大学线性代数知识点模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇大学线性代数知识点，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）11-0140-02

一、研究背景

线性代数作为诸多理工科课程的基础课程，尽管本身学时不长，但对于后续课程的学习却起着关键性的作用。在教学过程中既要使学生获得必要的基础知识， 同时又具有必要的基本能力。 能力的形成与思想方法的掌握是密不可分的。代数学的基本思想方法有技巧性的数学方法、逻辑性的数学方法、宏观性的数学方法等[1]。关于如何合理安排教授内容章节来教授线性代数，许多高校组织了学者进行探讨教改，并且整理出版了自己的教材，其中以同济大学的教改成果尤为突出，其出版的《线性代数》第三版还获得了2000年中国高校科学技术二等奖。我校也依据本校学生特点，重新编写了《线性代数》[2]教程，在此基础上，进行了一系列教改探讨及教学建设，该课程也被评选成为江苏省精品课程。

二、教授线性代数课程面临环境

1.学生初次学习线性代数课程，会觉得该课程概念多而且抽象，实际生活中也难找到佐证。行列式，方程组、矩阵、二次型等概念框架思路不同，彼此间也难发现其深层次联系，证明繁多，且思路与高等数学证明体系完全不同，初学者极易产生畏惧心理。

2.针对线性代数课程中所遇问题，很多专家学者给出了不同的授课模式，诸如探究式课堂教学、问题解决型课堂教学等模式，然而，对于以上的教学模式，首先对授课人数有了要求，小班教学情况下，才有探究式教学的空间，这对教职工人数和工作量安排提出了较高的要求，在一般工科学校中很难有这样的教学环境;问题解决型更是对学生的基本数学素养有较高的要求，这对于线性代数这样的为大一大二学生而设的基础必修课而言，也有由较大的难度。

三、线性代数的教学尝试

1.课程衔接

线性代数虽然课时不多，但是和高等数学一样是整个大学学习的重要理论基石。这点可以由研究生入学考试中必含有线性代数部分可以得到体现。大部分学生都有在大学二年级学习线性代数课程，经过大一阶段高等数学的学习，已经掌握了学习高等数学时不同于初等数学的学习方法，然而高等数学重视解题能力，强调学以致用，这一点在大学物理的学习过程中也得到了充分体现。初上线性代数课程时可向学生说明，作为基础课程，不一定能做到理论映射到现实生活中。所谓的学以致用，线性代数也在强调工具的应用，但工具并非都是解决实际问题，解决数学问题、专业问题的也称之为工具，线性代数这门学科主要锻炼学生的抽象思维能力以及逻辑思维能力。这与高等数学体系的思维锻炼侧重点不一样。当然，线性代数和高等数学也不是完全割裂的。例如说，可以在刚开始介绍行列式的时候提及解决隐函数方程组所用到的雅克比行列式，其实就是求解二元一次方程组的系数行列式。再如讲到向量组的线性相关性，可以结合解析几何中混合积的几何意义加以释义。诸如此类，让学生能够觉得数学课程虽然分类众多，但彼此间联系紧密。

2.确立主线

初学者在学习线性代数，容易被纷杂抽象的概念所吓倒，有一定的消极心理，不能真正做到主动学习，即便学完线性代数课程，脑海中的印象也就止于一堆堆抽象的定义、枯燥的定理。其根本原因在于教师在授课时候没有有效的给学生贯穿一条线性代数的学习主线，把繁多的知识点串联起来。让学生真正知道自己学到了什么，并用之于以后的进一步学习中。关于线性代数主线的讨论，许多学者给出了自己的建议，有的从矩阵出发，有的从方程组出发，还有的从向量组出发，笔者认为以“初等变换”这一联系方程组、矩阵、向量组三者之间的知识点作为主线或者更能收到成效。要把这一想法付诸实施，授课模块的调整也是有需要的。将行列式和高斯消元法放至首章，紧随着介绍矩阵的定义和基本性质，然后再转入向量组的学习，在利用向量组的知识讲解方程组解的结构时可进一步强调“初等变换”这一主线的重要性。

3.螺旋式切入

实际授课环境中，由于概念定理的抽象性，不可机械地填鸭式教育。根据德国心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线理论，如果能增强知识点的螺旋式切入，不断的用已经学过的知识点来“推陈出新”，让学生做到前后衔接，融会贯通。例如：在方程组的讲解过程中，利用高斯消元法求解方程组时，要重点强调“初等变换”知识点的学习，并将其作为后续知识点的重要串联点。学习向量组的性质时，为了能呼应刚结束的方程组知识，可以通过分析线性齐次和非齐次方程组，利用方程组的初等变换来化简方程组，可以得到关于向量组的两个重要结论。

①即向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表出的充要条件为以向量α1，α2，…，αs为系数列向量，β为常数项向量的线性方程组有解，并且每个解向量的分量就是一组组合系数。

② n维向量α1，α2，…，αs线性相关的充分必要条件是以α1，α2，…，αs为系数列向量的齐次线性方程组有非零解。

这样从方程组的知识到的向量组知识构成一个有效过渡。对于矩阵而言，矩阵可逆的相关结论可作为联系向量组，方程组，矩阵之间的重要纽带。

例如 ，矩阵可逆矩阵满秩;

矩阵行列式不为零;

行（列）向量组线性无关;

以该矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组有唯一零解;

特征值均不为零;

任一可逆矩阵一定可以分解为一系列初等矩阵的乘积，即意味着可逆矩阵矩阵与任意矩阵相乘就是对该矩阵进行一系列初等变换。在这样反复的把前面的知识点贯穿于新知识点的引入中，不但能使学生在初学概念时去除陌生感，也能同时巩固了对于前面知识点的理解。至于相似矩阵和二次型的学习，更是将这方程组、矩阵、向量组的知识点交互在一起的效果得到集中体现。

4. 体验数学之美

线性代数课程中尽管概念抽象，证明繁多，让很多学生感觉头疼，但如果选取一些典型证明，将证明思路详细分析给学生，让学生不仅在证明中学到如何应用理论，从而避免了枯燥记忆的努力，同时也去除了定理太多，以至于无所适从的茫然，也让学生可以从中学习到代数思考的方式，这点也是与高等数学不同之处。让他们在其中体会到逻辑之美，数学之美，或许能激发学生对于抽象数学的热忱。例如：定理3.7 矩阵的秩等于其列向量组的秩[1]，该定理的证明值得好好讲解。学生能够从其中仔细体会到行列式、方程组、向量组知识点互相转换的思考模式;再如线性空间的定义，可从一些简单的线性空间得介绍中体会到抽象数学之美;讲到线性空间的基底和坐标时候，线性空间中向量之间的线性运算可以借助于其一一对应的坐标的线性运算来实现，这样就可以一般线性空间与我们熟知的 维向量空间之间的同构，借此可以了解到不同线性空间的结构。进一步，在不同的基底下可以得到不同的坐标系，可以适当介绍仿射坐标系，并与熟知的空间直角坐标系作类比，顺带引出施密特标准化，并介绍其应用价值，并进一步引出一种特殊而重要的线性变化--正交变化，其在实际应用中可起到旋转坐标系的作用，解决了非标准二次曲面化标准型问题。

五、结束语

线性代数课程很紧凑，内容却很丰富，最能体现出代数学思想的就是线性空间部分，然而因为课时原因，线性空间教学部分被大大压缩，如何能够调整知识点，把线性空间的思想融入到课程当中去，也是一个重要课题。在探讨不同教学模式的同时，对于知识点的分配和讲解串联，也需要教师们加强内功修养，让学生能够更好地学习线性代数。

参考文献：

篇2

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）28-0235-02

线性代数作为高等院校的公共基础数学课，由于其与理工、经济、管理等学科的专业课联系紧密，因此也是这些专业的重要基础课。同时，在当前我国硕士研究生入学统一考试中，有相当多的专业，如理工、经济、金融、统计、管理等都要求考生要具有一定的线性代数水平，从而线性代数亦是部分学生继续学习和深造的重要工具和理论基础。通过线性代数这门课程的学习，学生能获得逻辑思维能力、计算能力以及抽象分析、综合和推理能力的训练。这些对综合能力的培养非常有意义。

为了让学生能更好地学习这门课，笔者结合自己多年的教学实践，针对线性代数的课程特点和学生的实际情况，对线性代数教学中存在的一些问题进行了分析，提出提高线性代数教学质量的几点建议，进而取得良好的教学效果。

一、线性代数教学中存在的问题

对于学生来说，线性代数的内容跟以前学过的数学知识相比是完全不同的，线性代数这门课程有着抽象的内容，大量的概念、定理和复杂的解题方法以及独特的证明方法，学生对于这些都很难理解，更不要提接受了。由于大学除了学习，课余生活也丰富多彩，这就导致学生在理解相关理论和对应的解题方法上无法投入充足的时间。再加上传统的授课方式和相对单一的教学手段在目前的线性代数教学过程中占有很大比重，整堂课下来，满黑板的知识点和推导理论，虽然体现了系统的理论体系，学生听课时也感到条理很清晰，但在课下练习做作业时，却不知道怎么去思考下手，时间一长，就会慢慢的讨厌学习线性代数这门课程，进而就会丧失掉了探讨该课程的学习兴趣。因为线性代数学科的很多问题与解题方法都是相互对应的，不同的问题有着不同的方法，有时虽然问题类似，但解决问题的方法却是不一样的，做题时，如果所用的方法是错误的，其结果可能就会相差十万八千里。这就要求学生通过对每个知识点需要做的很多不同的练习，才能熟悉不同的解题方法，学生不仅必须牢固掌握各种线性代数的知识，而且要知道各个知识点之间的联系与区别。

二、结合实际，对提高线性代数教学质量的几点建议

（一）梳理课程知识结构，优化设计课程体系

线性代数课程内容主要包括行列式、矩阵及其运算、线性方程组、向量组的线性相关性、二次型、线性变换与线性空间等理论，概念多且抽象，如矩阵的秩、极大线性无关组、二次型等，但是这些理论并不是孤立的，它们之间有着密切的联系。线性方程组是整个教材的主线，而研究线性方程组相关问题需要利用行列式、矩阵、向量等工具。在求解线性方程组时，介绍了行列式的概念，分析得出了行列式的性质，可以利用性质去计算行列式，进而解释了克莱姆法则应用的局限性，接着利用矩阵、向量等数学工具来分析二次型。所以在课堂教学中，就需要牢牢抓住主线，梳理学科的知识点，抓住各知识点之间的内在联系，寻找最恰当的切合点和问题切入方式，指导学生将各个知识点串起来，进一步在教材安排的基础上优化课程体系，会让学生更好地理解和掌握知识。

线性代数课程体系一直比较稳定、完善的发展，但在教学过程中可以穿透与其他学科的联系。事实上，相当多的教师在教这门课程时只注重自己的课程理论，而忽视其他学科领域与线性代数课程相联系的理论，导致学生不知道怎么应用他们学到的知识，这样就要在课堂教学过程中注意把线性代数课程的实用性充分体现出来，并积极优化教学方法，完善教学模式，紧密联系交叉学科，建立多样的课堂活动，才能实现教学的目的。

（二）教学要富有导入性和启发性，例题讲解要突出解题方法、步骤，因材施教

首先，由与上一章节的知识点有关的例题顺其自然地引出新一章节的知识点，对基本概念加以形象化。在讲授行列式时，可以利用二元线性方程组引出二阶行列式，进而由三元线性方程组引导出三阶行列式，进而分析得出n阶行列式的定义。这样的教学设计自然而然，学生不会感到突兀。

其次，在讲授定理和定理的证明时要注意调动学生的思维，使逻辑推理能力得到提高。提炼总结并重点传授定理证明过程当中用到的一些好的方法和精辟的思路，讲解例题时应尽量把解题思路讲得清楚明白，这是因为线性代数作为一门应用性学科，要有特别强的会直接应用理论的技巧，这就要求学生不仅要牢固掌握各种线性代数知识，而且还要掌握各种计算方法和解题技巧，这样才能保证解题时有着正确的解题思路。

最后，教师要因材施教。这是因为由于不同学科的专业培养要求不一样。非理工科对线性代数这门课程的要求比较低，这些专业的学生只需要在对基本的知识点理解掌握的基础上，了解线性代数的一些特有的解题方法和思路。教师在进行课堂教学时就可以把教学重点放在讲授解题的方法上，而对于对线性代数的要求比较高的理工科专业的学生，不仅要求其熟练地掌握各种解题的方法，更要求其完全理解并掌握相关知识要点，这就要求在课堂教学过程中授课教师既要传授方法，更要详细、深入、全面地讲解相关理论。

（三）合理有效综合利用教学手段，增强课堂教学效果

授课时要有机结合传统的教学方法与现代化授课辅助工具。教学中应以黑板为主，以多媒体为辅。比如对矩阵进行初等变换时，单纯只用粉笔板书显得烦琐混乱，因此可以采用多媒体演示。但是为了保证学生能准确把握重点、难点，切忌单纯只用多媒体演示这一种教学手段。其次，合理恰当的使用数学软件。非数学专业的线性代数课程，要把教学重点放在这门课程的实际应用上，否则学生的学习兴趣会下降，这就达不到良好的教学效果。在课堂教学过程中可以利用能进行复杂计算的应用数学软件，简化理论的推导，这就需要广泛开拓线性代数在各个研究领域中的实际应用价值。

（四）重视习题和习题课的作用

学生可以通过习题来加深巩固理解掌握所学内容。因此在习题课上，教师可以梳理、分析、串联一整章的知识点，可以讲评作业，还可以讲解一些典型题，这将有助于加深学生对解题思路及方法的掌握。

（五）拉近学生与学科的距离，激发学生的学习兴趣

“兴趣”是学习的最大动力，所以要注意引导培养学生对线性代数这门课程产生兴趣，这样学生才有可能学好这门课。在教学过程当中，要尽量联系以前学过的数学知识点，重点突出利用线性代数的思想和方法处理问题的优越特点，使学生逐步熟悉这门课程，明白可以利用线性代数工具来快捷有效地解决实际问题。让学生通过对矩阵求解线性方程组的解法与中学数学中的消元法两种方法的对比，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，自主学习。

三、结语

线性代数的教学面临着很多问题，教师的责任重大。在授课的整个过程，任课教师既要提升个人在教学方面的能力和水平，改革教学时所用的方法，改善授课的手段，更要注重引导和培养学生对该门课程的学习兴趣，深入发掘学生的学习积极性和主动性，培养学生的学习方法与创新思维能力，这将更加有助于全面深入地提升教学质量。

参考文献：

[1]同济大学教研室.线性代数[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]符清恒.浅谈线性代数的教学[J].科技资讯，2010，（16）.

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线性代数作为高等院校的一门重要公共课，几乎全部的本科专业都已开设该课程，这也能体现其实用性.线性代数从研究抽象的逻辑推理、科学计算再到实际应用，处处都能培养学生最基础的数学能力.最为关键的是，线性代数已为其他教学提供了有益、实用的数学工具与手段，更有利于不同教学门类之间的融会贯通，由此可见学好线性代数的重要意义.本文从线性代数的教学现况出发，通过简要地分析若干教学例子，就线性代数的高效化教学提出一些可行性措施.

一、推进线性代数教学的高效化所要解决的问题

1.缺乏背景知识的讲解

线性代数作为一门必修课，其理论体系日臻健全，不过因科技进步与教育教学体制的深化，近些年来，对于线性代数背景改革的探讨也在日益发酵.就目前而言，高校虽普遍开设线性代数教学，但教学的内容未有实质性的创新，数学的重要背景知识被严重忽略，证明例题与重要定理依然占据教材的相当版面，致使学生不知“为何而学”，教学效果不见起色.

2.教学质量有待提高

现今高校片面地注重科研、轻视教学，这也让教师在很大程度上把教学的重心放到科学研究上.诚然，科研会极大地推动教学，不过，教学毕竟用于实践，更是知识与技能的升华与释放；而科研仅是汲取和革新知识的过程.假若不能正确地对待与处理两者的内在关联，则会损害线性代数的教学质量和效益.

3.教学中未体现其实用价值，影响高效化课堂的打造

一方面，线性代数教材中的例题和习题占据绝大部分内容，特别是习题，虽习题是本着强化知识的原则而科学设置，然而，习题本身也未能同生活实际进行紧密结合，学生们常感到解答题目无多大意义；另一方面，在大学生面临更严峻的就业形势的情形下，学生难免有急于求成的心理，期盼着学以致用.一旦线性代数的学习内容与就业或生活相脱节，大家会立刻丧失学习的基本兴趣与热情，甚至对枯燥的公式与定理产生抵触情绪，教学的高效化也就无从谈起.

二、线性代数高效化教学方法分析

1.将多媒体运用到教学的每一环节中，激发学生学习的兴趣

众所周知，新课程理念在教育界已深入人心，多媒体也成为教学的重要辅助手段.传统意义上，教师与学生仍延续“一对多”的低效教学模式，这种模式无论从教学效率还是课堂氛围都是不符合新课改原则的.长此以往，教师因不清楚学生对抽象的线性代数概念、定理、公式的认知与把握，便会阻碍教学进度，妨碍师生之间的有序沟通与互动.基于此，借助于多媒体这一图文并茂、视听结合的先进技术手段，教师与学生在每一个教学环节均能实时交流，每一教学知识点的讲解，学生们均能化“抽象地听讲”为“清晰地理解”.同时，教师采用在黑板上列出课堂笔记与制作多媒体课件相融合的方式，从知识点细微处出发，从结构上捋顺，学生们便会学有所获，通过丰富有趣的课件打破死气沉沉、压抑的课堂氛围，激发学生探索线性代数奥秘的兴趣，把学生的课堂注意力高效地集中起来，引领学生在趣味教学的氛围中独立思考，及时解决问题，凸显课堂的高效运作.

例如，学习“行列式与矩阵”时，由于学生常把两者的定义相混淆，将其符号或计算方法混为一谈，教师便要借助于多媒体展示信息量大、直观、清晰优势特征，将行列式与矩阵的概念、计算方法等知识点和例题制作成多媒体课件，学生们在课堂教学中通过细致观察，便能解开学习过程中的“死结”，从课件中更清楚地理解行列式的本质是在明确某一类运算规律之后经由计算得到的一个数，而矩阵则代表由若干数字形成的一个表.当然，通常意义上，行数不等同于列数，仅两者相同的矩阵才拥有相应的行列式.通过多媒体课件对知识点的梳理与对比，大家不但能纠正、避免上述错误，还能懂得线性代数教学中，善于总结、高效学习的意义所在.

2.创新教学手段与途径，提高教学质量

诚然，线性代数抽象性较高，逻辑推理十分缜密，原本机械化的讲解与程式化的理论让内容变得更难于理解.教师需换位思考，意识到创建高效化课堂需打破陈旧的、老套的教学模式.为此，教师需从学生实际的数学水平与学业能力出发，不失时机地变革与创新教学途径和手段，变过往“被动地讲授”为学生“主动地探究”，彻底摒除“一言堂”式的落后教学模式，时刻让学生扮演教学的“主人公”.

例如，高等数学中有一类很重要的思想——数形结合，这便离不开数学建模的引进.在教学中，教师要将数学建模融合与教学内容进行有效结合，鼓励和鞭策学生充分调动自身的主动性、积极性和创造性去探究未知知识，切实把抽象的线性代数知识通俗化、简易化.讲述矩阵的“特殊向量”及“特征值”时，学生通过研究例题与教师讲授，仅知怎样求特征向量与特征值，对两个概念的含义认识不清.教师不妨从几何意义，通过画出椭圆的方式，将抽象的概念融入到图形之中，促使学生从直观的角度加深对两个新概念的理解与掌握.这样一来，大家在学到新知识、理解新定义的同时，教学质量自然而然也获得了提高.

3.巧妙引入教学的背景知识，注重知识点的介绍方法

学生们常会有这样一种感觉：线性代数在引入新概念时，如若沿用纯粹定义和推导加定理的方式，会严重挫败学生探究、掌握知识的积极性，也达不到深刻理解概念的目的.有鉴于此，现今不少学生在线性代数的学习时，便会纯粹地应付题目，对教学中的背景知之甚少.为缓解、避免这种教学现象，教师需对线性代数的背景知识进行简要的介绍.学生们通过了解线性代数中概念的来龙去脉，有利于激活自身的想象力和创造力，深化对这些概念与知识点的理解，进而扩大知识范围，提高数学修养.

例如，行列式是学生初学线性代数时所接触的概念，如若教学处理不当的话，教师直接讲述抽象的定理与计算方法，那么学生会对线性代数产生厌倦情绪，不利于线性代数教学的后续开展，更不必说教学效果的提高了.从这个视角上看，教师需向学生们补充一些关于行列式起源的故事.在课堂上，教师可采用教具与多媒体相结合的方式，让学生们欣赏莱布尼茨与关孝和的历史照片，大家对这两位行列式“先祖”的生平与数学成就有一个宏观认识后，学习兴趣会大增.教师要“趁热打铁”，活跃课堂氛围，告知学生行列式是为解答线性方程所引入的数学工具.由此一来，大家获取知识的热情会进一步上涨，教学氛围会变得异常生动活泼，学生们也不会漫无目的地学习、训练，大家会以两位数学家为榜样，汲取和吸收他们身上高贵的科学精神与气质，在学习中主动把行列式的概念与计算方法同生活实例相联系，更能体现教学的实用性.

4.增强学生的应用意识

如今，高等院校越来越注重学生实践能力与应用意识的考核与培养，线性代数无疑给全体高校学生提供了难得的实践应用平台.实际上，线性代数隶属于数学，但其应用范围已远远超过数学领域，在密码学、生物学、物理学、经济学等诸多学科中均有广阔的用途.所以说，教师需在课堂上通过列举应用案例的形式，不断培养学生的应用能力，真正实现学以致用、学用相长.

例如，在信息技术日新月异的今天，计算机辅助设计、密码学和图形学等现实技术无一不以线性代数作为理论根基，而相当一部分学生对这些方面颇感兴趣.因此，教师不妨在线性代数教学中适当地渗透相应的知识要点，并重点让学生理解和熟知线性代数在这一系列学科中的应用状况，为其做一些点拨与导向工作.

5.引入实验优化教学内容，发挥学生教学主体地位

教师可通过线性代数软件鼓励学生设计和解决若干问题，引领学生在实践中进一步理解、深化、运用所学知识，掌握线性代数的基本规律，了解常用的计算方法，进而完全掌握线性代数的基本理论、基本运算、基本知识.经由这样的学习与训练，学生们在熟练掌握的基础上，熟能生巧，有所创新.数学实验便是一种借由实际操作获取解决问题方法的有效手段.在新课改的大背景下，数学实验作为学生自主学习的动力和源泉，对学生培养自主学习能力和创新能力是大有好处的.

结语

总而言之，线性代数教学的质量高低取决于师生共同努力与良好课堂环境的形成.教师应不断推进教育教学改革，正视阻碍线性代数高效化教学的问题，积极尝试各种激发学生兴趣、挖掘学生潜能的教学措施，力促线性代数教学收获事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]贾璐.普通高校“线性代数”教学方法探讨[J]. 牡丹江教育学院学报，2009（1）.

[2]肇慧，王晓丹.课题研究式教学：线性代数教学的新尝试[J]. 中国校外教育（理论），2009（1）.

[3]邬桂芬，屈思敏.线性代数分层次教学的探索与实践[J]. 广西民族大学学报（自然科学版），2013（1）.

[4]于妍，董波.浅谈农业院校线性代数教学改革[J]. 科教文汇（中旬刊），2011（4）.

[5]于勇.工科线性代数课程教学中的几点建议[J]. 科教文汇（下旬刊），2010（4）.

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中图分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）16-3851-03

Abstract： Aiming at students' learning linear algebra difficult reason analysis， the introduction of Matlab in linear algebra， the necessity of teaching reform and innovation.Through Matlab in the teaching of the elementary matrix and practice demonstration， visual image to enable students to understand and grasp knowledge of linear algebra， linear algebra for subsequent study to lay a solid foundation.

Key words： Linear algebra.Matrix；Elementary matrix；Matlab；teaching

随着现代数学的不断发展，线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。线性代数作为讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科，被广泛应用于物理、力学、信号与信号处理、系统控制、电子通信、航空等学科领域，因而成为现代各高等院校工、管、理专业的一门重要基础课程，成为用数学知识解决实际问题的一个强有力的工具。

1 学生学习线性代数的现状

线性代数在其发展过程中所表现出的几何观念与代数方法之间的联系，运用第二代数学模型的公理化表述方式的知识体系，使得当我们开始学习线性代数时，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，这给教学带来了困难。线性代数知识体系所表现出的较强的理论性和抽象性，使初学线性代数的学生在学习过程中感到困难，同时在课程中又涉及到一些较为繁杂的计算或证明，这些课程特点让许多学生很不适应，久而久之将导致学生产生厌学情绪。因此，如何让学生克服畏难心理，尽快适应运用第二代数学模型的公理化表述方式的线性代数课程，有必要对传统的线性代数教学方法和手段进行改革创新。为此在教学过程中引入Matlab软件，改变传统的教学方法和学生的学习方式。在教学过程中运用Matlab进行实例演示，同时让学生通过Matlab进行练习，通过这样的教学帮助学生克服学习困难，能够直观深入理解和掌握知识点。下面以初等矩阵的学习介绍Matlab在线性代数教学中的应用。

2 矩阵中的初等矩阵

矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到重要作用[1]。在矩阵理论中有一个最基本的性质，即以下定理：

设[A]与[B]为[m×n]矩阵，那么：

1）[A][～r][B]的充分必要条件是存在[m]阶可逆矩阵[P]；使[PA=B]；

2）[A][～c][B]的充分必要条件是存在[n]阶可逆矩阵[Q]；使[AQ=B]；

3）[A]～[B]的充分必要条件是存在[m]阶可逆矩阵[P]及[n]阶可逆矩阵[Q]；使[PAQ=B]；

为证明此定理，则引入了初等矩阵的概念，即由单位阵[E]经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵[2]。三种初等变换对应有三种初等矩阵，这里把它叫做初等矩阵E1，初等矩阵E2和初等矩阵E3。这部分内容是矩阵教学中的一个难点，为让学生能直观地理解和掌握，引入Matlab进行教学。

2.1初等矩阵E1

把单位阵E中第i，j两行对调，得初等矩阵E（i，j），即E1=E（i，j）。用E1左乘矩阵A相当于对矩阵A施行一次初等行变换；用E1右乘矩阵A相当于对矩阵A施行一次初等列变换。

启动Matlab程序，在命令窗口中输入以下命令（这里运算结果略）。

按照以上方法直至将矩阵A化为行阶梯形矩阵。由此可知矩阵A经过一此初等矩阵的相乘可化为行阶梯开矩阵，进一步运用这样的方法可将矩阵A化为单位矩阵。因此，通过教学演示和练习可让学生直观地充分理解三类初等矩阵的作用，理解和掌握矩阵理论的基本性质，为学习求逆矩阵的初等变换方法及后续知识打下较好基础。

4 结束语

在线性代数中引入Matlab软件进行教学，通过教学过程中的演示和练习，一方面能够让学生克服畏难情绪，提高学生学习线性代数的兴趣，另一方面能够让学生直观地理解和掌握线性代数的知识点，进一步提高线性代数的课堂教学质量。

参考文献：

[1] 同济大学数学系.工程数学・线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007：57.

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线性代数是国内高等高校中一门重要的基础课程，是理工科专业及经管类专业必修的一门公共基础课，该课程在数学建模、经济、农业等学科中应用广泛，正如美国著名数学家David C.Lay所说：“线性代数是最有趣、最有价值的大学数学课程”[1]，但该课程内容抽象、逻辑性强，使学生学习积极性不高，学习成果偏低。近年来互联网行业飞速发展，互联网在各行各业得到充分应用，“互联网+”应运而生。“互联网+”是指利用互联网技术优化原有的生产配置，从而提高创新力和生产力。结合线性代数课程的特点，在“互联网+”背景下对线性代数教学模式的研究是线性代数教育工作者应该思考的问题。

一、线性代数课程教学现状

1、课堂教学方式单一

现阶段很多院校已经采用多媒体教学，但也有相当比例的院校数学课程不采用多媒体，教师采用填鸭式教学方式，讲授为主，整个教室是老师一个人在表演，学生很难参与到教学中。而很多院校面临线性代数内容多，课时少，老师在教课过程中注重教学进度而忽略了学生的接受程度，在课堂上给学生独立思考问题和提问问题的时间也很少，使学生学习主动性欠缺。

2、未能正确运用多媒体

合理运用多媒体可以更好地辅助教学。例如在学习行列式和矩阵运算时，运用多媒体通过课件的形式展现出来，节省很多时间，而且逻辑性和推导过程清晰。而目前很多教师仅是将课件简单展示，并没有起到很好的作用。

3、教学过程中缺乏知识点应用性讲解

在教学过程中如果多讲解一些例题和知识点应用，学生普遍反映很好，但实际的教学实践中，因为时间有限，讲解应用的例子很少，学生仅仅知道理论，在实际应用时却不知如何做，从而在专业课学习中需要用到线性代数时也很难联系起来。

二、“互联网+”背景下线性代数教学模式的研究

1、以精品课程等网络资源为依托，培养学生的自主学习能力

随着网络技术的飞速发展，“互联网+”教学模式在高校中不断展开。线性代数作为一门重要的公共基础课，网络资源非常丰富。从2003年起国内高校不断开展线性代数网络精品课程，分为国家、省市和学校等不同层次，麻省理工学院也开展了视频公开课，这些对于线性代数在“互联网+”教学模式的顺利进行提供了基础和保障。线性代数内容多，课时少，课堂教学时间有限，教师应引导学生利用课余时间有效利用网络资源，提高自身的自主学习能力。学习能力的提高，对学生是终身有益的。

2、采用“微课”、“慕课”和“微弹幕”等新的教学模式

近年来“微课”、“慕课”和“微弹幕”等新的教学模式不断出现在高校课堂上，教师事先设计好内容和题目，借助互联网，在上课前对学生进行引导，学生在课余时间，利用网络资源探究学习，这样在课堂上由原来教师主导的教学转变为教师引导教学，在课堂上学生通过讨论会加深对知识点的理解，而自主学习能力会大为提高。基于互联网技术，“翻转课堂”效果才能发挥的更好。

3、讲解常用的数学软件，引导学生探究学习

在专业课学习中，很多知识以线性代数为基础，比如图形学、经济学、工程力学等，而在线性代数中计算相对繁琐，例如解多元线性方程组，需要很多步骤才能求解出来，这使得学生感觉难度比较大，但是数学软件却很容易解决这种计算过程复杂的问题。常用的数学软件主要有MATLAB、MAPLE、MATHCAD等。MATLAB在线性代数计算中应用最为广泛，具有强大的数学功能，可以计算矩阵的各种运算，求解线性方程组，还可以自行构造合适的函数。教师讲解常用的数学软件，有助于学生学习专业课，从而加深了线性代数基础课和专业课的联系。

4、渗透数学建模思想，提高学生的创新意识

数学建模是建立数学模型、利用数学知识和计算机技术等方法解决实际问题的过程。数学建模是将数学基础知识应用到实际问题的重要途径，体现了“用数学”的思想。线性代数里的基础知识大多枯燥，若跟实际问题相联系会增加趣味性，所以在讲解基础知识时要与数学建模相结合。在讲解数学原理时，首先通过实际问题引入，融入数学建模思想。教师应了解线性代数的发展史和发展动态，提高自身的综合素质和数学建模意识，从而提高课堂的教学效果。

此外，教师应鼓励学生积极参加数学建模竞赛，以检验学生的学习效果，提高课堂效率。现在的数学建模竞赛越来越和实际生活结合，注重学生的解决实际问题能力和综合运用知识能力。

5、建立高效的交流平台

互联网为现代式教学提供了快捷的交流平台，教师通过QQ、微信、论坛、微博等与学生进行交流，及时反馈学习问题，有利于数学知识的获取。有了这种交流平台，在课堂之外师生之间的沟通更便捷，利于对个别学生的辅导和答疑，实现教学模式的多元化。教师可以将自己的学习资料或有用的数学软件，通过群共享，方便学生下载学习。同时面向所有任课老师和学习线性代数的学生建立“线性代数学术交流群”，师生可以通过群进行学术交流和资源共享。

【参考文献】

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线性代数课程是大学的一门基础数学课程，它是学习本科阶段数学课程，比如矩阵论、最优化理论与方法、运筹学以及专业课程，比如自动控制原理、线性系统理论等课程的基础，是学好这些后续课程的前提条件，也是学生进一步深造进入研究生阶段学习的前提。然而，由于该课程抽象枯燥容易造成学生学习兴趣不浓，学习热情不高，学习动力不足，再加上很多高校该课程的课时紧等诸多因素，往往致使学生学习效果差。因此，探讨提高线性代数课程的教学效果尤为必要。

20世纪60年代以来，欧美等发达国家在国家教育战略规划下，提出了基于问题的学习模式，产生了良好的效果。基于问题的学习是一种发现探索式的学习，是一种促进创造性思维发展的研究性学习方式。20世纪60年代以来，美国一流大学为本科生提供机会，让他们积极参加本科生科研项目的研究活动。20世纪80年代中后期，“本科生参与研究”逐渐被美国的教育界所重视。“本科生参与研究”成为了本科生教育改革中的一个重大举措，美国研究型大学一般都设有校级本科生科研管理机构。清华大学也提出了“创建研究性的本科教学体系”，是在国内进行研究性学习的一个初步尝试。教育部在“985”“211”高校推行本科生创新计划，目的在于高年级本科生参与科研，养成科研创新意识。

所谓研究性学习，是指在教师指导下，学生根据各自的兴趣、爱好和特长，选择不同研究课题，独立自主地开展研究，从中培养创新精神和创造能力的一种学习方式。

教师讲授、学生听讲，是当前大学课堂的主要教学方式，而且很多高校线性代数课程课时少、进度快，采用大班教学，课堂开展研究性学习比较困难。我们选择在平时将研究性课题的题目布置给学生，将学生分组，让学生利用课余时间做研究，最后形成研究报告。

为了保证研究性学习的顺利进行，教师根据教学的具体情况创设问题情境，促进学生思考，使他们发现问题，并激发他们探索的动机。教师要提供有关文献资源，以供学生检索研究。笔者认为，我们可以根据教材的主要内容、知识、方法来设立研究课题，也可以根据近年来相关领域研究的热点，比如从近两年来的国际数值代数会议的内容，了解与线性代数课程相关的热点来确立研究课题。笔者曾在教授线性代数课程时提供如下课题：（1）概念定理的延伸；（2）教材中相关知识点设成的专题；（3）图像处理中的矩阵计算；（4）线性方程组的常见数值计算算法；（5）大规模线性方程组的数值算法、稀疏线性方程组的求解算法。课堂上概念或定理的引申，可以巩固基础还可以培养学生的创新能力；对相关知识点形成专题性的研究性学习，可以培养学生搜集资料，再进行归纳总结的能力，有助于启迪学生从熟悉的知识点上探索出新的问题。对后四个课题的研究性学习，激发了学生的学习兴趣，促进了交叉学科的学习，拓展了知识视野，学生学会了一些科研方法，综合提高了全面素质。

矩阵是线性代数课程中的一个重要概念，矩阵的秩、矩阵的初等变换是线性代数中研究线性方程组的重要工具。在讲矩阵时常常会介绍财务报表，学生的成绩表就是一个矩阵。图像处理是近几年来研究的热点，矩阵是图像处理中的一个基本工具，因此可以将图像处理中的矩阵计算问题作为一个研究课题。

线性方程组是线性代数的重要内容，教材中研究线性方程组的解的结构、通解的求法。大多线性代数教材没有介绍线性方程组的数值计算，线性方程组的数值计算可以作为一个研究课题。近年来压缩传感是一个研究的热点，该领域研究线性方程组的稀疏解的计算，而且往往是大规模的线性方程组。大规模线性方程组的求解是近年大数据时代研究的一个热点，大规模线性方程组的数值算法、稀疏线性方程组的求解算法都可以作为研究的课题。

教师要引导学生通过对问题的分析、探索，进行假说、讨论或归纳等一系列再发现的认知操作过程，寻找解决问题的方式。另外，学生在研究性学习中占有主体地位，所以要求学生具有一定的数学以及其他各学科的知识基础，具有较高程度的学习自主性。同时，学生还要有能力安排自己的研究活动，并利用可用的学习资源。

另外，在课外开设新生研讨课是开展研究性学习的有效形式。清华大学、南京大学、浙江大学等高校引进新生研讨课，大部分学生认为研讨课讨论气氛活跃、主题深入，拓展了知识视野，提高了口头表达能力。他们在研讨课上学会了一些科研方法，学习方式也从被动学习变为了主动学习。哈佛大学认为，从大学生一入校，大学的主要努力方向就是使他们能够成为参与发现、解释和创造知识或形成新思想的人，这彰显了大学研究性学习最基本的价值观，也是研究型大学在发展学术、开展科研过程中应当要确立的目标。

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中图分类号：G424 文献标识码：A

从2011年开始学院把线性代数这门课安排在大一第一学期，这是教学改革的一个举措。这时候的学生是刚刚从中学过来的，中学数学的一些固有模式，还深深印在他们的脑海里，那么我们怎样通过线性代数这门课，很好地转换学生的数学学习习惯，培养学生的数学思维，以便他们更好地适应线性代数学习呢？

线性代数是大学必修的一门课程，学生在刚开始学习的时候普遍认为难学。抽象的理论，枯燥的计算，繁多的符号令人乏味，有些学生慢慢地失去了学习的兴趣和动力。那么对于这些高考闯过千军万马以优异成绩进入大学的学生来说，难道没有能力学好线性代数吗？那么为什么还有些学生学不好呢？究其原因就是没有很好地做到从中学数学到线性代数学习的过渡。

1 知识和学习方式的区别

1.1 线性代数与中学数学的区别

中学数学与线性代数在思想方法上具有差异。如果说中学数学是用“静止”的观点去研究问题，那么，线性代数则是一种“运动”的观点在发现、研究、解决问题。比如在中学中解方程组就有一种固定的方法消元法，在线性代数这门课里线性方程组的解法不一，并且解得情况也很多样。中学数学通俗易懂、直观性强，线性代数的内容就严密抽象、理论性强，更多的是使学生关注数学知识本身的系统性和完整性。其次，中学数学的进度慢，教员以知识点传授为主，在课堂上有足够的时间可以通过高密度提问、细致分析、反复训练，将知识点讲深讲透。而线性代数的教学时间非常有限，课堂教学更注重对基本概念的理解、抽象论证和实际应用，以数学思想和知识整体结构为主，侧重数学思想方法的运用，课堂行为主要是通过板书结合多媒体传授教学内容。

1.2 学生学习方式的不同

首先，中学生在学习方式上主要依赖于老师，主体意识不强，没有形成独立思考、独立解决问题的能力。而学生进入大学后，线性代数的广泛性、抽象性和实用性远远高于中学数学，仅靠课堂上听讲，对知识的理解不可能达到“通、透、化”的程度，要求学生在学习过程中必须做到课前预习和课后复习，学会归纳和总结，更需要学生具有学习的主动性与自觉性。其次，中学生学习数学是以“数学知识点为中心”，学多以高考为目的。表现在重数学基础知识，轻能力培养，重数学结论，轻思维过程。而升入大学以后，学生不仅要学习数学的基础知识，更要了解、掌握数学的思想与方法，培养、锻炼自身的归纳综合能力、实际应用能力和探索创新能力。

2 教员的教学方法

在以往的教学中，线性代数的上课时间在大一的第二学期，这时学生经过一个学期线性代数的学习已经有了初步认识，而现在是第一次接触线性代数，那么在教学活动中，教员的教学方法就要有所改变。首先教员在备课中，不但要备教材还要“备学生”。“备学生”主要是在线性代数课堂教学活动前，对学生进行调查，分析摸清学生对学习线性代数这门学科的起点水平，学生的数学基础；摸清他们对数学的认识水平；摸清他们学习该课程的心理状态；了解学生的学习习惯、方法、风格和特点，根据上述信息作为后续备课活动的主要依据。在教学方法上更要做到以下几点：

（1）采取先慢后快，逐步提高的方法。教员在讲课的时候先尽量放慢速度，一方面可以让学生能更加深刻地理解概念，另一方面也是对中学数学教学方法进行延续，特别是在抽象符号和逻辑语言出现时。当学生适应大学的学习方法后，再视情况把教学进度逐步加快。第二，不要以理论推导为主，更不要让学生为了追求高分而过分看重数学的逻辑性和严谨性。在适当的时间里还应推广数学的直观化和形象化等特点，提高学生的数学应用能力。第三， 注重课堂教学方法的多样性。要丢掉传统教学思想的包袱，适当引入一些非常规方法，比如“问题式”教学法，肯定会得出意想不到的效果。一堂好的数学课应该是师生、生生间有效合作的结果。为学生提供足够的思维空间可以有效提高学生的探究能力。

（2）培养学生独立思考的能力，加强线性代数与中学数学之间学习方式、方法的衔接。首先，培养学生良好的学习习惯和学习方法。良好的学习习惯和方法是学好数学的一个重要因素。对于学生在高中时所养成的好的学习习惯, 教员应明确要求学生继续保持。在教学中教员应向学生指出学习线性代数需注意的事项，指导学生怎样去自学，包括读什么样的课外书、参考书，请高年级学生谈体会讲感受等，引导学生形成自己的学习习惯和方法，少走弯路，尽快适应线性代数的学习。比如可以指导学生看一些线性代数应用方面的书。其次，发展学生积极的自我学习管理能力。在每一章、每一节课教员都应向学生交代清楚本章节的研究对象是什么、研究方法是什么、研究目标是什么、它在整个课程中占什么地位、与其他章节又有什么关联等，或者是让学生自己进行总结，这样不仅能激发学生学好线性代数的欲望，还能培养学生积极的自我学习管理能力。最后，加强作业的改革。作业不仅是教员检查学生掌握知识的程度和发现问题所在的重要参照，同时也可以利用作业，扭转学生在课外时间学习线性代数的热情低的现状。例如在日常作业中添加一些具有应用性和开放性的题目，学生无法独立完成，但可以通过查询资料或者与其他同学合作才能完成的作业，学生最终是以两三人或者小组形式提交一份共同完成的作业。引导学生关注数学的学习方法、思想和精神，引导学生正确认识数学、亲自体验数学、熟练掌握数学，这样学生才会对数学产生浓厚的学习兴趣，为培养学生的创新能力、探究能力和自学能力奠定基础。比如特征值在谷歌搜索引擎中的应用，线性方程组在数学建模中的应用。

线性代数与中学数学的过渡实质上是一种新的学习环境对原有学习环境、一种新的知识体系对原有知识体系的顺延。二者的过渡对学生来说影响尤为深远，有效的过渡可使学生在新旧数学学习上形成较好的连续性，克服知识和方法上的跳跃，利于激发学生学习数学的兴趣。每一位有责任心的数学教员都应努力探索教学过渡的具体方法，使线性代数以至于大学数学的教学质量得到进一步的提高。

参考文献

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线性代数及微积分（常称为高等数学）、概率论与数理统计是当今大学生三门必修数学课.由于中学数学教材改革和新课标的实施，微积分和概率论与数理统计课程中的部分知识点已经在学生的高中阶段都有所接触，而且这两门课的大部分知识都有较为丰富的背景和应用范围.相比而言，线性代数中的行列式、矩阵概念对学生是全新的，没有在中学接触过的，就现行的大量教材来看，线性代数在内容安排上，显得逻辑性、抽象性有余，而背景性和应用性不足.加上线性代数一般都安排课时较少，所以使得学生对线性代数课程的学习更加吃力，达到的教学效果也不尽理想.本文探讨在不改变线性代数课程内容体系的前提下，如何改进课堂教学方法，以达到更好的教学效果.

一、教学中必须把握两条主线

如前所述，与其他两门数学课程相比较，线性代数的教材编得更为抽象，更加远离现实.学生通常会觉得概念、定义多，而且由于缺乏背景，一般会显得零散，各种概念之间的联系也较难把握.在课堂教学中，必须把握线性代数课程的两条主线，才能把这些大量的概念连起来，形成一个整体.

1.第一条主线是线性方程组

求解线性方程组是线性代数课程的一个主要任务，将中学的消元法经过一次抽象，就是线性代数中矩阵的初等变换概念.根据各种方程组的特点，形成了线性代数课程中一系列概念和方法.当未知数个数与方程的个数相等的时候，行列式可以派上用场，于是引出了行列式的初等变换、求值、克莱姆法则等相关概念.对一般的线性方程组，我们用秩来描述“真正起作用的方程的个数”，方程组的有解无解，有唯一解还是无穷多解，自由未知量的个数，都可以用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来理解了.为了对无穷多解有更深入的认识，把方程组的解看成向量，对齐次线性方程组，就需要引入向量空间的概念，这样就不难理解线性相关与线性无关、最大线性无关组这一连串的概念了.可见，抓住了线性方程组这条主线，就可以把行列式、矩阵、向量组这些概念合理地联系起来了.

2.第二条主线是二次型的标准化

解析几何中很重要的一个主题就是要把一些二次曲线方程化为只含有平方项的二次型，以便研究曲线的类型，这就是我们所谓的二次型化为标准二次型.利用矩阵这一工具来完成这个过程，需要从矩阵的特征值和特征向量出发，来讨论实对称矩阵的对角化问题.线性代数课程一般给出了三种化二次型为标准二次型的方法，着重讨论的是用正交变换的方法.

在课堂上，抓住这样两条主线，不但可以避免概念的零碎，而且对学生掌握线性代数整个课程体系也是非常有帮助的.

二、在课堂上引入几何的观点来介绍代数知识

大部分线性代数教材都从知识结构的逻辑性来安排内容，使得代数知识以抽象的面孔出现在学生面前.事实上，在中学阶段，学生学习初等代数时，是非常注重代数与几何之间的结合的.数形结合不仅有利于降低学生的理解难度，也是掌握代数思想的一个必然要求.如何用几何的观点来学习代数，是一个在线性代数的课堂教学中值得思考的问题.

（5）的解即为方程组（2）的满足整体误差最小的近似解，这就是最小二乘法求最优近似解的结果.从上面的例子可以看出，直观的几何意义使得很多推算得到了简化，更能让学生加深对概念和方法的理解.

三、从代数发展历史的角度来讲线性代数课程

前面提到，大部分教材的编排由于注重严格系统化的形式推理，都不可避免地使线性代数抽象性特征明显，我们在课堂教学中，不妨灵活处理知识的来龙去脉，站在从知识发展的历史的角度来认识这门课程，这也是引起国外越来越多大学重视的一种教学方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大学数学教材，就是基于这一观点来编写的.2008年，普林斯顿大学出版社出版了《普林斯顿数学指南》（the Princeton Companion to Mathematics），这是一本数学综合类的普及读物，全书共有一千多页，尽量用浅显的语言，把现代数学知识的来龙去脉解释清楚.在线性代数的课堂教学中，如果能借鉴这种从知识产生历史角度来讲授知识，不仅能让学生理解知识之间的内在联系，更为可贵的是，能把很多数学大家当时对这些数学问题的思考过程呈现在学生面前，对学生创造性思维的形成过程大有益处.

四、结 语

线性代数课程由于其自身的特征给教学带来一定的难点，如何在不改变课程知识体系的前提下，达到较好的教学效果，让学生能在抽象的代数学习中，接受知识，形成创造性思维方式，提高数学能力和素养，是每个大学数学教师面临的一个重要课题.本文从教学实践中，结合国内外相关的数学教育理论，提出了几条相应的措施.要提高教学质量，需要长时间在实践不断去完善教学手段和教学方法，唯有高质量的课堂教学，才能保证线性代数课程较好的教学效果.

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.线性代数[M]（第六版）.北京：高等教育出版社.

[2]杨小远，李尚志.大学一年级学生创新能力培养探索与实践[J].大学数学，2012（4）：13-21.

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线性代数是数学的一个重要分支，其计算技巧与数学理论对自然学科和数学学科本身的发展起着重要作用，它不仅是一门非常好的数学课程，而且是一门非常好的工具学科，在很多领域都有广泛的用途。同微积分一样，它是高等数学中两大入门课程之一，是大学理工科和部分文科专业主要的基础课程。它的理论和方法无论是对学生知识结构的完善还是对学生综合素质的提高，以及创新能力的培养都有着十分重要的作用。线性代数的教学效果直接影响学生在实践中应用数学的能力。笔者结合自己十几年来的教学实践，从课前备课、课堂教学及课后作业批阅三个方面就如何增强线性代数教学效果谈谈体会。

一、认真准备，精心备课

上课前充分备课是上好课的前提，要提高课堂教学质量和效率，首先要抓好备课这一环节。大量的教学实践表明，教师在备课上所花的工夫直接影响授课质量。就同一任课教师来说，进行观摩教学时教学效果一般都比平时好，原因并非观摩教学时教学能力高，而在于教师备课比平时充分得多，进行了认真的筹划和精心的设计。针对线性代数课程学时少、概念多、抽象度高、思维方式独特的特点，教师要在教学过程中既保证数学原理的传授，又使学生及时掌握主要的解题方法，就必须认真地筹划和精心地设计每一节课的每一个知识点。

要备好课，首先要熟悉教材的整体构架。具体地指，这册教材是怎么样编写的，它是以怎么样的脉络为主线的，主要内容有哪些，分为几大版块，每个版块由哪些具体的内容构成。只有对教材框架熟悉，我们才可以创造性地加工教材，对教材科学地重组、合并、添加及删除，让教材符合学生的实际，符合学生的口味。这就是说，我们要“用教材教”，而不是“教教材”。例如大多数线性代数教材讲行列式的时候，开始都是以2阶与3阶行列式引入一般行列式的定义的，如文献[1]和[2]。如果严格按照课本章节，那么2阶节行列式还容易让学生记住，但是3阶行列式对于大多数学生来说，不但有的6项不容易记住，而且常会为这些项的正负号纠结。如果熟悉了教材的整体框架，知道这不过是为了引入行列式一般概念而设的章节，就完全可以跳过这部分内容，直接从逆序数引入行列式的一般定义，然后再用一般定义看2阶与3阶行列式，这样容易让学生接受。

要备好线性代数课程，还要事先对所教的学生情况有所了解。现行的线性代数教材大多是老版本，但是中学教材施行的是新课程标准，这就造成大学教材与中学教材脱节的情况，即使是最近出版的线性代数教材也有这种情况。如在线性代数教材中讲到全排列与逆序数的时候，都是默认学生学过简单的排列组合知识的。但是，实际上这部分知识点有些中学是不作要求的。老师在处理与这部分内容相关的知识时，要清楚班级到底有多少人知道这一知识点，根据具体情况适当增加一些排列组合的知识，这样更有助于学生理解所教内容。

最后，每次备课都要针对此节课知识点精心设计一些课后习题留给学生完成。著名数学家华罗庚曾说：“学数学不做题，如入宝山而空手归。”足见解题对深刻理解数学知识和方法的重要性。线性代数课程的特点是学时少、概念多、抽象度高，课后如果不尽心设计一些习题，则学生很难真正掌握所学知识点。如在线性空间这一章节中，不少学生对线性空间的概念感到很迷茫，难以想象，但是课本[1]上用定义验证线性空间的题目只有针对2阶矩阵的验证是否为线性空间的三个小题。如果只用书本上的作为习题，一是验证类型太单一，二是量比较少，因而在这一知识点上，我会增加一些课本之外的用定义验证线性空间的习题。实践证明，通过适量做题，学生对线性空间的概念认识有所提高。

二、充满激情，组织教学

为了更好地组织课堂教学，首先我们必须尽力地营造和谐活跃的课堂氛围。要营造活跃的课堂氛围，教师一定要用自己的话（要讲出自己的理解）讲授课程，不照本宣科，语言不仅要生动、形象，还要幽默。学生只有在宽松、和谐、自由的环境中学习，才能思路开阔，思维敏捷，才会主动参与到教学过程中。好课堂是充满真情与激情的课堂，一堂缺乏激情的课是无法引起学生共鸣的课。这里所说的激情，就是老师课堂上内容表达清晰、用语抑扬顿挫、全身心投入讲课、满腔执情地与学生互动。师生的良性互动不但会提高学生的学习积极性，而且会提高课堂教学效率。例如讲消元法解线性方程组时，对于3元或4元线性方程组，因为学生在中学就有接触，所以我让不同的学生讲这些内容，并先让学生自己点评总结。学生面对学生，可以无拘无束地发表自己的见解，同学之间的讨论、争辩、交流大大调动了学生学习的积极性。在学生讨论交流后，我最后给出用矩阵初等变换的方法进行消元的教学内容。这样的学习方式，不仅能活跃课堂气氛，而且能激发学生的创新意识。

其次，要更好地进行课堂教学，还要理解学生，与学生做朋友。理解学生就是要知道随着高校的扩招，一些高等院校在努力探索自己的生存与发展的同时，接收了一些低分数考生。这些低分入学的同学的基础比较差，以至于我们经常会遇到这样的情况――一个简单的定义或者结论，有部分同学无论如何解释都不懂。在这种情况下，教师首先要有耐心，理解他们为什么才会这样。有了这样的理解为基础，学生才有可能将你当做真正的朋友。心理学研究表明，学习兴趣是学习积极性中最现实、最活跃的成分。而学生对某学科有兴趣在一定程度上取决于对任课老师喜欢的程度。所以，当学生将你作为他的朋友时，他在一定程度上就会喜欢你所教的这门课程，在学习中就会充分发挥自己的主体作用。

再次，适当应用多媒体进行课堂教学。对于多媒体在教学中的使用，我觉得目前不少高校出台的各种政策与采取的措施有些激进，在教学质量学生与专家的测评表中、各种级别的讲课比赛中，把是否运用多媒体作为衡量教学水平的指标之一，在客观上产生一种过高定位多媒体作用的倾向。实际上，传统的板书模式有着多媒体不可替代的功效，学生可以从板书过程中解读出教师对所写内容的理解思路，进而促进对这部分内容的学习。在教学过程中大量使用多媒体，追求讲授速度，而不给学生充分思考的时间，这样不利于培养学生的创新思维，不利于培养学生的数学能力；况且在有限的教学时间内，学生接受知识的容量也是有限的。扩招后，数学课一般是大课，然而我们的多媒体教室只有不到两平方米的黑板，教师板书受到限制；即使教室有黑板，多媒体屏幕又一般设置在教室正前方，屏幕一拉下来，黑板便占去了一大半，留下的可用版面很小。这种多媒体教室实际上充当了强迫教师完全使用多媒体进行教学的角色，它使得数学教学效果大打折扣。因此，在线性代数教学过程中，只有对一些内容简单的章节，例如线性空间的定义，我才会将基本定义、定理的内容打上屏幕，证明及解释过程则板书；而那些学生不容易掌握的较难的章节，则使用多媒体教学。

最后，为了更好地达到预期的教学效果，每次课堂教学快结束时，我都会预留5到8分钟，对本次课堂教学内容进行总结。实时小结，有助于学生掌握课堂教学内容。如讲完正定二次型这一小节内容时，可以预留点时间，引导学生写出正定二次型（或正定矩阵）的所有等价命题，并用框图给出，这样学生可以更清楚各个命题之间的联系，从而加深对正定二次型的理解。

三、用心批阅，及时反馈

课堂教学结束，线性代数课程教学并没有就此结束。教师还得用心完成预留作业的批阅，并及时反馈作业情况给学生才算完成一次完整的教学过程。作业的批阅如同课堂教学一样是学校教学工作中的一个重要环节，有着无法替代的特殊作用。它不但可以及时检验学生学习的情况，让我了解他们存在的不足和需要重视、改进的地方，为如何组织下一课的教学提供有力的依据，还可以因材施教，为每一个学生的教育、培养提供参考意见。通过作业，我及时发现在刚结束的课堂教学中存在的问题并想办法解决问题。如果错的是少数同学，我就会在学生出错的地方写出正确的解答过程。如果大部分人都犯类似错误，我就会在下次课堂教学时进行集体订正。例如在求解齐次线性方程组的时候，我通过作业发现不少学生在求基础解系的时候不知到怎样寻求，于是我就在下次课上把如何求解基础解系重新讲解一遍。

同样，通过认真批阅作业，能够帮助学生正视自己，提高学习效率。作业是学生在学完每一节课后检验自己学习情况的一种有效手段和方法，是学生自己的学习成果。学生可以从自己的作业成功中获取自信心，进而激发对线性代数学习的兴趣。

通过作业的用心批阅，能够拉近师生距离，建立良好的师生关系。教师认真批阅学生作业的这种敬业精神会在一定程度上感染学生。我在批改作业时做到一视同仁认真对待，无论是对成绩较好的学生还是成绩不理想的学生交上来的作业都一丝不苟、认真批阅。

总之，批改作业是每个教师都必须重视并认真对待的重要工作环节，它为提高教学质量、建立良好的师生关系提供了有利条件，在教学教学作中有特殊作用。教师一定要本着为学生服务、为教育事业服务的精神，兢兢业业，认真批阅学生的作业，耐心教育引导他们在完成作业的过程中树立良好的学习态度和习惯，为努力学习科学文化知识打下坚实的基础。

参考文献：

[1]同济大学数学系.工科数学：线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

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中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）32-0196-02

随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，《高等数学》和《线性代数》的作用越来越重要，它们是高等院校培养应用型人才重要的数学基础课。《高等数学》主要学习的是微积分方面的知识，《线性代数》主要学习的是几何方面的知识。由于课程内容的不同，部分高校在课程安排上往往一个教师要么只教《高等数学》，要么只教《线性代数》，从而在教学时往往忽略了引导学生去思考这两门课程中的一些相通性。实际上，看似两门完全不同的课程之间实有许多相通之处，而让学生了解和掌握这些相通性不但有利于更好地掌握这两门课程，而且还可以培养学生发现、思考和总结的能力，所学知识真正做到融会贯通。

几年来，笔者一直在教学一线，既承担《高等数学》的教学，也承担《线性代数》的教学。在教学实践中，笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性，下面介绍几点。

一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性

4.方程解的结构。在《线性代数》中，当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时，其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。在《高等数学》中，非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构，即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外，解的性质也完全一样。

二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性

在《线性代数》中有一个重要的量――矩阵，故对矩阵的运算作了大量的介绍，有矩阵的加法、矩阵的减法、矩阵的乘法，但是没有矩阵的除法这一说法。在《高等数学》中，极限部分有个关键量无穷小，两个无穷小相加、相减、相乘仍然是无穷小，但是两个无穷小相除不一定是无穷小。这个特点和矩阵的运算特点类似，即对除法运算的特殊性。矩阵无除法运算，无穷小相除不一定为无穷小，它们虽然没有除法运算或性质对除法运算的不成立性，但是它们都有特殊的运算来代替，矩阵有矩阵的逆运算，无穷小可以通过相除来比较无穷小的阶数。

三、《高等数学》和《线性代数》课程对学生逆向思维培养的相通性

逆向思维是从原问题的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向进行思考的一种思维。它反映了思维过程的间断性、突变性和多向性，有利于培养思维的灵活性，常常可以帮助学生寻找新的思路、新的方法，开拓新的知识领域。在《高等数学》和《线性代数》课程中，都大量存在对定理、结论的逆否命题的采用，因而两门课程在培养学生的逆向思维能力方面具有相通性。我们来看几个例子。

命题1：如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则齐次线性方程组只有零解。而在实际的解题过程中，往往用其逆否命题：如果齐次线性方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式等于0。

命题2：如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关。在向量组中相关性判断中，也常常用到其逆否命题形式。线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关。再比如，若向量组线性无关，则其升维组也线性无关。其逆否命题：若一个向量组线性相关，则其降维组也线性相关。这些结论在线性代数学习中是比较难以区分的，若弄清楚两两之间的关系，不但有利于逆向思维的培养，而且学习起来也会事半功倍。

上面只是列举了这两门课程中的几个例子，实际这种逆向思维的训练在两门课程中还有很多。文献[1]中还介绍了利用反例、反问题等来培养学生的逆向思维。

线性代数与高等数学是大学数学的两门重要基础课，虽然这两门课解题方法有些差异，却密切相关。除了上面介绍的几个方面外，还在很多方面都有内在的渗透[2-7]。例如二次型在函数极值、不等式中有着重要的应用，线性空间理论也可用于数列极限的求解，矩阵、行列式在高等数学中的向量积、混合积、旋度、Stokes公式等知识点中都有具体的应用。而另一方面，高等数学中的许多内容，譬如函数的连续性、导数等都可广泛地应用于线性代数众多章节之中。教师在教学过程中应该抓住这些相通性及相互渗透的知识点，将这两门课的内容更好地交叉、融合。

参考文献：

[1]袁秀萍.线性代数教学中逆向思维能力的培养[J].科教文汇，2014，（294）：42-44.

[2]桑旦多吉.线性代数方法在高等数学解题中的应用[J].求知导刊，2015，（7）：126-127.

[3]米永生，梁静.线性代数方法在高等数学中的渗透[J].石家庄学院学报，2007，9（6）：17-21.

[4]董晓妃.线性代数方法在搞定数学解题中的应用思考[J].科技创新导报，2015，（19）：155-157.