

10+1=11]

教学片断：解决“沙滩上有多少只海鸥”―― 认识数“11”

1.数海鸥：先估计再数数――突出数法指导，渗透数数策略。

2.摆小棒表示数――体验计数单位“十”产生的必要性。

3.用计数器表示数。――建立1个“十”和10个“一”的不同表象。

（1）计数器上拨出11。

（2）增加数位，对比小棒法认识计数器上的个位和十位。

教师：计数器上还有很多的珠子，它们坐的位置不一样，表示的意义就不一样。十位上的珠子是专门用来表示几个十的，十位上坐上 1 颗珠子，它就表示 1 个十，就是刚才我们捆起来的一捆小棒;个位上的这些珠子是专门用来表示几个一的，个位上坐上 1 颗珠子，它就表示 1个一。

4.用符号表示数――把计数器上表示的数抽象化，就是数的书写形式。

价值分析：这里计数器的使用是必需的，数学思维一般通过数学活动要揭示（发现、掌握）的新的、未知的东西是什么。有些新的、未知的东西，学生自己能够发现，比如海鸥有11只，可以通过数知道。但学生不可能发现新的计数单位 “十”。因此，计数器从一个数位扩展到两个数位，并通过比较小棒摆11和计数器拨11的两个活动，让学生体会其相同点和不同点。因为同一个数字符号在不同的数位上表示不同的数值，所以，用较少的数字符号可以表示很多数，古人用位值制就将数学的简洁、智慧与优越彰显无遗。

课例二：9加几（青岛版课程标准实验教科书小学数学一年级上册第七单元）

“9加几”作为20以内进位加法的第一课时，是一节种子课。这样一节种子课的教学价值不言而喻。因此教师不仅要熟悉教材中的每个知识点、清楚知识链接的逻辑体系，也要厘清9加几的算理、算法分别是什么、知识生长点在哪里，才能更好地引导学生学可以生长的数学。为此，我翻阅了相关资料，对“9加几”中涉及算理、算法、十进制等文化。

教学片断：探究9+6=

方法一：接着数

生1：1，2，3……15。

生2：10，11，12，13，14，15。

方法二：凑整

生1：老师我是这样做的。我先算的10+6=16，9+6=15。（板书）

方法三：凑十

1.摆小棒“凑十”

生1：我从6拿出1个一，给9，9变成10，10再加上剩下的5就合成了15。

生2：我把这个1和9合成了10，10再加上剩下的5，就是15。

师：（课件动画）我们一起来看看他是怎么做的。9+6，我们先从6里面拿出1个一，给9，9凑成1个十，再和原来的5个一合成15。

师：既然是把9凑成10，我们就叫它凑十法吧。

2.计数器感知的必要性。

师：你能在计数器上拨出9+6吗？

先拨9，再拨6――十位上拨出6个十（不行）――不会拨，因为个位只剩1个。由此得出这个6必须拨在个位上，可是个位上只剩下1个了。那怎么拨6，想办法。

先拨一个，用十位上的1个代替个位上的10个。（学生交流：为什么？十位上因为10个一，就是1个十。）

再在个位上拨剩下的5个了。（学生交流：为什么+6，却拨5个）

师：9+6。先拨9，9+6再先拨其中的1，这样就10个一了，用.十位上的一个代替个位上的10个，再在个位上拨剩下的5个，听明白了吗？

3.抽象算法。

……

价值分析：该课例在处理9+6=？这一个核心知识点的建构时通过摆小棒、圈图、用计数器等方法，利用数的组成、十进制计数策略等不仅注重了凑十的形象思维，还突出满十进一的十进制计数法，诠释了“凑十法”与十进制计数法之间的联系，把表象转化成学生头脑中的思维程序，使学生不仅知其然， 还要知其所以然， 从而保证了在进位加法中的有效迁移，实现了核心知识以生长的姿态的主动建构。

课例三：两位数加两位数（不进位）（五年制青岛版小学数学教科书一年级下册第六单元）

分析两位数加两位数（不进位）的教材，不难发现算法可多样，重点介绍笔算。通过对学生的了解分析，我着重关注了两点：一是如何将学生更习惯的口算的方法与笔算对接;二是如何将算理直观，算法抽象;三是课本中的“在竖式计算时，相同数位要对齐。”如何帮助学生理解建构？我在对上述问题深度思考的过程中，觉得计数器更加接近笔算的样子，那么借助计数器帮助学生直观算理，算法抽象应该效果会好。

<F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif><F：＼冯F＼学周刊＼2016年＼1期＼1 4-125＼陈曦-3.tif> [26

12][+][38] [十位][十位]

[竖式计算也叫笔算，也就是把

口算的过程用笔写出来。

例如：26+12][6+2=8

20+10=30

30+8=38] [26

12

8

30

38][+] [26

12

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一、前言

合作学习模式既是探索新课程改革中教学模式突破口的一个重要切点，又是高度契合素质教育精神的一种新型课堂教学形式。在教师的指导之下，鼓励学生参与教学活动，并进行自主探索与合作交流，这是初中数学新课程标准对于初中数学教学改革的原则性要求。在本文中，我结合自己的教学经验，参照相关学习理论，总结了一套提高基于合作学习理念的初中数学教学效果的方法和措施。

二、提高初中数学合作学习模式实效性的策略

不少的教育专家均承认，如果是单纯地将学生划分为一个一个学习小组，并要求每个小组成员进行合作，这根本无法保证学生达成“合作学习”的目标。换言之，小组合作学习模式效果的发挥需要众多因素的参与，也只有这些参与因素的协调与配合，才能够在真正意义上达成小组合作学习的目标。我结合相关理论和教学实践，在下文中给出了提高初中数学合作学习模式实效性的若干策略。

1. 端正认识。合作学习模式之所以不同于传统的教学模式，主要是因为处于同一小组的学生需要依照明确的分工来共同完成预定的学习目标。简言之，团队精神对于合作学习模式而言至关重要。组员之间不仅分工明确，而且还需要相互帮助，除了知识的学习之外，学生往往需要更多的时间去倾听、参与、交流，因此，能力培养尤为合作学习模式所看重。教师和学生对此必须要有深刻的认识。

2.划分小组。学习小组划分得是否科学合理将直接影响日后的学习效果。因此，教师在进行小组划分时必须要充分考虑学生的性格、性别、兴趣、成绩等多种因素，参照“组内异质、组间同质”的基本分组原则合理划分学习小组。在小组成员数量方面需要进行有效控制，建议每个学习小组包括四至六名学生为最佳；同时，为了能够调动学生参与的积极性，保证每个组内成员拥有同等参与机会，应该让每一个组员均担任一定角色（如组长、发言人、记录员等），并且每一个角色由组员定期、轮流担任。

3.明确分工。明确的分工有利于小组内部成员各司其职，也有利于查找学习任务进行不顺利的根源。所以，教师在完成分组之后，需要为每一个小组明确合作学习的目标与任务，并帮助学生合理划分组内职能。另外，建议制定一份合作学习的操作程序（包括学习任务的意图、要求、方法、步骤等信息），并认真讲解给同学听，为初次合作学习提供行动指导。因为团队精神对于合作学习的成败有着至关重要的作用，所以，教师应该重点培养每一个组员的合作意识与合作精神，并积极构建组员之间的依赖关系，使他们觉得能够与小组成员分享自己的学习成果是一种荣誉。

4.设计内容。作为一种教学模式，合作学习是突破学生和学生之间、教师和学生之间心理壁垒的有效途径，更是实现师生合作、生生合作的重要方法，它能够有效培养学生的自学能力和自我督促能力。但是，需要我们注意的是，并不是所有的初中数学内容（包括指定需要合作学习的内容）均适合采用合作学习模式。在设计合作学习内容的时候，需要充分考虑问题难度、学生素质、教材内容以及教学目标等多种因素，最后做出最优的选择。

5.过程管控。在开展小组活动时，常会表现出一些问题，教师要有效地进行调控。当小组提前完成任务时，应检查他们是否正确完成了任务；发现小组讨论混乱无序时，要耐心讲解，帮助学生尽快进入有效的讨论；讨论偏离主题时，要及时发现，及时制止，将学生引回到任务中来。

6.典型示范。合作学习结束后，要给学生充分展示成果的机会，并给予及时的反馈和总结，做到善始善终。教师要尽量让更多的小组充分展示其成果，每位学生的发言都是代表小组的意见而不是哪个人的想法。其他组的成员有不理解的地方可以向发言小组的成员提问。

所以，落实初中数学的合作教学模式，绝对不能够照搬理论、硬套模式，需要结合当时的实际情况，并及时解决应用过程中的各种问题，使其最符合当时的教学实际情况，如此才能够满足学生的个性化学习需求，并实现学习时间的灵活调配。总而言之，在落实合作教学模式的过程中，应该认真组织学习进行充分沟通，调动学生参与的积极性，不仅要求组员之间相互合作，还要求组员之间相互鼓励进行探索，彰显合作学习的精神价值。

参考文献：

[1]黄安成.自主探究 合作交流 挑战竞争 师生双赢――学习《数学课程标准》改进课堂教学[J].数学通报.2004（08）.

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复习引入:

问:反比例函数的解析式和定义域?

师:这节课,我们研究在直角坐标平面中反比例函数的图像和性质。

出示课题:18.3.2反比例函数的图像和性质(1)

(一)三个操作,确定观察实例

(2)描点

(3)连线

师:按照自变量从小到大,即按点从左到右,用光滑的曲线连接,并向两方伸展。所画图像向两方延伸,会不会与坐标轴相交?

小结:根据解析式,如果x所取值的绝对值越来越大,那么y的对应值的绝对值越来越小;而x所取值的绝对值越来越小(不为零),则y的对应值的绝对值越来越大。由此可知,图像向右或向左延伸,与x轴越来越靠近;图像向上或向下延伸,与y轴越来越靠近,但都不会与坐标轴相交。

操作2(师生同步画图)

类比操作1,画反比例函数 的图像。

(2)描点

(3)连线

师:对学生画图中出现的问题进行投影讲评,引导学生小结画反比例函数图像应注意的事项。

3.操作3(学生独立画图)

画反比例函数和 的图像。

(老师示范 自变量x的取值、描点)

(二)三次类比,分析本质属性

师:我们前面研究正比例函数是通过图像得到性质,这里我们同样通过函数图像来归纳反比例函数的性质。

问:正比例函数的图像是什么?那么反比例函数的图像是什么?(投影表格)

完成正反比例函数图像部分的填写

1.类比思考

问:正比例函数有哪些性质?

师:观察、比较上面四个函数的图像,类比正比例函数性质的研究,请各小组从“图像的位置分布、函数的增减性”几个方面讨论反比例函数有哪些性质。

讨论参考问题:

(1)函数的图像分别位于哪几个象限内?

(2)随着图像上的点的横坐标x逐渐增大,纵坐标y是怎样变化的?

(3)图像的每支都向两方无限延伸,它们可能与x轴、y轴相交吗?为什么?

2.类比归纳

反比例函数(k是常数,k)的性质:

(边归纳边完成表格)

分组讨论,修正性质

师:以函数为例,若在第一象限的分支上取两点,如a(1,6),b(3,2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小;若在第三象限的分支上取两点,如c(-1,-6),d(-3,-2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小。但如果,分别在第一、三象限各取一点,如a(1,6),d(-3,-2),是否符合这一增减性规律?

生:应该加上“在每个象限内”或“在对于每个分支而言”或“当x>0或x<0”时,等等。

3.类比小结

对照表格,谈谈正反比例函数图像和性质的异同点。

(三)三层练习,进行巩固运用

(1)比例系数k分别是多少?

(2)图像分别在哪些象限?

(3)图像在每个象限内,y的值随x的值的变化而怎样变化?

课堂小结

谈谈你学习的收获和体会

(学生没有提到的部分,老师通过引导直接讲解,帮助学生进行小结)

师:同学们回答的很好,这节课我们不仅学习了画反比例函数的图像,还研究了它的性质,更重要的是我们感受了学习知识的方法。上节课我们学习了反比例函数的概念,这节课我们学习了如何画反比例函数的图像,归纳得出了反比例函数的性质,下节课我们将运用这些性质来解决一些问题。

二、对数学概念课教学设计的几点思考

“反比例函数图像和性质”的内容教学,学生在前面已经学习了正比例函数的解析式、图像和性质,反比例函数的解析式。本节课的教学重难点有两个:一是会用描点法画反比例函数的图像;二是结合图像分析归纳反比例函数的基本性质,并掌握这些性质。

反比例函数的图像和性质较正比例函数而言,较难操作画图,比较抽象,不易理解。这堂课力求在学生已有知识结构的基础上,让学生在动手操作、性质比较、自主探究的过程中不断地发现新知识,从而促进学生对有关反比例函数图像和性质的知识构建。

(一)注重两种数学概念学习形式的有机结合

数学概念学习主要有两种形式:一是数学概念形成,二是数学概念同化。数学概念形成需要的是对物体或事件的直接经验,从这些物体或事件中抽象出它们的共同属性。而在数学概念同化的过程中,重点在于学生把新知识与头脑中已有的有关知识联系起来。但两者不是互相排斥的,在数学教学中可以把这两种数学概念学习形式有机的结合起来,常常能收到较好的效果。

本例中设计了三个操作、三次类比、三层练习,让学生经历了“观察操作实例——分析本质属性——修正本质属性——练习简单运用”等几个阶段,这里运用的是数学概念形成的学习形式。本例从具体的操作实例出发,对反比例函数从k>0和k<0的两种情况分类研究操作画图,归纳得出了反比例函数图像性质的“本质属性”,再通过具体实例函数 在第一象限的分支上的两点a(1,6),b(3,2)和第三象限的分支上的两点c(-1,-6),d(-3,-2),对性质进行检验与修正,最终概括得到反比例函数的性质。然而,在分析本质属性中,本课将正反比例函数的图像和性质进行三次类比,运用了数学概念同化的学习形式。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系,把新概念纳入到相应的概念体系中,同化新概念。

通过数学概念形成和数学概念同化两种学习形式的结合运用,学生对“反比例函数的图像和性质”既有感性认识又有理性认识,从具体到抽象,符合人的认识规律,提高了教学效率,使学生能够在较短的时间内正确理解数学概念所反映的事物的本质属性。

(二)注重数学思想方法的渗透

对数学而言,知识的发生过程,实际上也就是思想方法的发生过程。因此,概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程等都是向学生渗透数学思想方法的极好机会。

本例的一个重难点是“理解和掌握反比例函数的图像和性质”。在性质归纳中设计了“类比思考”、“类比归纳”、“类比小结”三个环节,对正反比例函数进行充分的类比,让学生更好的体会利用函数图像来研究函数性质的研究方法,降低学习难度,对反比例函数的图像和性质的掌握会更好。

另外,本课将反比例函数分成“k>0”和“k<0”两种情况进行研究,渗透了分类讨论的数学思想。在反比例函数增减性的讲解中,借助图像和具体的点和坐标,再从具体到抽象,充分运用数形结合的数学思想方法,帮助学生更好的理解性质中的难点。

数学的概念、性质和定理等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而基本的数学思想方法却隐含在知识的教学过程中,是无“形”的,并且不成体系散见于教材各章节中。在概念课的教学过程中,我们老师应注意把握好数学思想的渗透时机,寻找适合学生的认知发展水平的渗透方法。

(三)注重数学概念的过程教学

数学知识的发生、发展、形成和应用的过程,是课程目标内容,也是课程学习内容。在数学概念课教学中,要抓住数学概念的本质属性及其内部联系,结合学生的能力状况及知识水平,采用多种方式,组织学生参与概念的分析、概括、形成过程,变“成果教学”为“过程教学”。

例如在“反比例函数增减性”的教学中,不是直接给出“在每一象限内”这一前提,而是先由学生类比得出“k>0时,y的值随x的增大而减小;k<0时,y的值随x的增大而增大”这一不正确的结论。再给出具体的函数上的两点a(1,6),d(-3,-2),讨论是否符合这一增减性规律。最后,对得到的结论进行修正。

学生在这一讨论后,提出了不同的修正方案,有“对于每一个分支而言”、“对于每个象限”而言、“当x>0时”等。这一开放性的教学策略,为学生提供更多的机会和时间,让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结,使课堂成为学生能动地、创造性的生成过程,避免了把数学概念绝对化,让学生形成“正确的答案可能不止一个”的认识。

总之,数学概念的教学,既是数学教学的重要环节,又是数学学习的核心,其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延,使学生思考问题、推理证明有所依据,能够创见性地解决问题。概念教学的效果如何,将直接影响学生对数学知识的理解、掌握和应用。因此,在概念教学中,教师要根据课程标准对概念教学的具体要求,创造性地使用教材,努力优化概念教学设计,把握概念教学过程,真正让学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。

整理

参考文献:

[1]瑜文琪.要重视概念和知识的发展过程的教学.中学数学教学参考,2000.