探索平行线的条件模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇探索平行线的条件，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

关键词：平行线；判定；北师大版；人教版

目前，中小学数学主要使用北京师范大学和人民教育出版社两种教材，其中沿海和新课改城市一般采用北京师范大学出版社的教材，而北方内地城市一般采用人民教育出版社的教材。两种教材究竟有哪些不同和联系呢？本论文将从新课程标准的要求、章节引言、内容结构和教学设计四方面，阐述两本教材中《平行线判定》这一课的异曲同工之处。

一、新课程标准要求

1.实施意见

《义务教育数学课程标准》在实施意见中指出，数学教学要生活化、情境化和知识系统性，最终超出生活（生活数学）并上升到“笛模型”（书本数学）。

2.课程目标

在课程目标中要求学生：探索并掌握相交线、平行线的基本判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

3.内容标准

在内容标准中要求学生：识别同位角、内错角、同旁内角。掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行。

二、两教材中的章节引言

两本教材的章节引言大同小异。都从生活出发，使用了桥梁图片，引出本章内容。介绍了生活中的一些蕴藏相交线和平行线的景象，并介绍了本章学习的主要内容。

三、两教材中的内容结构

《相交线与平行线》在初中数学北师大版教材中的第38页至第60页，使用了23页的篇幅。而人教版是教材中的第2页至第37页，使用了36页的篇幅。可见人教版使用的篇幅较多，将命题定理和平移的知识点也融入里面了。

北师大版的章节安排有：2.1两条直线的位置关系，2.2探索直线平行的条件，2.3平行线的性质，2.4用尺规作角，回顾与思考，复习题。人教版的章节安排有：5.1相交线，5.2平行线及其判定，5.3平行线的性质，5.4平移，小结，复习题。可见章节安排大致相同，不过北师大版中的同位角、内错角和同旁内角的概念安排在后，在“2.2探索直线平行的条件”中，一起使用了两个课时。人教版中的同位角、内错角和同旁内角的概念安排在前，在“5.1 相交线”中，而“5.2平行线及其判定”只使用了一个课时。同位角、内错角和同旁内角概念的前后，体现了两本教材的不同思路。

四、两教材中的教学设计

北师大版的课题名字是“探索直线平行的条件”，课本分两个课时，第一课时主要内容有：装修工人如何使木条a平行于木条b？利用三根木条转动模型，探索同位角概念和平行线判定（同位角），三角尺画平行线，过直线外一点画平行线。第二课时主要内容有：内错角和同旁内角概念，探索平行线判定（内错角、同旁内角）。根据课本内容，教学过程可以设计如图：

1.情境引入

出示图片，提问学生“看到这么多图形，你有什么问题和想法想和大家交流一下吗？”引出本节课的大问题“我们该如何判断、作出两直线平行？”

2.合作探究

学生讨论、交流做平行线的方法，并上台展示。学生1：“在同一平面内，做同一条直线的两条垂线，这两条垂线平行。”学生2：“用小学学过的知识，平移三角板画出两条直线平行。”学生3：“作两组对边分别相等的四边形，得到平行四边形，平行四边形的对边平行。”学生4：“在直线一旁，作两个相等的角，这两个角的另一边互相平行。”……

3.导学达标

老师引导学生，总结以上方法，并找出共性。引出“同位角”的概念，发现“同位角相等，两直线平行”。接着再思考过直线外一点作平行线的情况，让学生体会平行线的唯一性和传递性。

4.矫正深化

安排练习，纠正认知错误，熟练知识点。课本安排了随堂练习2道，习题5道。安排的习题有：求角度的、证明平行的、格子图作平行线的、折纸作平行的、建筑工人调整工具作图的原理等。主要侧重操作。下一节课再学习“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

人教版的课题名字叫“平行线及其判定”，课本安排了一个课时，在学习之前已经学习了同位角、内错角和同旁内角概念，本课时的主要内容有：利用三根木条转动模型思考两直线位置关系，过直线外一点画平行线，回顾三角尺画平行线，平行线判定（同位角），木工用角尺画平行线的原理，平行线判定（内错角），平行线判定（同旁内角）。根据课本内容，教学过程可以设计如图：

1.情境引入

出示图片，提问学生：“看看这些图形，它们有什么共同特征？”引出本节课的内容“两直线的位置关系”。

2.合作探究一

思考三根木条转动模型，思考两直线不相交的情况。学生体会两直线不相交时候的角与线的位置特征。

3.合作探究二

思考过直线外一点作平行线的情况，让学生体会平行线的唯一性和传递性。学生画平行线体验。

4.合作探究三

思考以前学习过的用三角板画平行线的方法，思考其中的原理。学生通过操作、演示和交流发现“同位角相等，两直线平行”。学习完判定后，再思考木工用角尺画平行线的原理，让学生进一步体验判定的内涵。

5.合作探究四

思考内错角、同旁内角与同位角的关系，想想能否用内错角和同旁内角的关系判断两直线平行。学生运用所学知识，将内错角相等、同旁内角互补转化为同位角相等，发现新的两条判定。

6.合作探究五

思考垂直于同一直线的两条直线的位置关系，运用前面所学知识，证明垂直于同一直线的两条直线平行。学生在学习的过程中，不断地应用所学知识。

7.矫正深化

安排练习，纠正认知错误，熟练知识点。课本安排了练习3道，习题12道。安排的习题有：求角度的、证明平行的、生活中的数学原理、区分三个判定、三个判定的联系等。主要侧重知识的应用。

五、两教材中的异曲同工

两教材的知识点、内容设计、章节引言和情境引入都符合新课标要求。两本教材的课本引言和新课引入都从生活出发，引入课题，符合新课标中教学生活化和情境化的要求。两本教材的内容、结构大致相同，循序渐进，从生活现象观察里面所包含的数学原理，探索数学定理，不过人教版安排的内容比较多，习题也比较多，所以篇幅也较多，更加重视知识的系统性。

两教材在探索平行线的判定过程中，都使用了木工画平行线的情境，但是使用的方法有所不同，北师大版更注重从生活现象探索数学的过程，人教版更注重用数学知识解释生活中的现象。例如，北大版利用木工画平行线的方法，引导学生探索平行线的判定，判定是学生从生活中自己探索发现的，而不是强加给自己的。而人教版是在探索完平行线的判定以后，让学生去解释木工画平行线的合理性，将数学知识融入现实生活中，服务于生活。前者重视让学生自己去探索新的知识和方法，通过老师引导升华为数学定理，而后者重视利用自己所学的知识，解释生活中的各种现象，用数学原理解决生活中的问题。

两教材在探索平行线的判定过程中，都使用了同位角、内错角和同旁内角的概念，但是使用的方法有所不同，北师大版更注重因探索的需要创造工具，而人教版更注重使用已有的工具探索新的问题。例如，北师大版在学习平行线的判定之前，没有学习同位角、内错角和同旁内角的概念，而是为了方便探索平行线的判定，给有相应位置特征的角起个名字，是在探索中新发现的数学概念和工具。而人教版是在之前就学习了同位角、内错角和同旁内角的概念，而且在前面的习题中，引导学生，认识和区分这些角。在探索平行线的判定的时候，将这些角作为探索的工具，帮助学生探索平行线的判定。这些工具是为了探索新知而补充的知识。

篇2

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等.

注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成.

定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.

2.平行线等分线段定理的推论

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：“中点”+“平行”得“中点”.

推论的用途：(1)平分已知线段;(2)证明线段的倍分.

重难点分析

本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.

本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.

教法建议

平行线等分线段定理的引入

生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：

①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等;

②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.

教学设计示例

一、教学目标

1.使学生掌握平行线等分线段定理及推论.

2.能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力.

3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.

4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美

二、教法设计

学生观察发现、讨论研究，教师引导分析

三、重点、难点

1.教学重点：平行线等分线段定理

2.教学难点：平行线等分线段定理

四、课时安排

l课时

五、教具学具

计算机、投影仪、胶片、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师复习引入，学生画图探索;师生共同归纳结论;教师示范作图，学生板演练习

七、教学步骤

复习提问

1.什么叫平行线?平行线有什么性质.

2.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?

引入新课

由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系?(横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的)，然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系?(相等，为什么?)这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等?

(引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理)

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确.

下面我们以三条平行线为例来证明这个定理(由学生口述已知，求证).

已知：如图，直线，.

求证：.

分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形(也可应用平行线间的平行线段相等得)，通过全等三角形性质，即可得到要证的结论.

(引导学生找出另一种证法)

分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得.

证明：过点作分别交、于点、，得和，如图.

，

又，，

为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图(用计算机动态演示).

引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1.

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.

再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2.

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好.

接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段.

例已知：如图，线段.

求作：线段的五等分点.

作法：①作射线.

②在射线上以任意长顺次截取.

③连结.

④过点.、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、.

、、、就是所求的五等分点.

(说明略，由学生口述即可)

总结、扩展

小结：

(l)平行线等分线段定理及推论.

(2)定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明.

(3)定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.

篇3

1、理解平行线的性质，掌握他们的图形语言、文字语言、符号语言，并灵活的进行实际应用。

2、经历观察、实验、猜想、验证等数学活动，培养他们分析问题和解决问题的能力。

3、体会几何知识来源于实践并反作用于实践，认识事物的规律是从特殊到一般，再从一般到特殊等辩证唯物主义观点。

重点：理解并应用平行线的性质。

难点：探究平行线的性质。

一、复习回顾、引入新课

问题：我们学过判定两条直线平行的方法有哪些？

如果将判定方法中的结论做为条件，是否能够得到判定方法中的已知。

二、合作交流、探索新知

问题1：在自己的横格作业本上选择任意两条线作为平行线，再用铅笔任意画一条这组平行线的截线，选择其中一组同位角，猜想它们的关系如何？验证你的猜想。

问题2：同问题1，选择一组内错角，猜想两个角在数量上有什么关系？除了可以用测量的方法，能否给出理论证明？

问题3：根据问题1、2，你能说出两条平行线被第三条直线所截，同旁内角有什么关系吗？能否给出理论证明？

归纳新知：平行线性质定理：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单的说成：

（1）

（2）

（3）

问题4：如图，直线a、b被直线c所截，在括号内为下面各小题填空：

（1）性质1： a 1

a//b ∠1=∠243

（两直线平行，同位角相等） b2

（2）性质2：

a//b ∠ =∠

（两直线平行，内错角相等）

（3）性质3：

a//b ∠ +∠=（）

三、拓展应用：

例1：如图是一块梯形铁片的残余部分，量得

∠A=100°，∠B=115°，梯形另外两个角分别是多少度？（图见课本）

练习1、如图，直线a//b,∠1=54°，那么∠2，∠3，∠4各是多少度？

练习2、如图，∠ADE=

∠ABC,若∠AED＝42°，

则∠B＝_____，∠C＝_______．

篇4

首先要弄清问题，不妨问自己这样一些问题：已知条件是什么？待证结论是什么？它们之间有怎样的联系？你是否知道一个可能用得上的定理？你能直接运用该定理来解决吗？如果不能，你能添加辅助线来构造条件吗？

本题已知两直线平行，要证明角度之间的数量关系：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补. 所以，本题可以用平行线的性质来解题. 因此抓住平行线性质定理的基本图形“”（两条平行线+一条截线）是解题的关键. 若题中有基本图形“”，则直接用平行线的性质解题即可. 但是本题中不具备基本图形，故需要通过构造“”这一基本图形来解题. 如何构造呢？同学们通过尝试，有人添加了一条平行线，如解法一、二、三；有人添加了一条截线，如解法四、五、六、七，从而构造了平行线性质定理的基本图形. 在此基础上，运用平行线性质定理，再结合周角的定义、三角形内角和定理、多边形内角和定理等本题就迎刃而解了.

以上解法看似各不相同，但方法的本质都是构造平行线性质定理的基本图形. 正所谓“一题多解，多解归一”. 抓住了问题的本质，掌握了以上解题的规律，我们就能灵活运用知识解题.

篇5

【例1】如图，AOB是一条直线，∠AOC=90°，∠DOE=90°，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？

【思考与分析】 由互为余角的定义，只需找出图中和为90°的角即可.

解： 因为 ∠AOC=90°，∠AOB=180°，

所以 ∠BOC=90°，∠1与∠2、∠3与∠4互余.

因为 ∠DOE=90°， 所以 ∠2与∠3互余.

因为 ∠1+∠DOE+∠4=180°，∠DOE=90°，

所以 ∠1+∠4=90°.即∠1与∠4互余.

可以得到互余的角有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1.

因为 ∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，

所以 ∠1=∠3（同角的余角相等）.

因为∠3与∠4互余，∠3与∠2互余，

所以 ∠2=∠4（同角的余角相等）.

题型二 垂线的定义和性质

【例2】如图，已知FEAB于E，CD是过E的直线，且∠AEC=120°，则∠DEF= .

【思考与分析】我们仔细阅读题目，经过思考发现有两种解法，第一种主要利用垂直的定义和对顶角的性质， 因为∠AEC和∠DEB是对顶角，∠AEC=∠DEB=120°，又因为 FEAB，∠BEF=90°，所以∠DEF=120°-90°=30°；第二种解法主要利用垂直的定义和邻补角的定义，由∠AEC和∠AED互为邻补角，可得∠AED=60°， 再由FEAB于E，可得∠AEF=90°，则∠DEF=90°-60°=30°.

解：∠DEF=30°.

【小结】本题主要考察我们是否掌握了角与角之间的关系，解答这类题目时，我们要清楚地知道有关概念，比如垂直，对顶角，邻补角等.

题型三、互余、互补魅力

【例3】如图3，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和CE重合，折痕是GE，请探索下列问题：

（1）∠FEC和∠GEC互为余角吗？为什么？

（2）∠GEF是直角吗？为什么？

（3）在上述折纸图形中，还有哪些互为余角？还有哪些互为补角？

解：（1）由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800

所以∠1+∠2=900，即∠FEC+∠GEC=900，故∠FEC和∠GEC互为余角.

（2）因为∠GEF=∠1+∠2=900，，所以∠GEF是直角.

（3）∠3和∠4，∠1和∠EFG互为余角，∠AGF和∠DGF、∠CEC和∠DEC互为补角等等（同学们还可以举出一些例子）.

题型四 平行线的性质与判定证明

【例4】如图，如果∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F吗？为什么？

【思考与分析】我们从已知条件入手分析题目.∠2和∠3互为对顶角，∠2=∠3，由∠1=∠2可得∠1=∠3，而∠1和∠3是一对同位角，由平行线的判定条件可知BD∥CE，再根据平行线的性质可得∠4=∠C.又因为已知∠C=∠D，我们可以得到∠4=∠D，从而DF∥CA，从而可以推出∠A=∠F.

解：因为∠1=∠2，∠2=∠3，

所以∠1=∠3.

所以BD∥CE.

所以∠4=∠C.

又因为∠C=∠D，

所以∠4=∠D

所以DF∥CA.

所以∠A=∠F.

题型五 利用平行线性质与判定进行运算

【例5】 如图，AB∥CD，若∠2=135°，则么∠1的度数是 （ ）

A.30° B.45° C.60° D.75°

【思考与分析】 本题主要考查平行线的性质、互为邻补角概念.

解：∠2与∠1的邻补角互为内错角，所以∠1=180°-∠2=45°.

【小结】 解答本题需要注意两点：第一，两直线平行，内错角相等，第二，互为补角与互为邻补角的区别.

题型六 学科间的综合

【例7】 已知：如图，∠AOB的两边 OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=40°.在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（ ）

A.60° B.80° C.100° D.120°

【思考与分析】 观察题目，我们可以利用平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”，以及PQ与OA的夹角，与QR与OA的夹角相等的原则，可得出∠AQR=∠OQP=∠AOB=40°，借助平角的定义，则∠QPB=80°.

解：B.

【小结】在学习的过程中我们一定要注意学科间的综合，这是中考命题的热.

题型七 探究性问题

【例8】 观察图1～图5.

（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠BED，你能说明为什么吗？

反之，若∠B+∠D=∠BED，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由；

（2）若将点E移至图2所示位置，此时∠B、∠D、∠BED之间有什么关系？请说明理由；

（3）若将E点移至图3所示位置，情况又如何？

（4）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？

（5）在图5中，若AB∥CD，又得到什么结论？

分析：要说明（1）的结论成立，若过点E作EF∥AB，则由平行线的特征即可说明；其余几个问题也都可以按照此方法说明.

解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∠B=∠BEF.所以∠D=∠DEF，而∠BED=∠BEF+∠DEF，故∠B+∠D=∠E.

反之，若∠B+∠D=∠E，则AB∥CD.

理由：如图1，过点E作EF∥AB，则∠B=∠BEF，又因为∠B+∠D=∠E，所以∠BEF+∠D=∠E.所以∠DEF=∠D，所以EF∥CD，故AB∥CD.

（2）若将点E移至图2所示位置，此时有∠B+∠BED+∠D=360°.理由：过点E作EF∥AB，则∠B+∠BEF=180°.因为AB∥CD，所以EF∥CD.所以∠D+∠DEF=180°，故∠B+∠BED+∠D=360°.

（3）若将E点移至图3所示位置，此时有结论：∠BED+∠D=∠B.

理由：因为AB∥CD，所以∠B=∠BMD，而∠BMD=180°-∠DME=∠D+∠E，故∠E+∠D=∠B.

（4）仿照（1）可以猜想：在图3-4中，若AB∥CD，则有结论：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.

篇6

课堂上，教者在认识平行线时，“走进生活、发现生活”，从楼梯栏杆、天花板中让学生自己去发现几条边缘线的奇特之处，激起学生探索的欲望。学生各抒己见时，教师给予鼓励和耐心的引导，并做补充，课堂氛围民主和谐。学生的有效参与也是有目共睹的，既独立思考又相互启发，短短数分钟的环节，所有学生都能够自己定义出什么是平行线。

二、课堂互动，激发学生主动尝试的欲望

课堂教学是师生多边的活动过程。教师要主动为学生参与教学过程创设条件、创设情境，让学生动手操作、动眼观察、动脑思考、动口表达。在教学“如何画平行线”时，教者设计了以下几个步骤：

1.教师取出三角尺，任意画出一条线，简称“一画”。

2.教师拿起直尺，紧靠三角尺直角的一条边，简称“二靠”。

3.通过固定的直尺，慢慢移动三角尺，逐渐离开第一条线，简称“三移”。

4.移出一定的距离后，最后作出另一条直线，也就是第一条线的平行线，简称“四画”。

整个步骤概括为“一画二靠三移四画”，激发学生动手实践的欲望。画出平行线后，教师又以“一合二靠三移四看”来检验是否完全平行，让学生相互检验、评价。通过这样的设计，将操作、观察、思维与语言表达结合在一起，不仅使学生参与学习画平行线的整个过程，而且还启迪了他们思维的发展，达到了数学教学使学生既长知识又长技能的目的。

三、因材施教，满足不同学生求知的需求

既要面向全体，又要考虑个性差异，课堂必须做到“上不封顶，下要保底”。教师对教学进行动态设计，以满足不同学生的知识需求。教师取出一个长方体，让学生找出不相交的平行线，很多学生都会找出第一面的长与对面的高虽然方向不同，但也不会相交。教师借此完善了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线互为平行。

篇7

(1)知识结构

平行线的性质：

(2)重点、难点分析

本节内容的重点是平行线的性质．教材上明确给出了“两直线平行，同位角相等”推出“两直线平行，内错角相等”的证明过程．而且直接运用了“”、“”的推理形式，为学生创设了一个学习推理的环境，对逻辑推理能力是一个渗透．因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要．学生对推理证明的过程，开始可能只是模仿，但在逐渐地接触过程中，能最终理解证明的步骤和方法，并能完成有两步推理证明的填空．

本节内容的难点是理解平行线的性质与判定的区别，并能在推理中正确地应用它们．由于学生还没学习过命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本质区别和联系是什么，用的时候容易出错．在教学中，可让学生通过应用和讨论体会到，如果已知角的关系，推出两直线平行，就是平行线的判定；反之，如果由两直线平行，得出角的关系，就是平行线的性质．

2、教法建议

由上面的重点、难点分析可知，这节课也是对前面所学知识的复习和应用．要有一定的综合性，推理能力也有较大的提高．知识多，也有了一些难度．但考虑到学生刚接触几何，进度不可过快，尽量多创造一些学习、应用定理、公理的机会，帮助学生理解平行线的判定与性质．

(1)讲授新课

首先，提出本节课的研究问题：如果两直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系吗？探究实验活动还是从画平行线开始，得出两直线平行，同位角相等后，再推导证明出其它的两个性质．教师可以用“”、“”的推理证明形式板书证明过程，学生在理解推理证明的过程中，欣赏到数学的严谨的美．

(2)综合应用

理解平行线的判定和性质区别，并能在推理过程中正确地应用它们成为了教学难点．老师可以设计一些有两步推理的证明题，让学生填充理由．在应用知识的过程中，组织学生进行讨论，结合题目的已知和结论，让学生自己总结出判定和性质的区别，只有自己构造起的知识，才能真正地被灵活应用．

(3)适当总结

几何的学习，既可以培养学生的逻辑思维能力，，也可以培养学生分析问题，解决问题的能力．对于好的学生，可以引导他们总结如何学好几何．注意文字语言，图形语言，符号语言间的相互转化．对简单的题目，能做到想得明白，写得清楚，书写逐渐规范．

教学目标

1.使学生理解平行线的性质，能初步运用平行线的性质进行有关计算．

2.通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察－猜想－证明”的科学探索方法，培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力．

3.培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性．

教学重点：平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点．

教学难点（：正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点．

教学方法：开放式

教学过程

一、复习

1.请同学们先复习一下前面所学过的平行线的判定方法，并说出它们的已知和结论分别是什么？

2、把这三句话已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？

3、是不是原本正确的话，颠倒一下前后顺序，得到新的一句话，是否一定正确？试举例说明。

如、“若a=b，则a2=b2”是正确的，但“若a2=b2，则a=b”是错误的。又如“对顶角相等”是正确的。但“相等的角是对顶角”则是错误的。因此，原本正确的话将它倒过来说后，它不一定正确，此时它的正确与否要通过证明。

二、新课

1、我们先看刚才得到的第一句话“两直线平行，同位角相等”。先在请同学们画两条平行线，然后画几条直线和平行线相交，用量角器测量一下，它们产生的几组同位角是否相等？

上一节课，我们学习的是“同位角相等，两直线平行”，此时，两直线是否平行是未知的，要我们通过同位角是否相等来判定，即是用来判定两条直线是否平行的，故我们称之为“两直线平行的判定公理”。而这句话，是“两直线平行，同位角相等”是已知“平行”从而得到“同位角相等”，因为平行是作为已知条件，因此，我们把这句话称为“平行线的性质公理”，即：两条平行线被第三条线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。

2、现在我们来用这个性质公理，来证明另两句话的正确性。

想想看，“两直线平行，内错角相等”这句话有哪些已知条件，由哪些图形组成？

已知：如图，直线a∥b

求证：（1）∠1＝∠4；（2）∠1＋∠2＝180°

证明：a∥b（已知）

∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）

又∠3＝∠4（对顶角相等）

∠1＝∠4

（2）a∥b（已知）

∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）

又∠2＋∠3＝180°（邻补角的定义）

∠1＋∠2＝180°

思考：如何用（1）来证明（2）？

例1、如图，是梯形有上底的一部分，已经量得∠1＝115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？

解：梯形上下底互相平行

∠A与∠B互补，∠D与∠C互补

∠B＝180°－115°＝65°

∠C－180°－100°＝80°

答：梯形的另外两个角分别是65，80°

练习：P791、2、3

篇8

数学是思维的体操，因此，数学教师在教学中必须研究教材、研究学生、研究教法、研究学法。创设最佳思维情境，激发学生的学习兴趣，有计划、有目的地培养学生的发散思维。牛顿说过:“例子有时比定律更重要”。因此，精选典型习题，鼓励学生一题多解、一题多变，进行归纳、总结，是培养发散思维的重要方法。

求线段的比及比例线段的证明是平面几何重要内容之一，也是学生普遍感到棘手的问题。究其原因有二，其一：不知如何构造相似三角形；其二：不知如何添加平行线，构造平行线分线段成比例。下面结合一个例题谈谈具体做法。

一、一题多解，思维发散

让学生用已学过的知识从不同角度、不同方向，多方位观察，纵横联想，积极探索，大胆猜测，这是寻求解决问题的各种方案的集中表现。一题多解就是这种理论的具体化。因此一题多解对于调动学生学习数学的积极性、主动性，拓宽解题思路，培养学生的探索精神和发散思维能力有着重要的意义。通过各种方法的讨论和比较，可以达到择优弃劣，提高解题速度和质量的目的，有利于学生思维品质的发展。

例：已知，如图（1），B、E分别是DC和AB的中点， 延长DE交于点F，求 的值。

创设思维情境，引发学习动机，教师要精心设疑、激疑，从而转化为强烈的学习要求。求线段的比必须有相似三角形或平行线分线段，但和所在的三角形不相似，怎样添加辅助线，构造成比例线段呢？启发学生回忆:经常过线段的中点作平行线。

解法一：如图（1-1），作 交 于点 ，

是 的中点， ，又 ， ， 。

解法二：如图（1-2），作 交 于点 ， 是 的中点， ， 又 是 的中点， ， 。

解法三：如图（1-3），连 ，过点 作 分别交 于点 ， 是 的中点， 是 的中点，

，又 是 的中点， ， ， 。

解法四：如图（1-4），连 ，作 别交 的延长线于点 ，连

作 别交 于点 ， 是 的中点，

又 是 的中点， ，又易证 ，

， ， ， ，即 。

解法三：如图（1-3），作 交 于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， 。

解法四：如图（1-4），作 交 于点 ， 是 的中点， ，又 是 的中点， ， ，

展示思维过程，指导学生联想、探索、总结，指导学生在实践的基础上有所发现、有所突破、有所创新，这是发展发散思维的要求。引导学生及时总结这四种解法的共同之处:过线段的中点作平行线，构造出平行线分线段成比例定理的条件，且三角形中位线在每种解法中都发挥着巨大的贡献。如果不过中点，比如过不是中点的分 作平行线是否也能求解呢？

解法五：如图（1-5），作 交 于点 ， ， ， ， ， ， ， ，

解法六：如图（1-6），作 交 于点 ， ， ，又 ， ， ， ， ，

调动学生学习积极性，人人开动脑筋，个个发挥聪明才智，不仅达到提高解题能力的目的，而且把教学推向一个新的台阶。刚才过三个“分点”作平行线有种解决方案，那么过三个“端点”是否也有解决方案呢？引路指津，诱导思维。

解法七：如图（1-7），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ，

解法八：如图（1-8），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ， ， ，即 ， 解得

解法九：如图（1-9），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， ，

解法十：如图（1-10），作 交的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ，

解法十一：如图（1-11），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ，又 ， ， ，

解法十二：如图（1-12），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ，又 是 的中点， ， ， ， 。

如此一题多解，不仅开阔了学生的视野，提高了学习的兴趣，使学生的知识更灵活、更牢固，而且使学生的发散思维能力得到锻炼和培养。

二、一题多变，巩固发散

美国著名数学家G•波利亚曾说过：“一种想法使用过一次是一个技巧，经过多次使用，就可以成为一种方法”。一题多变即变式练习是数学中训练思维的常用手段之一，数学题目往往能进行改造、变换。如题目的多种叙述方式、交换条件和结论、削弱条件或加强条件等。因此，在例题的选讲中，不能仅仅满足于就题论题，应注意多角度、多途径、全方位地对例题进行分析和挖掘，对例题进行“一题多变”，探索例题的解法和解题规律。这样不但能以点串线、举一反三，有利于调动学生向学习的兴趣和积极性，从而将知识深化，而且能较好地培养学生的发散思维能力，防止思维僵化，提高解题能力。

变式1：例题中 、 、 它们各自被分割的两条线段之比现在都知道了，那么 与 的比值是多少？能求出了吗？

变式2：如果将例题中“ 为 的中点”改为 与 的比值是2，能否还有办法求得 与 的比值吗？

变式3：已知，如图(2)， ，求 的值。

上面变式1和变式2中的图形没变，只是比值变动而已;变式3的图形几乎一样，只是此处仅一个中点。下面的两个习题表面上看图形变化很大，研究后发现可以去掉图形中的某线段，解法就一样了。

变式4：已知，如图(3)， 中， 为 上一点， ， 是 的中点，求 的值。

变式5：已知，如图(4)， 中， ， 是 边上的高， 是 的中点， 的延长线交 于 ，求证

上面的五个题目都有十二种解法，由于篇幅所限，不再一一赘述。如此借题发挥，一题多变，以点串线，对培养学生由表及里、由此及彼的思维方法起到了触类旁通的效果，同时又巩固了发散思维。

篇9

2.1余角与补角(本文来源于：兔笨笨英语网 tooben )

1.×、×、×、×、×、√;2.(1)对顶角(2)余角(3)补角;3.d;4.110°、70°、110°;5.150°;6.60°;7.∠aoe、∠boc，∠aoe、∠boc，1对;8.90°9.30°;10.4对、7对;11.c;12.195°;13.(1)90°;(2)∠mod=150°,∠aoc=60°;14.(1)∠aod=121°;(2)∠aob=31°,∠doc=31°;(3)∠aob=∠doc;(4)成立;

四.405°.

2.2探索直线平行的条件(1)

1.d;2.d;3.a;4.a;5.d;6.64°;7.ad、bc，同位角相等，两直线平行;8、对顶角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行;9.be∥df(答案不);10.ab∥cd∥ef;11.略;12.fb∥ac，证明略.

四.a∥b,m∥n∥l.

2.2探索直线平行的条件(2)

1.ce、bd，同位角;bc、ac，同旁内角;ce、ac，内错角;2.bc∥de(答案不);3.平行，内错角相等，两直线平行;4.c;5.c;6.d;7.(1)∠bed，同位角相等，两直线平行;(2)∠dfc，内错角相等，两直线平行;(3)∠afd，同旁内角互补，两直线平行;(4)∠aed，同旁内角互补，两直线平行;8.b;9.c;10.b;11.c;12.平行，证明略;13.证明略;14.证明略;15.平行，证明略(提示：延长dc到h);

四.平行，提示：过e作ab的平行线.

2.3平行线的特征

1.110°;2.60°;3.55°;4.∠cgf，同位角相等，两直线平行，∠f，内错角相等，两直线平行，∠f，两直线平行，同旁内角互补;5.平行;6.①②④(答案不);7.3个 ;8.d;9.c;10.d;11.d;12.c;13.证明略;14.证明略;

四.平行，提示：过c作de的平行线，110°.

2.4用尺规作线段和角(1)

1.d;2.c;3.d;4.c;5.c;6.略;7.略;8.略;9.略;

四.(1)略(2)略(3)①a② .

4.4用尺规作线段和角(2)

1.b;2.d;3.略;4.略;5.略;6.略;7.(1)略;(2)略;(3)相等;8.略;9.略;10.略;

四.略.

1.143°;2.对顶角相等;3.∠acd、∠b;∠bdc、∠acb;∠acd;4.50°;5.65°;6.180°;7.50°、50°、130°;8.α+β-γ=180°;9.45°;10.∠aod、∠aoc;11.c;12.a;13.c;14.d;15.a;

16.d;17.d;18.c;19.d;20.c;21.证明略;22.平行，证明略;23.平行，证明略;24.证明略;

生活中的数据

3.1 认识百万分之一

1，1.73×10 ;2，0.000342 ; 3，4×10 ; 4，9×10 ; 5，c; 6，d;7，c ; 8，c; 9，c;10，(1)9.1×10 ; (2)7×10 ;(3)1.239×10 ;11， =10 ;10 个.

3.2 近似数和有效数字

1.(1)近似数;(2)近似数;(3)准确数;(4)近似数;(5)近似数;(6)近似数;(7)近似数;2.千分位;十分位;百分位;个位;百位;千位;3. 13.0， 0.25 , 3.49×104 , 7.4*104;4.4个, 3个, 4个, 3个, 2个, 3个;5. a;6、c;7. ;8. d ;9. a ;10. b;

11.有可能，因为近似数1.8×102cm是从范围大于等于1.75×102而小于1.85 ×102中得来的，有可能一个是1.75cm，而另一个是1.84cm，所以有可能相差9c

12. ×3.14×0.252×6=0.3925mm3≈4.0×10-10m3

13.因为考古一般只能测出一个大概的年限，考古学家说的80万年，只不过是一个近似数而已，管理员却把它看成是一个精确的数字，真是大错特错了.

四：1，小亮与小明的说法都不正确.3498精确到千位的近似数是3×103

3.3 世界新生儿图

1，(1)24% ;(2)200m以下 ;(3)8.2%;

2，(1)59×2.0=118(万盒);

(2)因为50×1.0=50(万盒)，59×2.0=118(万盒)，80×1.5=120 (万盒)，所以该地区盒饭销量的年份是2000年，这一年的年销量是120万盒;

(3) =96(万盒);

答案：这三年中该地区每年平均销售盒饭96万盒.

单元综合测试

一、填空

1、70 2、锐角 3、60° 4、135° 5、115°、115°

6、3 7、80° 8、551 9、4对 10、40°

11、46° 12、3个 13、4对2对4对

二、选择

14、D 15、D 16、B 17 B 18、B19、A 20、C

21、AD//BC

∠A=∠ABF∠A=∠C∠C=∠ABF

BA∥DC

22、32. 5°

23、提示：列方程求解得∠1=42°∠DAC=12°

24、平行

25、130°

26、BDAC，EFAC

BD∥EF

∠5=∠FEC

∠1=∠FEC

∠1=∠5

GD∥BC

∠ADG=∠C

27、CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°

∠BCD+∠CDA=180°

AD∥CB

CBAB

篇10

审题，就是弄清题意，弄清题中已知条件的意义，弄清已知条件和未知条件、条件与求证的关系。它是几何运算证明的前提。一般来说，审题分为：1.读题，通过读题，知道题里讲的是什么事情，使学生在头脑中对题目所叙述的内容有个具体的印象。2.认清题中已知条件和要求证的问题。3.分析题中的已知条件和求证的关系，也就是知道由已知推出什么结果与求证问题联系密切，找出求证计算的简单方法。由于学生的特点，证明计算时往往不注意审题，特别是容易忽略题中的已知条件，有时搞不明白已知条件与证明或计算的关系，导致不会解答。针对这个问题，在几何证明或计算教学过程中要注意审题的训练，培养学生的思维能力。例如：已知平行四边形的周长为64 cm，对边距离分别是3 cm和5 cm，搞不懂与问题的关系。因此只能根据题意，设平行四边形的一边为X，一边为Y，列出X+Y=64÷2，而对于距离分别为3 cm和5 cm这一条件，就束手无策。针对这一问题，我就要求学生根据题意画出图形，启发引导学生，平行四边形的面积怎样计算？他们很快回答底乘以高。然后让学生讨论已知条件中的第二个条件与问题的关系，根据平行四边形的面积不变，能找出怎样的相等关系。经讨论后同学们很快利用面积相等找出了3X=5Y。个别同学还根据题目中的已知条件，利用平行四边形的周长相等，设面积为S，列出了（X+Y）×2=64。这样通过认真审题，找到了解答的方法，培养学生的思维能力。

二、运用实验观察方法，培养学生的思维能力

例如：教学平行线等分线段定理的内容时，我应用了实验、观察发法进行教学。课前布置学生每人找一张横格纸，要求横格纸上的横线是互相平行的，而且每相邻的距离都相等。上课时，让同学们把备好的纸拿出来。首先指导观察备好的特点（一组平行线）。其次是指导实验，实验的步骤是：1.让学生用直尺画直线L垂直横格线，然后量一下，每相邻两条平行线的距离，分组讨论计量的结果。2.让学生用直尺画直线过L截横格线，猜想每相邻两条平行线被截线分成的线段的长度有什么特点。3.让学生把实验、观察猜想的结论用自己的语言叙述。通过以上三步的实验，最后我把平行线等分线段定理展示出来并和同学们一起讨论用学习过的平行四边形和三角形的理论进行推导定理。在这一过程中，我重视实验 、观察的教学方法。在整个过程中，我只充当了组织者和引导者，组织指导学生动手做，动脑观察，认真思考，这种学习新知识的方法，使学生对要学习的新知识有了感性的认识，符合辩证唯物主义的基本观点，发展了学生的思维能力，激发了学生的学习兴趣。

三、注重学生的自主学习，提高学生的思维能力