函数最值的应用模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇函数最值的应用，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

中图分类号:F224 文献标识码:A

文章编号:1004-4914（2011）12-082-02

在工农业生产、科学技术研究、经营管理中，经常要遇到在一定条件下，怎样用料最省、产量最多、效率最高、成本最低等问题，这些问题在数学上有时可归结为求某一函数的最大值或最小值的问题。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分中的最值可以对经济活动中的实际问题进行最优化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。

一、最值的概念

1.最大值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最大值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最大值点。

2.最小值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最小值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最小值点。

最大值和最小值统称为最值。

二、最值在经济中的应用

最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

1.最大利润问题。

例1：某工厂在一个月生产某产品Q件时, 总成本为C（Q）=5Q+200（万元），得到的收益为R（Q）=10Q-0.01Q2（万元），问一个月生产多少产品时, 所获利润最大?

解：由题设，知利润为

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

显然最大利润一定在（0，+∞）内取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（万元）为L的一个极大值。

从而一个月生产250件产品时，可取得最大利润425万元。

2.最大收益问题。

例2：某商品的需求量Q是价格p的函数Q=Q（p）=75-p2，问p为何值时，总收益最大？

解：总收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

从而R（5）=250，为收益R（p）的极大值。

即当价格为5时，有最大收益250。

3．经济批量问题。

例3：某商场每年销售某商品a件，分为x批采购进货，已知每批采购费用为b元，而未售商品的库存费用为c元/年・件。设销售商品是均匀的，问分多少批进货时，才能使以上两种费用的总和为最省？(a,b,c为常数，且a,b,c>0）。

解：显然，采购进货的费用W1（x）bx，

两次求导：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 则Q=3

当Q=3时，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而边际成本函数C'（Q）=15-12Q+3Q2

当Q=3时，C'（Q）=15-36+27=6

可见最小平均成本与边际成本相等。

边际的意义是：当产量在Q的基础上再增加一个单位时，成本C（Q）的增量。

三、总结

综上所述，对经营者来说，导数在经济学中的应用颇为广泛，而且在日常生活中、生产和科研中，常常会遇到最值的问题，不仅而已，从上面的例子可以看出，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为的经营决策提供可靠依据。

参考文献：

1.陆庆平.以企业价值最大化为导向的企业绩效评价体系――基于利益相关者理论[J].会计研究,2006(3)

2.高哲.浅谈微积分在经济中的应用[J].中国科技博览,2009（7）

3.李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业视角，2007（5）

4.向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用[J].枣庄学院学报，2007（10）

6.谭瑞林，刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析[J].商场现代化,2008（4）

篇2

均值不等式是高中数学不等式中的重要内容，均值不等式在求函数最值、解决一些取值范围问题时运用非常广泛，是历年高考考查的重要知识点之一。在实际应用时，我们应因题而宜地进行变换，并注意等号成立的条件，达到解题的目的，变换题目所给函数的形式，利用熟悉知识求解是常用的解题技巧，熟练运用该技巧，对于提高思维的灵活性和严密性大有益处。

一、运用均值不等式时应注意事项

在解决这一类型的题时需要特别注意的是等号成立的条件，特别是遇到一些函数本身就有取值限制范围时，需要根据函数合理存在的限制取值范围再求函数的最值。

二、把所给函数巧妙转化成均值不等式后求最值

这是一种比较难掌握的方法，因此运用此法需要具有扎实的基础知识，敏锐的观察力。下面举两个例子对此法加以介绍。

欲灵活应用此法，需要多练习，并在解题的过程中体会总结规律，达到孰能生巧，总之，遇到此类型的题，最重要的是需配出相应的形式。

三、结语

以上通过几个实例简单介绍了利用均值不等式求最值问题需要注意的一些事项，但对于具体题目，有时可能有多种解题方法，究竟如何求出函数合理的最值，还需要我们在教和学的实践中不断探索和总结。

参考文献：

[1]王影.求函数值域的几种常用方法.解题技巧与方法，2010.

[2]蔓，孙锰.妙用均值不等式求多元函数的最值.高中数学教与学，2010，（4）.

[3]魏福军.用均值不等式求最值须注意的几点.中学生数学，2003，（1）.

[4]徐丽聘.利用均值不等式求最值.求实篇――学习方法总结，2009，（9）.

[5]刘新良，李庆社.十二种求函数值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

篇3

例1 （2012年江苏扬州）如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是 .

图1

解析：设AC=x，则BC=2-x.

ACD和BCE都是等腰直角三角形，

∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∠DCE=90°.

DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■・（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.

例2 （2012年宁夏）如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作APPE，垂足为P，PE交CD于点E.

（1）连接AE，当APE与ADE全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长.

图2

分析：（1）由APE≌ADE，可得AP=AD=3.在RtABP中，运用勾股定理即可求得BP的长.

（2）由APPE，得RtABP∽RtPCE. 根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式，然后化为顶点式即可求得当x=■时，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得CPE∽CBD.根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP的长.

解：（1）APE≌ADE，AP=AD=3.

在RtABP中，AB=2，BP=■=■=■.

（2）APPE，RtABP∽RtPCE.

■=■，即■=■.

y=-■x2+■x.

y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

当x=■时，y的值最大，最大值是■.

（3）设BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

PE∥BD，CPE∽CBD.

■=■， 即■=■.

将上式化简，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合题意，舍去）.

当PE∥BD时， BP=■.

二、求线段积的最值

例3 （2012年江苏苏州）如图3，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2

（1）当x=■时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，PD・CD的值最大？最大值是多少？

图3

分析：（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l.又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行. 根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出PCA与APB相似.由相似得比例式，将PC及直径AB的长代入比例式求出PA的长.在RtAPB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长.

（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点.再由有三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OACE为矩形.根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.

解：（1）O与直线l相切于点A，AB为O的直径，ABl.

又PCl，AB∥PC. ∠CPA=∠PAB.

AB为O的直径，∠APB=90°.

∠PCA=∠APB.PCA∽APB.

■=■，即PA2=PC・AB.

PC=x=■，AB=4，PA=■=■.

在RtAPB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）过O作OEPD，垂足为E.

PD是O的弦，OEPD，PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

PE=ED=x-2.

CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

PD・CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

2

当x=3时，PD・CD有最大值，最大值是2.

三、求周长的最值

例4 （2012年四川南充）如图4，在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点.把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B.

（1）求证：MA=MB；

（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

图4

分析：（1）连接OM，证明PMA和OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，则在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）证明：连接OM .

在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，

PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∠PMA=∠OMB.

PMA≌OMB（ASA）. MA=MB.

（2）AOB的周长存在最小值.理由如下：

PMA≌OMB ， PA=OB.

OA+OB=OA+PA=OP=4.

设OA=x， AB=y，则y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

当x=2时，y2有最小值8，从而 y的最小值为2■.

AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面积的最值

例5 （2012年四川自贡）如图5，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.

图5

解析：设BM=xcm，则MC=（1-x）cm.

∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

ABM∽MCN，■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

S四边形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

-■

当x=■cm时，S四边形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如图6，在ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，AMN的面积最大？并求出这个最大值.

图6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程，求出t值即可.

（2）作NHAC于H，证明ANH∽ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算AMN的面积得到有关t的二次函数，最后求出最值即可.

解：（1）M点从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，

AM=12-t，AN=2t.

∠AMN=∠ANM，AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

当t为4秒时，∠AMN=∠ANM.

（2）如图6，作NHAC于H，∠NHA=∠C=90°.NH∥BC.

ANH∽ABC.

篇4

总之，只有学生在学习过程中，对其原理认真领会、强化通性通法，引导学生对数学问题从多层面，多角度进行延伸探究，有意识的引导学生从“变”的现象中分析“不变”的本质发现规律。所以变式教学要围绕讲的目的性和针对性展开：明确是训练学生的计算能力，还是深化学生思维；是进一步巩固基础，还是提高学生能力；是提醒学生哪些地方易错，还是磨练学生解题意志。有效地拓展更好的服务于讲，深化了练，提升了课堂的质量。高三教学发挥变式功能，更是一种有效地引导学生学会“如何思”“如何想”并走向“自觉地思”“自觉地想”的方式，有利于培养学生灵活多变的创新思维，完善学生的认知结构，提高学生分析问题、解决问题和探索创新能力。

篇5

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。三角函数是函数的一种重要的函数，三角函数的最值问题包括了对三角函数的概念、图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和差以及倍角公式的考查，是函数思想的具体体现，有广泛的实际应用，一直是高考命题的热点。我们从以下六个方面举例介绍求三角函数的最值。

1 将已知函数转化为 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函数的最值

求三角函数的最值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式等转化为 = （ + ） + 的形式，只要能转化，问题就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

当 = （）时 = 1，当 = + （）时 = 。

2 应用平均值定理求最值

求函数 = （为锐角）的最大值。

解： = >0

= = 4·≤4（）3 =

当 = ，即 = 时， = 。

应用平均值定理求函数最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通过分析将 （）放大或缩小成一个常数，这就是求最值的基本思维方法——放缩法，平均值定理是放缩法的一种极好手段。

3 应用二次函数判别式求最（极）值

求 = （，，其中为三角形内角）的最大值。

解：原函数化为 = [ ]

+ 2 = 0

= 8 ≥0 ≤≤

当 = 时， = = ，

所以当 = = 时， = 。

此题也可用放缩法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放缩法时，等号必须成立。

4 应用函数的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化为 （ + ） =

∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域为（，- ]∪[1，）。

5 应用函数的单调性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，则（0，）。 = + 。

6 利用数形结合

求函数 = 的最值。

图1

解：原函数变形为 = 这可看作点（）和（-2，0）的直线的斜率，而是单位圆 + = 1上的动点，由图1可知，过（-2，0）作圆的切线时，斜率有最值，由几何性质得 = ， = - 。

前面介绍了六种常见的求三角函数最值的思维方法，但在解题中并不固定于一种方法。如

求 = 的极值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化为（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。显然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一种方法化为 = （ + ） + 的形式，

原式化为 = + · = 0时， = 8。

篇6

利用三角函数的有界性求三角函数的最值，关键在于应用三角函数的公式、性质将三角函数式化为复角的单名函数式或某些已知其最值的三角函数，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函数y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中le=arctg，即sin（x+le）=。

|sin（x+le）|≤1，≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函数y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中le由cosle=，sinle=决定。

又因为 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用变量代换法求最值

求三角函数的最值时，有时选取适当的变量代替式中的三角函数式，能使问题迎刃而解。但作变量代换时要特别注意式中变量的取值范围。

例3 求函数y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），则sinxcosx=。

t=sin（x+），-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函数y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函数变形得y=sin2x-4sinx+5。

设sinx=t （-1≤t≤1），

则得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又-1≤t≤1，当t=1时，ymin=2。

当t=-1时，ymax=10。

三、应用平均值不等式求最值

应用平均值不等式来求三角函数的最值，关键在于恒等变形，把三角函数式变为能应用平均值不等式的基本形式。

例5 求函数y=+（a>b>0，0

解：y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，当且仅当atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=时，ymin=（a+b）2。

四、利用几何图形性质求最值

利用几何图形性质求最值的特点是直观、简洁，将最值问题转化为求直线的斜率问题，求形如y=的最值关键在于把F（f（θ），yθ）=0看作一条曲线的方程，那么y=等于曲线上的动点A（f（θ），g（θ））与定点B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲线上找一点，使KAB最大或最小。

例6 求函数y=的最值。

篇7

某些函数的结构并不复杂，可以通过适当变形，由初等函数的最值及不等式的性质直接观察得到它的最值。

例1　求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：变形为y＝1=X2＋2/3，故当x=0，时，yma

二、反函数法

由原函数反解出x=￡(y)，根据x的范围求出y的范围，进而得到y的最值的方法称为反函数法，此方法适用于能顺利求得反函数的函数，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函数， 类似地，此方法也可推广到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范围的函数，

三、配方法

配方法是求解“可化为二次函数形式”这一类函数的最值问题的基本方法，有着广泛的应用，

四、换元法

引入新变量对原函数式中的代数式或三角函数进行代换，将所给函数转化成容易求最值的简单函数，进而求得最值的方法称为换元法，形如y=ax+6的函数求最值常用此法，用换元法解题时要特别注意变元前后自变量的取值范围要保持一致。 　 　五、不等式法

通过对原函数式进行变形，利用等基本不等式求函数的最值的方法称为不等式法，用不等式法求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的应用条件，即不等式中的两项必须都为正，两项的和一定时积有最大值、积一定时和有最小值，必须能取得到最值，

点评：利用不等式法求最值时，要注意函数取到最值时，相应的x的值是否存在，如果不存在，则此最值不能取到，此时要考虑用其他方法来解题，点评：用不等式法和判别式法都只能求出例8中函数的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考虑换用其他方法，

七、单调性法

如果能确定函数在某个区间上的单调性，就可以求出该函数的最值，求解函数在给定区间上的最值问题常可试用这种方法，函数的单调性可以直接用单调性的定义来判别，也可结合函数的图像来研究，或者用导数法来判定。

篇8

最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

（1）代数法。代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

①判别法：判别式法是等式与不等式联系的重要桥梁，若能在解多元函数最值过程中巧妙地运用，就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。而应用判别式的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数，还需注意是否能取等号。若函数可化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0时，由于x，y为实数，必须有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范围确定函数最值。

②配方法：配方法多使用于二次函数中，通过变量代换，能变为关于t（x）的二次函数形式，函数可先配方成为f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根据二次函数的性质确定其最值（此类题的解法关键在于用“配方法”将二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域内，若不在定义域内则需考虑函数的单调性）。

③不等式法：均值不等式求最值，必须符合“一正、二定、三相”这三个必要条件，因此当其中一些条件不满足时应考虑通过恰当的恒等变形，使这些条件得以满足“和定积最大，积定和最小”，特别是其等号成立的条件。（在满足基本不等式的条件下，如果变量的和为定值，则积有最大值；变量的积为定值，则和有最小值。本例中计算的目的，是利用隐含在条件之中的和为定值，当然这里还需要利用系数的凑合才能达到目的，具有一定技巧）

④换元法：换元法又叫变量替换法，即把某个部分看成一个式子，并用一个字母代替，于是使原式变得简化，使解题过程更简捷（在利用三角换元法求解问题时，关键还是要在掌握好三角函数常用关系式的基础上，结合所求解的函数式，慎重使用）。

（2）数形结合法。数形结合法是数学中的一种重要的思想方法，即考虑函数的几何意义，结合几何背景，把代数问题转化为几何问题，解法往往显得直观、简捷。通过数与形之间的对应和转化来解题，有许多的优越性。将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，借助几何图形活跃解题思路，使解题过程简化。有时函数最值也借助数形结合方法来求解。

①解析式：解析法是观察函数的解析式，结合函数相关的性质，求解函数最值的方法。

②函数性质法：函数性质法主要是讨论利用已学函数的性质，如函数的单调性求函数最值等。

③构造复数法：构造复数法是在已经学习复数章节的基础上，把所求结论与复数的相关知识联系起来，充分利用复数的性质来进行求解。

篇9

1、配凑法

例1．已知函数 ，求y的最小值

解：因为 ， ，所以 ，当且仅当 即 时取等号。所以，当 时 。

变式1：函数 ，求y的最大值。

解：因为 ，所以 ，则 -4

，当且仅当 即 时，等号成立，故 -6。

变式2. 当 时，求 的最大值。

解：因为 ，所以 ，

，当且仅当 即 时取等号。所以，当 时

评析：当题目中给定的函数形式往往比较简单，但不符合直接使用基本不等式时，就需要对函数式用“拆、拼、凑，合”等方法，创造基本不等式的条件和形式，并且在运用基本不等式后有取等号的条件。以上三个例题的函数式都不能直接利用基本不等式求最值，故需要通过拆或拼来创造运用基本不等式的情境。如（1）中 与 的乘积不是定值，看似无法用基本不等式求解，若将 拆成 即可。（2）可配成 (3)中 与 的和不是定值，若将 拆成 即可。

2、拆项法

例2 已知函数 ， 求y的最小值。

解：因为 ，所以

当且仅当 即 时，等号成立，故 。

评析：本题采用了拆项法将式子进行了变形，然后把分子分母同除以一个含自变量的式子，使分子变为常数，此时可对分母使用基本不等式。

3、换元法

例3 求函数 的最小值。

解：因为 :所以， ，则 ，所以，

，

当且仅当 ，函数的最小值是 。

评析：本题采用了换元法，将原式转化为可以使用基本不等式求最值的形式。

4、常值代换

例4 已知 且 ，求 的最小值。

解：因为

,当且仅当 即 时，等号成立。

所以，当 时，有最小值是16.

变式训练 已知正数 满足 ，求 的最值。

解：将条件 等价转化为 后，常值代换处理即可。

例5 设 ， 为正常数，则函数 的最小值是

解析： 本题考查 及“1”的代换等知识，可将原式写成

当且仅当 ，即 时等号成立。

所以函数 的最小值是

评析：有些代数式含有两个以上的变量，但这些变量又必须同时满足某些条件，在运用基本不等式求其最值时，往往需要结合这些变量所满足的条件和所求最值的代数式的特点进行分析，通过适当的变形来利用基本不等式求最值，这类问题也往往可以通过代换消元转化为某个变量的函数形式来求最值。以上几题均采用了常量1的整体代换，通过这种变形可以转化表达形式，创造出可用基本不等式解答的条件。

5、重复使用基本不等式

例6 已知二次函数 （ ）的值域为 ，求 的最小值是

解：由题意知： 即 ,因为 ，

当且仅当 时等号成立，所以 的最小值是10.

评析：本题连续两次使用基本不等式，等号成立的条件都是 ，原题的等号成立，所以3是最小值，因此，特别注意：在连续使用基本不等式时，等号成立的条件一定要一样。

6、平方后使用基本不等式

例7 已知 为锐角，求函数 的最大值。

解：因为 为锐角，所以 为正数，所以

= 。所以 的最小值是 ，则

7、整体代换

例8 若正数 满足 ，则 的取值范围是

解：由已知 得 ，即

篇10

1.利用二次函数求最值

利用二次函数求最值是一种应用甚广的基本方法,其基本思路是将将问题转化为某个变量的二次函数,通过配方,利用二次函数性质求出最值。

例1 设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根,(x2-2x2)(x2-2x1)的最大值是什么?

解:因为 =a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,

所以(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2x12+5x1x2-2x22

=-2(x1+x2)2+9x1x2 。

因为x1,x2是方程x2+ax+a=2的两个实数根,

所以x1+x2=-a,x1・x2=a-2代入配方可得:

(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2a2+9a-18 =

根据平方的非负性知:当a= 时,(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为- 。

2.利用换元求最值

一些函数,特别是在函数表达式中含有三角函数的情形,往往可利用三角函数的有关性质来求函数的最值,这就是三角换元求最值;其他的换元就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁为简,从而使问题得解。

(1)三角换元

例2已知x,y均是正数,x2+y2=1,求x+y的最值。

解:令,

则 所以x+y的最大值为√2,最小值为-√2。

(2)其他换元

例3 已知 的最大值。

解: 当且仅当x=y= 时取等号,所以 的最大值为2。

3.利用数形结合求最值

运用数形结合的思想,将函数的最值问题转化成几何图形的性质问题,通过几何的有关知识来解决。这种方法对于最值的解法显得更直观、易懂、简洁,这对于开拓思路,提高和培养分析能力,解决问题的能力有裨益。

例 4 求函数y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13的最小值。

解:因为 y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13

=√x2+(x2-1)2+√(x-2)2+(x2+3)2,

所以y可以看作点P(x,x2)到点A(0,1)及点B(2,3)的距离之和。

已知点P(x,x2)在抛物线y=x2上,又由于y=x2与线段A,B有交点,故当A,P,B在同一直线上时,距离之和最小,最小值为线段AB的长,所以y的最小值为ymin=√(2-0)+(-3-1)2=√20=2√5。

4.利用基本不等式求最值

不等式和最大值与最小值是密切相关的。比如要证明某个参数P的最小a,可先证明P≥a,然后说明P可以取到a,这是利用不等式求最值的基本思路,更为一般的是利用均值不等式,积定求和最小值,和定求积最大值。