中学数学论文模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇中学数学论文，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

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2.“数形结合思想”在实际生活中的应用

将实际问题转化，运用数形结合的思想去解决。“数形结合”思想可以帮助理解抽象的问题，会在实际生活中有很大的应用。“数形结合”的思想不仅在教学中有用，利用数形结合的思想来解决现实生活中的问题有很大的帮助。例如：对于在实际生活的中，需要地域500元购入60元的单片软件3片，需要购入70元的磁带2个，额选购方式有几种？其实这样的题目就是对于数形结合思想、排列以及数学中不等式的解法的考查，那么只要设需要软件x片，需要磁带y盒，然后列出不等式，相反，如果用列举法一一列出，是可以解决的，但是过程就会变得麻烦。因此，掌握数形结合思想对实际问题的解决作用是很大的。

3.“数形结合思想”在几何当中的应用

中学数学中对于“数形结合”思想对于直线、四方形、圆以及圆锥曲线在直角坐标系中的特点，都可以在图形中寻找解题思路。不论是找对应的图像，以及求四边形面积等的几何问题都有很大的应用。例如：已知正方形ABCD的面积是30平方厘米，E，F是边AB，BC上的两点，AF，CE并且相交与G点，并且三角形ABC的面积是5平方厘米，三角形BCE的面积是14平方厘米，要求的是四边形BEGF的面积。在求解过程中，结合图形，连接AC\BG并设立方程可巧妙求解。可见，在具体实际的几何中的分析与思考，运用到数形结合思想就会将问题变得简单。

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二、教学生活化，提高课堂教学效果

（一）设计生活化的例题，提高学生理解能力题海战术的时代已经过去，我们要精选例题，将所包含的知识点讲清讲透，让学生深刻理解、真正掌握，进而掌握这一类题目。尽管教材非常重视与生活的关系，在例题的编排上尽量选取与学生生活密切相关的，但教材毕竟具有一般性，而各地区、各学校、各班级的学生具有特殊性，这些例题只能兼顾一部分学生的生活。这就需要教师要做一个生活的有心人。要深入学生的生活，做一个生活的有心人，善于挖掘生活中所存在的数学素材，抽象与提炼出数学问题，唤起学生已有的生活经验，让学生体验数学、感受数学。这样更能激起学生学的激情，更加利于学生对知识点的理解与运用。

（二）布置生活化的练习，提高学生实践能力数学新课程标准提出：运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题，使数学成为必要的日常生活的工具。作为学生运用数学知识的一个重要环节的练习，不能只是让学生机械地来做练习册上的题目，而是要将练习与学生的生活结合起来，让练习生活化。这样既可以激起学生完成作业的激情，而且可以为学生提供了运用的平台，让学生可以充分运用所掌握的数学知识来解决现实生活问题，这可以增强学生的应用意识，强化学生的荣誉感，让学生真切地体会数学学习所带来的乐趣，学好数学可以更好地为生活服务，从而激起学生更为强烈的学习动机。

三、活动生活化，培养学生数学思维

我们不仅要利用好有限的课堂教学时间，为学生提供更为丰富、直观而富有趣味性的教学情境中，实现寓教于学，将教学与生活结合起来，让学生学到真正有用的知识，强化学生的理解、记忆与掌握。同时还要将教学的触角延伸到课外，这也是生活化教学的一个重要方面。因此，在教学中我们要组织学生开展丰富的课外活动，为学生提供一个更为宽广的展现自我的舞台，让学生在课外活动中得到数学素养与能力的整体提高。

（一）寻找生活中的数学生活中不是没有数学，而是缺少发现的眼睛。教师不仅要成为生活的有心人，同时还要让学生学会用数学思维来寻找现实生活中所存在的数学问题。这对于学生来说既是一次学习的机会，同时也是一次运用的机会，能够让学生真正从数学的角度来认识生活，让学生自主地发现学习的乐趣、运用的乐趣。同时也是学生对所学知识的真正理解与运用。

（二）制作数学教学具教具是教师教与学生学数学的重要工具。我们可以发动学生一起来制作教具，这样可以达到学生对这些知识的真正理解与掌握。学生利用生活中可以利用的材料来制作富有个性化特点的学具，再组织让学生进行解说，并评出各种奖项，如最具创意奖、最实用奖、最优美奖等。这样的课外活动，将学生的学习与运用切合结合起来，不仅可以让学生加深对知识的理解，而且还可以培养学生数学思维，提高学生动手与动脑能力，可谓一举多得。

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要化解数学学习抽象性所造成的学习困难，将抽象内容直观化无疑是一个好的方法。数学的思想方法都是经过数学家的归纳概括抽象而成，教材中呈现的都是最终的结果，体现的是一种“冰冷的美丽”。数学教师的教学所要做的就应该是创造条件，让学生再次经历知识（包含数学的思想和方法）的形成，以此促成学生学习过程中的“火热的思考”。如在教学全等三角形时，通常教师是首先给出一些图片让学生观察，引导学生发现如果将它们叠在一起它们就能重合，从而得出结论：两个能够完全重合的图形称为全等图形。以上教学设计的实施并没有对学生理解全等图形的概念有不利的影响，但学生失去一个了解图形能够重合的变化过程，即缺少了过程性体验，也不利于后续形成有效的“数学化”。如图1所示，使用超级画板软件制作的课件可以“化静为动”，通过对“平移”“旋转”“折叠”等变换过程的观察，学生“看”到两个图形能够重合。这里通过让图形自己说话，让学生通过自己的观察、讨论、总结来得到结论，往往要比观察静止图片的效果更好。此外，通过超级画板软件的直观演示，有利于学生深入理解全等图形的本质特征，并为今后学习全等图形的证明打下良好基础。教师应该在全等三角形的教学中有意识地渗透“对应”的思想。而“对应”是一个比较抽象的概念，学生往往难以一步到位地完全理解和掌握。这种情况下，教师就可以充分发挥信息技术的优势，制作课件帮助学生理解这一概念。图2是为介绍“对应”而设计的一个课件片段。教师点击动画按钮就可以使绿色的三角形慢慢移动到蓝色三角形的位置，从而在动态演示中帮助学生认识什么是“对应”。除了动画演示外，还可以通过拖动变量尺的滑条慢慢呈现变化过程，有意识地提示学生分别从边、角等方面进行观察总结，进而思考得到结论。以此体现新课程所倡导的让学生经历过程性体验的理念和要求。再比如，初一的学生在遇到判断“前面带负号的数一定是负数吗”这个问题时，由于在小学阶段遇到的主要是具体的数，而到了初中开始出现用字母表示数，过去的学习经验和思维水平的局限导致部分学生在判断时出错。为了化解这个学习的难点，数学教师可以使用超级画板制作“-a一定是负数吗”的课件，如图3所示。首先测量出数轴上的任意一点a的横坐标，修改测量文本的显示为红色的“a=”，然后作出数轴上与这个点关于原点对称的点-a并测量其横坐标，再修改测量文本显示绿色的为“-a=”。当拖动红色的点a不断改变其值时，会发现a与-a的关系，从而让学生理解了“-”的意义，也让他们了解到a代表的数可能是正数、负数、零，应该分类考虑[2]。中学数学教学中要特别重视数学思想方法的教学，而且数学思想方法的教学应该体现在每一堂课和每一个数学问题的研究解决中。在解决上面“前面带负号的数是负数”问题时就体现了分类讨论的思想。但是，学生对这一思想的认识可能需要不断地深化。因此，课后还可将问题进行延伸，让学生自主探索a与1/a、a与2a之间的大小关系。这样既巩固了知识和思想方法的掌握，又培养了学生的问题探究意识和能力。中学数学里有些内容在过去是说不清的，如一张纸对折30次后有多厚？这个问题很多时候被用来让学生受到震撼，以此说明经验的局限性。但230具体有多大，许多人并不了解。实际上这个问题属于数学的指数增长问题，它的很重要的一个意义在于帮助学生理解指数的爆炸性增长。没有计算机工具，人们可以用估算的方式得到近似数，但是使用超级画板，中学数学中面对的一切计算问题就都不再是问题了。与此问题相关的是比较31000和10003的大小。图4所示是在超级画板中分别计算的31000和10003的结果。运算结果的呈现，学生可以立马从观察结果上领会“爆炸性”的意义，谁大谁小也显而易见。

2显示变化，消除疑惑

现实中，不仅是学生，一些中学数学教师也对数学中的一些问题心存疑惑。这些问题的形成有的与教材的编写有关，如中学数学教材中有许多规定，弄清这些规定的合理性并不是简单的事情。另一方面，有些问题与数学教学的工具有关。如初中学习绘制二次函数图像时，为什么在描出五点后用“光滑的曲线”将这些点连接起来？如果利用直线段连接就无法做出二次函数的图形吗？由于二次函数图像是由无穷多个点组成的，而这无穷多个点组成的图像事实上是一条光滑的曲线抛物线，所以在五点作图时要用光滑的曲线连接。这里应该是先有“二次函数的图像是光滑的抛物线”，然后才有“用光滑曲线连接五个点”。传统教室里，教师用黑板、粉笔授课时用光滑曲线连接的合理性正在于此，而不是一个必须的规定。其实只要描点足够多，即使用直线段连接仍然可以做出二次函数的比较准确的图像。图5、图6所示课件可用来说明“用光滑曲线连接”的合理性和正确性。图5是在（-3，3）区间上描9个点后用直线段连接这些点作出的y=x2图6则是（-3，3）区间上描100个点后用直线段连接这些点作出的y=x2图像。从两个图像中一方面可以看出描点数的多少对函数图像准确性的影响，另一方面也可以看到哪怕是点之间用直线段连接，只要描点足够多，一样可以做出“准确”的二次函数图像，从而帮助学生加深对“函数图像实际上是点的集合”的认识。

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二、微分中值定理在中学数学中的应用

1.讨论方程根的存在性问题

中学数学教学中，除二次方程根的问题较为容易，对其他复杂的方程往往会使学生无从下手，因此可结合微分中值定理进行分析并解决。通过给定闭区间[a,b]上的函数，只需保证区间内连续可导，而且以f(a)=f(b)，便可通过罗尔定理解决方程的判根问题，具体做法为：首先命题条件，再进行辅助函数F(x)的构造，然后将F(x)验证以满足罗尔定理条件，最后做出命题结论。例如，f(x)在（a,b）上可导，在[a,b]上连续，证明(a,b)内,2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(x)至少存在一个根。对此，可首先使F（x）[（fb）-f(a)]x2-(b2-a2)f(x)，其中F(x)在(a,b)上可导，在[a,b]上连续，F（a）=f(b)a2-b2f(a)=F(b)。至此，以罗尔定理为依据，将存在ζ使2ζ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(ζ)，在(a,b)内，2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(x)至少有一个根存在。

2.证明不等式

不等式在中学数学中是重要的内容，微分中值定理在其证明上发挥很大的作用，具体可在不等式两边的代数式进行不同的选取设为F（x），通过微分中值定理，可得出一个等式，根据x取值范围对等式进行讨论，如对ln(1+x)≤x(x＞-1)进行求证，当x=0时，ln(1+x)=x=0；x≠0时，对于f(t)=lnt,将1与1+x设为端点，并应用拉格朗日中值定理，在区间内的ζ使f(1+x)-f(1)=f′(ζ)(1+x-1)，即ln(1+x)=xζ；当x＞0时，ζ>0，0<1ζ<1,因此ln(1+x)≤x；当x＜0时，0<ζ<1，1ζ>1、ln(1+x)与x为负值，所以ln(1+x)≤x，即对x＞-1恒成立。

3.用于求极限

中枢穴中对于极限的问题，很多时候在使用洛必达法则，为教师及学生带来很大的计算量，但通过微分中值定理可为较难的极限问题提供有效且简单的方法，主要是通过对某些部分进行辅助函数的构造，通过微分中值定理的使用，得出极限。

4.函数单调性的讨论

对函数单调性的判断，采用微分中值定理的主要方法是：当f(x)能够满足闭区间[a,b]连续，开区间（a,b）可导，那么(a,b)中f′(x)＞0，可推出f(x)在[a,b]上单调增加；若f′(x)＜0，单调减少。尽管连续函数中的某个点可能存在无导数的现象，但对函数单调性不会有影响。另外，在中学数学中可能涉及到利用函数单调性求极值，此时首先可对函数定义域进行确定，并将f′(x)求出，在对定义域内所有驻点进行求值，找出f(x)连续但f′x）不存在的点，最后对驻点及不可导点附近f′(x)的符号变化情况进行讨论，确定函数极值点，以此求出极大值或极小值。

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二、不同教学范式视角下中学数学教学的特点

(一)科学范式视角下的中学数学教学

科学范式在理论上受课程论、教学论、社会学、历史、经济学及教育学、心理学等学科理论的影响和制约，其中课程论和教学论的发展为数学教学的科学范式理论研究奠定了基础。科学范式视角下的中学数学教学强调在教学内容、教学过程、数学教学研究等方面有章可循，要坚持相关的基本原则以及遵循数学教学的客观规律。在教学内容的选择上遵循以下规律:(1)适合性。教学内容既要注重数学学科结构，也要考虑学生的认知结构和心理特征。(2)普及性。教学内容特别是例题的设计不仅要适合优等生，更要照顾到大多数学生的需要。(3)应用性。教学内容既要体现双基的要求更要注重学生对知识点的应用。在教学过程中做到:(1)处理好教学过程中教师、学生、教材等因素间的相互关系;(2)在已有的教学条件下，根据学生学习基础等情况对教学方法做出最优化选择，使数学课堂教学质量达到最佳;(3)对教师的教和学生的学做出合理的评价。在数学教学研究方面，认同数学教学的理论研究属于教育科学的范畴，因此科学范式倡导用教育科学研究中操作性较强的方法和原理如观察法、调查法、文献法等对数学教学进行理论研究和实践探讨。科学教学范式过分强调教学的规律性和原则性，教学内容追求逻辑的严谨性和体系的形式化。数学知识以基本知识、基本技能的形式呈现，忽视了数学的工具性、语言性、文化性、创造性。在数学的教育功能方面，教师的教学目标和学生的学习目标偏向应付考试，课堂教学以教师为中心，缺乏学生主动参与。教师对于课堂教学中的突况缺乏灵活性，数学教学显得呆板。

(二)能力和技能范式视角下的中学数学教学能力和技能

范式的理论基础是行为主义心理学中关于教育目标的具体化和教学行为的可观察性思想。在数学教学中体现在两个方面:一是数学教学目标是培养学生的数学能力和解题的技巧技能。前苏联心理学家克鲁切茨基在长达11年(1956年至1967年)的实验中对课堂教学中能力和技能的培养阶段概括为“信息收集阶段、信息加工阶段、信息保持阶段”［3］。这三个阶段在数学教学中具体体现为:信息收集阶段:在数学教学中数学能力不同的学生对教学中数学知识点感知的信息不同，如在数学解题中数学能力强的学生可从题目给出的已知条件中最大限度地读取对解题有用的信息。信息加工阶段:在数学课堂教学中体现为数学概括能力、运算能力、推理能力、发散思维能力。信息保持阶段:数学能力较强的学生能够对数学知识点的应用，解题过程中对问题分析解答的方式、推理的概要、证明的逻辑等都善于归纳总结，并保持长久记忆。二是师资的要求上认同教师专业化理念。作为中学数学教师必须经过严格的专业学习和训练，掌握数学教学的基本知识和基本理论以及相应的基本能力和技能。能力和技能教学范式的缺点体现在以下三个方面:在教学内容方面:由于数学教学目标技能化，教师在教学内容的处理上忽视数学知识的整体性、系统性、结构性，为了便于技能的教学，将数学知识分解为若干个知识点，而每一个知识点又以技能的方式展现给学生;在教学内容中丢弃了数学思想、数学方法、数学文化等这样的隐性知识。在数学教学方面:可以看出能力和技能范式视角下的数学教学是以培养学生扎实的数学技能，数学教学降格为技能训练。教师在教学时忽视了数学知识的形成发展过程，重视学生的模仿性再现性思维，忽视独立性、创造性思维，缺少对态度、情感、价值观的关注。在学生学习方面:数学课堂上主要进行技能训练，缩短了学生思维发展的时间和空间;学生学习过程就是强制的、单调的、枯燥的解题训练;学生对数学的学习模式化、程序化、机械化。

(三)系统范式视角下的中学数学教学

数学教育理论研究中“教学是一个系统”是受到其他科学领域在方法论方面的影响形成的，其中最重要的是21世纪的系统论、控制论、信息论。“三论”不是“研究具体的物质形式或对象，而是为揭示一切系统的共同现象，提出新思路、新方法的综合理论。“三论”的基本原理有:整体原理、有序原理、反馈原理［4］(P58－59)。具体来说:把数学教学过程看作是一个系统，把教师、学生、教学内容、教学方法等影响教学的要素看成整个系统的子系统。“三论”的基本原理描绘出整个数学教学过程的结构及影响数学教学过程的各要素所处的地位、相互关系和流动方向，并通过分析促进其达到最优化。整体原理:数学教学系统的整体功能要提高各子系统的协调功能，使各子系统和谐优化。系统整体的功能等于各子系统功能之和与各子系统相互联系产生的功能代数和，即“E整=∑E部+E联(E联＞0或E联＜0)"［4］(P233－234)。因此，教学设计、教学实施等过程是由多种因素共同作用的结果，要提高数学教学质量就要避免出现孤立、单一的分析，要综合考虑到学生、教师、教学内容、教学手段、教学环境等因素的影响，即要优化各个子系统及相互联系。有序原理:在数学教学中所谓的有序是指教师在课堂教学中对知识点和例题讲解是清楚的、学生容易理解的。对学生而言学习到的数学知识是可理解的、会应用的。反馈原理:数学课堂教学有三种反馈形式:(1)教和学的反馈。学生对教师提供的信息感知接受并反馈给教师，教师再根据学生反馈的信息对教学程序进行调整纠正，控制教学过程。如根据学生课堂回答问题的情况对教学节奏作出调整。(2)教师自我反馈。在课堂教学中教师将知识信息、学生的反馈信息、外界干扰信息进行加工处理，再以知识信息和控制信息的形式输出。(3)学生的自我反馈。对课堂上教师所讲的数学知识的感知理解重组并输出(课堂回答问题，课堂练习)，通过教师的评价知道正确与否的过程。因此要提高数学教学的质量就要使这三种反馈形式相互配合，有效控制教学系统，加强师生的信息加工能力和信息反馈。虽然系统教学范式有利于教学的设计和实施，但是由于过分强调教学中各个因素对教学的影响，在教学设计和实施中忽视了一切偶然性的因素对教学的影响，也忽视了教学的本质如数学教学的目标及数学学科教学的特殊性;另外系统范式视角下的数学教学缺少灵活性和预知性。

(四)艺术范式视角下的中学数学教学

数学教学是一门艺术，这个结论自古以来就得到人们的普遍认同。在公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派认为:“对几何形式和数字关系的沉思达到精神上的解脱，数学和音乐被看作是净化灵魂从而达到解脱的手段。”俄国教育家乌申斯基认为:“教学的艺术胜于科学本身。”现代的教育教学理论认为教师和学生作为教学中的两大主体，要以艺术的眼光去感知、欣赏、思考教学活动。艺术范式视角下的中学数学教学体现在以下两个方面:(1)教学层面:在数学教学中教师不是简单地复述教材内容，而是依据学生的理解能力、思维能力、想象能力对数学知识“进行重组和演化，对教学方式进行设计和选择"［5］。在数学课堂教学中强调灵活性和创造性，关注学生的情感。(2)教师层面:要求数学教师有扎实基本功，在具体数学知识的教学中充满艺术的感染力;同时教师通过敏锐的观察及依据课堂教学中学生反馈信息的多样性和随机性，对教学内容、教学节奏作出准确的判断，进而及时作出调节;此外教师要有个人教学风格，与学生在教学活动中能够默契地配合，使数学教学活动不仅是数学知识、数学思想的交流，同时也是数学美和数学艺术的交流。艺术范式视角下的数学教学不仅是数学基本知识、基本技能的学习过程，也是艺术的创造过程、审美过程。教师通过创造性的教学设计使学生能够感受数学特有的艺术魅力。但艺术教学范式的不足也显而易见:由于过分强调灵活性和创造性，忽视了数学教学的基本规律和程序性，数学课堂教学中，如果教师不能很好地监控，往往会出现学生的纪律性差、无视课堂规则、自由主义倾向严重等问题。

(五)反思范式视角下的中学数学教学

教学的反思范式最早是美国教育哲学家杜威在1933年HowWeThink一书中关于反省性思维的论述中提出的。到20世纪80年代在基础教育课程改革和教师专业化运动中得到关注和提倡，并从认知心理学、认知论哲学等角度对其在理论上进行了扩展。反思范式视角下的教学是追求以实践合理性为目标的教学活动，“是教师和学生对数学教学过程和结果的自我觉察、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节"［6］。反思的目标是消除困惑，促进实践。数学教学活动是一种思维活动，师生在课堂教学的反思随时存在。反思范式视角下的中学数学教学的基本特征是:学会学习，学会教学。学会学习:在数学学习中由“操作性学习方式转化为反思性学习方式”［7］。学生在听课过程中对数学知识、数学思想方法、解题思路、计算或证明过程、问题分析方式等进行反思，并对自己的学习情况作出监控、调节、评价，进而达到较好的学习效果。学会教学:通过反思性教学使教师由经验型教师转化为反思性教师，促进教师专业化发展。行动研究是数学教师专业化发展的有效途径，而教学中的反思则是教师行动研究的中心内容。反思性教学是连接理论和实践的桥梁，教师教学思想的形成是结合教学实践对自己已有的教学经验、教学理论的再思考。教师只有对正在发生的教学行为、教学的有效性和合理性不断反思，进而对下一步的教学进行修正，才能达到最佳教学效果。教师也会在此过程中逐渐形成自己的教学风格，成为专业化教师。反思性教学范式将数学教学的目标异化为学习能力，虽然这是数学教学目标的能力之一，但忽视了数学教学中如基本知识和基本技能的学习及学生情感、价值观的培养等主要目标。另外，也没有一定的评价标准来界定反思的程度。

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这是一种应用甚广的基本方法，也是处理多元函数最值问题比较有效的方法。用配方法求最值问题的基本思路是设法将问题通过变式配成若干个完全平方式之和的形式，然后根据一元二次函数的单调性进行求解。例1：2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为多少？解：原式=（x+2y）2+（x-2）2+（y+1）2-10由此可知，当x=2，y=-1时，有最小值-10。例2：求函数y=5sinx+cos2x的最值。解：y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-54）2+338，可知，取sinx=1，即当x=2kπ（k∈Z）时，ymax=-2×116+338=4，取sinx=-1，即当x=π+2kπ（k∈Z）时，ymin=-2×8116+338=-6。评注：用配方法求最值问题的依据是把问题转换成二次函数，结合二次函数的图像来求。在最后一步把数据代入配方得到的式子中要注意自变量的取值范围，也就是确定定义域的范围（如例2中对称轴是x=54而sinx的最大值为1）。这种方法适用于求二次函数的最值或可转化为与二次函数有关的最值问题。

二、通过均值不等式求最值

均值定理构成的注意事项。首先，我们应当关注如下的预备知识。二元均值不等式：a+b2≥姨ab（a＞0，b＞0，当且仅当a=b时取等号）。三元均值不等式：a+b+c3≥abc3姨，（a＞0，b＞0，当且仅当a=b=c时取等号）。n元均值不等式：a1+a2+…+ann≥a1a2…ann姨（a1＞0，a2＞0，…，an＞0，当且仅当a1=a2=…=an时取不等号）。同时，在运用均值不等式求最值时应注意以下三点。1.函数解析式中各项均为正数。2.函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。3.含变数的各项均相等时才能取得最值。例3：求函数y=ax2+x+1x+1（x＞-1且a＞0）的最小值.解：y=ax2+x+1x+1=ax+ax+1+（1-a）=a（1+x）+ax+1+1-2a≥2a（x+1）ax+1姨+1-2a=1，当且仅当a（x+1）=ax+1，即x=0时等号成立，所以y的最小值为1满足其等号成立的条件，若不满足则改用其他方法，如单调性。

三、通过数形结合法求最值

数形结合法在中学数学教学过程中的应用十分广泛，它的主要思路是代数和几何思想的完美结合。通常是在解决代数问题时，纯代数方法有时很难达到目的，这时把几何的思想渗透进来，往往问题能得到较好的解决。例4：若a、b是小于1的正数，证明：a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2姨）+（1-a）2+（1-b）2姨≥2姨2证明：作边长为1的正方形ABCD，分别在AB、CD上取AE=a，AG=b，过E、G作EF∥AD，GH∥AB，交DC于F，BC于H，EF与GH交于O，连结OA、OB、OC、OD、BD、AC.OA=a2+b2姨，OB=（1-a）2+b2姨，OC=（1-a）2+（1-b）2姨，OD=a2+（1-b2姨）.而OA+OC≥AC，OB+OD≥BD.即a2+b2姨+（1-a）2+（1-b）2姨≥姨2，（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2姨）≥姨2.故a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b）2姨+（1-a）2+（1-b）2姨≥2姨2.评注：所有数形结合就是代数与几何结合起来探寻解决问题的方法。其应用范围在于用纯粹的代数思想很难解决的代数问题时，可借助相关的几何图形，根据几何性质能有助于我们把复杂问题简单化。

四、利用函数单调性求最值

先判明函数给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。1.对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n]，则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。2.求二次函数f（x）=ax2+bx+c在[m，n]上的最值时，先判定对称轴x=-b2a是否属于[m，n]，若x=-b2a∈[m，n]，则f（m）、f（n）与f（-b2a）中较大者是最大值，较小者是最小值，若x=-b2a埸[m，n]则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f（x）=ax2+bx+c的定义域为R，当a＞0时，有最小值ymin=4ac-b24a.当a＜0时，有最大值ymax=4ac-b24a.例5：已知函数f（x）定义域为R，为对任意x1，x2∈R的都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2，试判断f（x）在区间[-3，3]上是否有最大值和最小值？如果有，试求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由。解：令x1=x2=0，则f（0）=f（0）+f（0），f（0）=0.令x1=x，x2=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，f（x）=-f（-x），f（x）为奇函数。设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，f（x2）＜f（x1），f（x）在R上为减函数。又f（1）=-2，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，又f（x）在[-3，3]上为减函数，故当x=-3时，f（x）max=f（-3）6，当x=3时，f（x）min=f（3）=-6.评注：利用函数的单调性是求最值问题的常用方法，解题是必须先确定函数的单调区间，各区间的增减性。如y=f（x）+kf（x）或利用基本不等式求最值不能奏效时，往往考虑用函数的单调性来解。单调性法主要是指定义法和导数法，其中以导数法用得最多，主要用于求三次多项式函数的最值和解决实际问题中的最优化问题。

五、利用判别式求最值

这是一种在求分式最值、分子分母含有二次项并且能把函数化成一元二次函数形式的方法。在平常教学中应用颇为广泛，学生也易掌握。若函数y=f（x）可化成一个系数含有y关于x的二次方程，a（y）x2+b（y）x+c（y）=0.在a（y）≠0时，由于x、y为实数，必须有Δ=[b（y）]2-4a（y）c（y）≥0，由此求出y的所在范围确定函数最值。例6：已知函数y=x2-xx2-x+1求其最值。分析：从整体函数看，其自变量为x是二次函数，通过yx2-yx+y=x2-x进而有（y-1）x2+（1-y）x+y=0。因x∈R，然后运用到“Δ”求y的取值从而达到解题目的。解：由y=x2-xx2-x+1得（y-1）x2+（1-y）x+y=0.y=1时x无解，必须使得Δ=（1-y）2-4y（y-1）≥0，-13≤y≤1.y≠1，y最小值等于-13.评注：判别式法主要适用于可化为关于x的二次方程的函数，当x的范围是R时，仅考虑Δ即可，当x的范围非R时，还需要结合图形另解不等式，不能扩大y的取值范围。

六、利用换元法求最值

所谓换元就是变量替换，是指把一个数学式子中的某一些以另一些与此相关的量去替代，从而使该数学式子变得较为简单或易于解决的化归过程，其实质是数集到数集的映射化归。主要有三角换元和代数换元两种，用换元时要特别注意中间变量的取值范围。1.数学式换元。例7：求9（x2-x+1x2+x+1）2+5（x∈R）的最大值与最小值。解：令：x2-x+1x2+x+1=y，去分母得（y-1）x2+（y+1）x+（y-1）=0，而x∈R，因此该方程的判别式Δ≥0，即（y+1）2-4（y-1）2≥0.解得13≤y≤3.在z=9y2+5中，其函数是增函数，所以当y=13时，函数有最小值6，当y=3时，函数有最大值86。例8：求y=姨x+2+12x+8（x＞-2）的最大值。分析：此题为含根号的分式函数，不能直接运用均值不等式求最值，考虑分子常数化，变形后对分母用均值不等式。解：设姨x+2=t，则x=t2-2，故y=12•t+1（t+1）2-2（t+1）+3=12•1（t+1）+3t+1-2≤12•12姨3-2=姨3+18，当且仅当t+1=3t+1且t＞0，即t=姨3-1，x=2-2姨3时，等号成立，即所求的最大值为姨3+18.2.三角换元。三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透，解法灵活多变，突出对思维的灵活性和严密性的考察，历来都是高考中的常见题型。学生在解决这些问题的过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。下面通过对典型错解例题的剖析，揭示题型规律，提高解题的准确性。例9：已知a2+b2≤2，c2+d2≤4，求ac+bd的最大值。分析：若这道题直接运用不等式进行解题可能会产生错解，因为2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2，所以ac+bd≤a2+b2+c2+d22=3但其中取等号的条件a=c，b=d才能成立。于是得到a2+b2=c2+d2，与已知相矛盾。在这种情况下，我们应用三角函数替代得到a=姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，代入原式得到一道简单的三角函数题。解：设a=姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，则ac+bd=2姨2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2姨2cos（α-β）≤2姨2，当且仅当cos（α-β）=1时，即（a=b=1，c=d=姨2或a=b=-1，c=d=-姨2成立时取等号），ac+bd的最大值为2姨2.评注：换元的方法形式多种多样，有的甚至涉及到多步换元或多种换元相互运用，我们要注意的是不管怎样变换，其变换的取值范围都不能改变。这种方法有助于我们把复杂的式子简单化，利于我们求解。

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2.独立思考与合作交流完美结合，课堂教学务实与创新并进

中学数学教学从内容到形式在现行的《数学课程标准》下都有很大的变化，教学方法的改革创新尤为突出，在当下的数学教学模式中出现了洋思教学模式、杜郎口教学模式等以研究性学习、小组合作学习等语言交流为载体的方法。关于如何提高研究性学习、小组合作学习教学效果的探讨轰轰烈烈，但焦点始终集中在研讨内容及讨论方式的选择上，表面看上去“热闹非凡”“各抒己见”。笔者认为合作交流的主旨应是在学生具备了个体的数学思考能力后，在交流的环境中思维碰撞，真正提升自己的语言表达和思维能力。众所周知，教育的根本目的是促进人的社会化。每一位学生都将踏入社会，当位于团体之列，需要大家的合作交流与群策群力，而在激烈的竞争中，我们又需要独立的判断力与思考力。因此不难发现，合作交流与独立思考共同构成了学习矛盾和统一的双方，互相转化。那始何使合作交流与独立思考完美结合呢?提议一:在教学过程中，我们可以采取小组合作学习，但对小组的每一个个体，对老师精心编拟的问题都应该先独立思考，而不是为了短期效益而简单地分工合作，然后再以组长(轮流)提问，组员回答的方式，就大家的回答展开讨论，再由代表总结发言。提议二:在讲新课之前，有针对性地安排预习内容(书面形式)，这是非小组形式的，每个学生都要独立完成，在课堂上可以给小组学生就预习问题进行交流的时间。我们知道，学生在回答问题或者搜集材料预习书写的过程中，不仅要考虑解决问题的思路，还要思考如何组织语言来表述自己的想法。这样既锻炼了学生独立思考的能力，又能在合作交流中提升自己。当然，对于那些不善言辞的学生，老师应给予更多的指导、鼓励与关爱。让每一位同学能在“思、写、议、表”方面有所进步，课堂教学的形式多样，但课堂教学必须务实与创新并进。只有这样才能真正使我们的教师摆脱盲目跟从“流行教学模式”带来的困惑。

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2．运用交互式电子白板教学，可以容易化解数学中的难点

在中学数学教学过程中，有效采用交互式电子白板技术，可以通过声音和图像的有效结合，以及动态与静态的融合等诸多优势，直接明了的将中学数学中要求的重点、难点进行一对一讲解，大大提升学生在难点方面的把握与理解．近年来，随着新课标课程的改革，中学的数学内容也有所增加，然而由于学生处在一个比较敏感的阶段，在学习几何以及函数等较为抽象的数学知识的过程中显得尤为吃力，而以往的教学模式只是教师在黑板上讲解，枯燥无味的数学知识只能一味的成为数学中的难点，如何突破数学难点还是值得教师思考的，而交互式的电子白板可以在施教当中利用鲜明的色彩以及动听的声响可以调动学生对数学知识的接受能力，并且在很大程度上可以有效化解课程要求的教学重点和难点，从而帮助学生提高学习数学知识的效率．

3．灵活运用交互式白板活跃课堂氛围，营造良好学习氛围

交互式电子白板和中学数学相互结合，通过灵活运用这一信息技术能够在一定程度上将数学和其他的学科进行适当的整合与对接，教师采用迎合学生所处的心理需求的教学资源的制作，可以以此营造一种促使学生在课堂中的轻松自在的学习氛围，真正让学生在课堂中自由发挥自己的优势，积极主动对课堂中提出的数学问题的思考和发言，比如在紧张的学习氛围中可以适当的播放舒缓的音乐，缓解学生低沉的学习情绪．

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(一)创生活情境，活跃课堂气氛，培养学生的学习兴趣

在数学教学中往往有这样的情况发生，无论老师讲得多再理，分析得多贴切，却不能引起学生的兴趣，不能调动课堂的气氛，无法让学生完全领略这堂课的知识。我是怎样来活跃课堂的呢？例如，我在讲“圆的认识”时，我从古代的大马车，秦朝兵马俑中的战车，近代的三轮车，现代的各种各样的汽车、火车、货车及至豪华轿车，找到很多图片，让学生从外形上去比较，感知人类的进步和文明的发展。不论是哪一个年代、哪一种作用、哪一种形状的车，为什么车轮都是一成不变的圆形呢？这一问题的提出，学生的兴趣立即被提了起来，学生们结合自己的生活经验，各抒己见，纷纷把自己的意见提出来供大家分享，课堂的气氛一下子就活跃起来了，从而使学生对圆产生了浓厚的兴趣，也激发了学生主动探索圆的性质和心理。也增强了学生学习数学的主动性。[1]

(二)让学生感受到数学的有用性，积极主动利用数学知识来解决生活中的实际问题

数学是生活的一种语言，也是认识世界的一个窗口，在我们的日常生活中应用数学来解决日常生活中出现的问题是我们应具有的最基本的素质之一。数学来源来生活，更应用于生活。例如，我在“点和圆的位置关系”教学中，为了让学生体会到成功的应用数学知识解决实际问题的快乐，我设计了下面的习题：一所学校在直线L上的A处，在直线L上离学校180M的B处有一条公路M与直线L相交成30°,一货车在公路上行驶，已知货车行驶时周围100M的圆形区域内会受到噪音的影响。（1）请问学校是否会受到该货车噪音的影响？并说明理由。（2）如果你是这所学校的学生，你会有怎样的想法呢？这样一来，让新的知识与实际生活紧密的结合起来，既促进了学生对点与圆的位置关系的认识，又让学生感受到货车以及其他交通工具对人们的危害，培养了学生们的环保意识，也让数学教学收了意想不到的效果。

(三)拓展生活实践，打造数学知识的运用平台

认为：“人是历史的创造者，又是历史的剧中人”，这就是说，人必然要受到社会历史的制约，但又并不是完全受社会关系的摆布的被动生存物，他能够自觉地、能动地认识和改造社会，使社会环境有利于自身的发展。人是社会的主体，是推动社会发展的根本力量。没有个体的认识和实践活动，也就没有社会历史。人在社会中的发展应是在全面发展的基础上“个人独创的自由的发展”，马克思特别强调人的“自由个性”。人的全面发展同时也是人的自由发展；全面发展的个人，同时也应该是具有个性和主体性的人。同志也肯定学生在教学过程中的主体地位，也肯定了主动性和能动性，主张让学生“生动活泼地、主动地得到发展”。在数学教学的实践中，教师的教学要服务于生活，将学生把学到的知识返回到生活中去，让数学知识的运用过程生活化、兴趣化、具体化。用生活中的实践来弥补课堂内学不到的知识，满足学生的求知欲。产生教与学的共鸣，同时在生活的实践中用数学知识来解决实际问题。

（四）培养学生自主留意生活中的数学

数学是生活的色彩，在我们日常生活中，随时随地都会出现数学的身影，只要你留意，她就会出现在你身边。比如，增长率、企业成本秘利润的核算、市场的调查与分析、比赛场次的安排等，随时都可以让学生感受到数学应用的广泛性，并明确的知道数学知识的应用能更好的帮助他们认识自然与我们的人类社会，更好的适应生活，更有效地进行表达与交流。教师应鼓励学生大胆地去发现、有效的提出生活中的问题，并运用数学知识去解决生活中的问题。久而久之，学生就会感觉到数学知识的乐趣，就会想去发现、去创造，产生学习数学的渴望。

二、注重交流，凸显学生的主体作用

新课程标准明确指出：“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参于、乐于探究、勤于动手、培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。”在中学数学教学中，教师应引导学生运用适当的数学语言，交流各自的认识和体会，讨论大家在学习中遇到的困难，学生相相互提问、答问、论述、证明和反驳，从而在交流中不断探究，在探究中不断创新。只有通过交流，才能凸显学生的主体作用，如果没有交流，学生的思维得不到发散，探究创新与提高能力都将成为空谈。所以我们在数学教学中，如能把新课程理念的要求做到身体力行，才能让学生真正成为学习的主人。比如，在学习《等腰三角形》时，我设计了这几个小活动：1.实践观察，认识等腰三角形。让学生从折纸、剪纸中得到等腰三角形的基础概念，感知等腰三角形的对称性；2.探索等腰三角形的性质。如：从剪出的等腰三角形ABC中沿折痕对折，找出其中重合的线段和角并填表，填完表同组互相探讨。3.作业反馈。当堂作业，巩固知识，当堂小组交换批改，然后班级交流。可以看出这三个教学步骤都是由小活动组成的，而每个活动都是由学生们的自动和互动来完成的，这就充分发挥了学生在课堂上的主体作用。[4]通过这样的学习，让学生从学会向会学转变。学生变成了充满活力的生命体，可以领悟到的是：让学生真正成为学习的主体，是要为学生提供足够的时间，让大家相互合作交流，才能让学生自主的去探究学习。

三、提倡民主，积极发言

数学课程教学是师生共同学习、探索的一个过程，在教学过程中，学生对问题的回答、知识的理解和接受都有一个对与错的过程，在学习中出现错误也是在所难免的。数学本身就是一门活跃的课程，对数学中的问题从不同的角度思考就会有不同的解法。而每一位学生对同一个问题他的思考方式也不尽相同，必然导致解法上会存在差异，甚至于有的学生的解法比老师的都还要精辟。可见在教学中应提倡民主，鼓励有不同意见。独立思考能增强学生学习的信心，同时对进一步张扬学生的主体性也起到了积极的作用。[5]具体来说应采取什么样的原则呢？1.鼓励讨论、辩论，遇到学习上有争议性的问题，都不直接给答案，而是应该让学生对此发表各自的观点和看法，在学生的讨论或辩论中得出答案，让学生在交流的过程中体会到通过自己的努力而解决了问题的自豪感，让他们觉得学习是愉快的。2.错也是一种美，鼓励学生在上课的时候多发言，不要因为答错了而对学生全盘否定，否则会导致学生丧失自信。而教师则应该恰当给答错了的学生以必要的表扬，引出了为什么答错了的争议，再从争议上去思索正确的答案，通过同学们积极的发言带动了课堂气氛，即便他回答错了也不会觉得尴尬。气氛被带动了，学生的主体性也带动了。3.鼓励有创意的学生，对学生的创新解题进行鼓励是凸显学生主体性很关键的一点。特别是学生的思路比老师的还要好的时候，更应该大力的表扬，证明学生已经会学数学这门课程，也让学生能永远对数学这门学科保持积极的心态。

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创新意识是指对创新的态度，是一个人对于创新活动所具有的比较稳定的积极的心理倾向。而数学创新意识则主要表现为对数学创新的态度和认识，是在后天的环境与数学教育影响下形成并发展起来的一种稳定的心理倾向。对于学生而言，数学创新更多的是指学生在学习数学的过程中所表现出来的探索精神，发现问题、提出问题、掌握数学思想方法的强烈愿望以及运用所学知识创造性地解决数学问题或简单的实际问题的能力。可以说这在很大程度上主要表现为一种创新意识。在2000年初（高）中数学教学标准中对数学创新意识有更为明确而具体的阐述：数学创新意识主要是指对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知、独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决。它至少包括数学创新欲望、数学创新情感、数学创新观念。

一、数学教师的创新意识是培养学生创新能力的首要条件

教育本身就是一个创新的过程，教师必须具有创新意识，改变以知识传授为中心的教学思路，以培养学生的创新意识和实践能力为目标，从教学思想到教学方式上，大胆突破，确立创新性教学原则。(一)克服对创新认识上的偏差。一提到创新教育，往往想到的是脱离教材的活动，如小制作、小发明等等，或者是借助问题，让学生任意去想去说，说得离奇，便是创新，走入了另一个极端。其实，每一个合乎情理的新发现，别出心裁的观察角度等等都是创新。一个人对于某一问题的解决是否有创新性，不在于这一问题及其解决是否别人提过，而关键在于这一问题及其解决对于这个人来说是否新颖。学生也可以创新，也必须有创新的能力。教师完全能够通过挖掘教材，高效地驾驭教材，把与时展相适应的新知识、新问题引入课堂初中数学论文初中数学论文，与教材内容有机结合，引导学生再去主动探究。让学生掌握更多的方法，了解更多的知识，培养学生的创新能力。(二)数学教师应当充分地鼓励学生发现问题，提出问题，讨论问题、解决问题，通过质疑、解疑，让学生具备创新思维、创新个性、创新能力。(三)数学教师运用有深度的语言，创设情境，激励学生打破自己的思维定势，从独特的角度提出疑问。培养学生对复杂问题的判断能力，在课堂教学中随时体现。

二、激活学生的数学创新欲望 创新欲望是人类与生俱来的一种本能。苏霍姆林斯基说，“人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。”初中学生的数学创新欲望最初只是一种朦胧的、潜藏的、无意识的本能，它没有明确的、稳定的指向，它需要教师在教学中来激活它，可以说，学生的数学创新欲望在很大程度上是数学教育的产物。它的强弱完全取决于后天所受的教育和熏陶中国。通过教师的正确引导和有效诱发，学生的数学创新欲望会得到强化，创新本能会被逐渐激活，学生的数学创新活动的行为指向也会更为鲜明、稳定，其行为目的也更加确定突出。在强烈的数学创新欲望的支配下，才会有积极的创造性思维和坚定的创造性实践。从数学创新欲望的激活到强化的过程，我们不难发现，数学教育在其中起着决定性的作用。作为数学教育，应将学生创新欲望的激活作为培育创新意识的第一要义，在教学中要很好的保护并激发学生学习数学的求知欲、好奇心及学习数学的兴趣，鼓励学生独立思考，不断追求新知，发现，提出，分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程。2000年秋季开始使用的中学数学新教材中，在必学

摘要求。通过实习作业和探究性活动，积极引导学生将所学知识应用于实际，从数学角度对某些日常生活、生产和其他学科中出现的问题进行研究，或者对某些数学问题进行深入探讨，充分调动学生的积极性，充分体现学生的自主性，使他们的创造潜能与禀赋得到展现，创新欲望和创新意识不断得到强化。在实施创新教育的过程中，不能从“为应试而教”转变到“为创新而教”，缺乏民主，师生之间是一种不平等的人格关系，师生不能平等进行交流，过分强调师道尊严，教师权威，其结果只能是压抑学生的创新欲望，最终埋没学生的创造天性。因此，教师可以充分利用“学生渴求未知的、力所能及的问题”的好胜的心理、数学中图形的美、数学中的历史人物、典故、数学家的童年趣事、某个结论的产生等等激发学生的创新兴趣。

三、教师是保护学生创新能力发展的“监护人”

在数学教学中，学生闪现的创造的火花，稍纵即逝，如果我们教师引导保护不够，就会扼杀这种创新的动力。所以在初中数学教学中要做到：

(一)分清学生错误行为是有意的，还是思维的结晶。教师在学生探索中，出现这样或那样的错误不要急于评价，出示结论初中数学论文初中数学论文，对发展中的个体要以辩证的观点、发展的眼光，实行多元化的发展的评价。从客观上保护了学生思维的积极性，促使学生以积极的态度投入到学习中去。

(二)多给学生一些鼓励，一些支持，对学生的正确行为或好的成绩表示赞许。学生时期自我评价能力较低，常常默认教师的评价，而且常以教师的评价衡量自己在群体中的地位。同时，又常从成人的表情或语言判断对其的评价，带有一定片面性。因此，教师应对学生正确行为表示明确的赞扬，使学生明白教师对他们的评价，增强他们的自信心，使学生看到自己成功的希望。

(三)保护学生的好奇心。初中数学给学生提供了很多好奇的源泉。好奇是学生与生俱来的天性，好奇是思维的源泉，创新的动力。因为好奇，学生有了创新的愿望，努力去揭开事物的神秘面纱，这种欲望就是求知行为在孩子心灵中点燃的思维的火花，是最可贵的创新性心理品质之一，但随着年龄的增长，好奇程度呈递减趋势，而创造性人才的特点却是永驻的，用好奇的眼光和心理去审视整个世界，每一个成才的人，必须保持这颗好奇的童心，教师对教学中学生好奇的表现应给予肯定。