数学概念教学模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇数学概念教学，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

数学是研究现实空间形式和数量关系的科学。著名数学家华罗庚说：“学数学，概念是第一位的。”由此可见，在数学教学中使学生形成正确完整的概念，是教师在教学中的首要任务，也是提高教学质量的关键，更是培养学生能力、发展学生智力的重要途径。

引入新概念的教学过程是揭示概念的产生过程。就是说要揭示认识过程的质变的飞跃。教师要设法帮助学生完成由情感认识到理性认识的过程，为此应提供丰富的概念发生的实际背景和基础概念产生的材料。数学有逐级抽象的特点，前一级是后一级抽象的直观背景材料，直观背景材料不仅是指实物、模型、教具等而且还指已经熟悉的概念事例等。有时还利用有趣的、发人深省的问题引入概念，所以说恰当地引入概念是搞好概念教学的先决条件。

一、直观形象从事例出发

初中生是以形象思维为主要思维形式过渡。初中生虽具有一定抽象思维能力，但对某些思维概念的理解上仍存在很大困难。这样在概念教学中就应遵循学生的认识规律，采取直观形象的方法进行教学，从实际出发用实际例子或实物模型进行介绍，使学生对所研究的对象由感性到理性逐步认识它的本质属性，建立起新概念。这些实际事物，往往可以就地取材，以学生较熟悉的事物为例最好。

如，在介绍相似概念时，可以举出物体和它缩小的照片，实际地形和地图，这些照片和地图在形状上是大小不同的，从而导出相似形的概念。

这样先用实例引导，再逐步深入所掌握的概念是符合认识规律的，也易给学生留下较深刻的印象，同时有助于让学生体会到学习新概念的目标和意义，从而激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。

二、以旧引新，纵横联系，以已有的概念为辅垫，促进知识的正迁移

我们知道，数学是一门逻辑性很强的学科，教学概念的前后联系很紧密。新概念都是在已有的概念基础上发展起来的。新概念的形成在学生的认识活动中都不是孤立的，它反映的实际内容有的是学生已经接触的，有的是学生已经学过的旧知识的综合提高。因此在讲授新概念前应首先复习与新概念紧密联系的概念，沟通新旧概念间的联系，做到以旧引新。另外，在学生对新概念有了一定的了解之后，还需引导他们把新概念和旧概念区分开来，应着重指出新概念的本质属性，讲清新概念的内涵和外延，这样才能巩固旧概念，综合新概念，促进知识的正迁移。

譬如，在教学质数和合数的概念时，可以首先复习约数和倍数的概念，然后让学生找出某些数的全部约数。

1的约数为1；

5的约数为1、5；

7的约数为1、7；

9的约数为1、3、9；

12的约数为1、2、3、4、6、12；

……

通过对以上各约数的个数进行观察、分析、比较，引导学生把它们分为三类：只有一个约数的（1），含两个约数的（5、7），含三个或三个以上的（9、12……），在这个基础上引出质数和合数的概念，根据质数和合数的意义来对照“1”这个数，使学生明白“1”这个数既不是质数也不是合数。总结出，自然数可分为“1”“质数”和“合数”三类。学生学习了质数、合数后，常常误把质数和奇数，合数和偶数混淆起来，为此我们可以在复习这四个概念的基础上，让学生把1～20各数按要求填写在两个相应的圈中。

认真完成这个练习后，学生可以清楚地看到，并不是所有奇数都是质数，也不是所有偶数都是合数，从而对两组概念的外延有了较深刻的认识。

所以，教师在进行概念教学中应注意以旧引新，把学生已经掌握的概念作为铺垫引入，再引入新概念，使学生对新概念无陌生之感，也便于理解和掌握新概念。

以上仅是对教师在概念教学中所提出的一点拙见，但我们知道，教学不只是单纯地使学生学得知识，更重要的是让他们自己会学知识，所以在学习新概念时，学生应该怎样来要求自己呢？

篇2

一、数学概念教学

（一）数学教育中概念教学的意义及存在的问题

在数学教育中发展学生的能力，历来是数学教育改革的重大课题与核心问题.数学概念是数学的基础，若忽视了数学概念这一基础知识的教学，那么对学生能力的培养及其它一切教学要求和目的都将是一句空话.许多学生的数学成绩差往往都要归结于对数学概念学习的不重视或不理解，概念不明确必然会影响到法则、性质、定理、证明、运算等一系列知识的理解和运用.

在数学教学中，往往遇见这样的事情，若提问学生概念时，则能对答如流，但一遇到题，就出现这样的困惑：要么无从下手，要么得不到合理的结果.这是概念学习中常遇见的一种现象――假性理解.数学概念学习中的假性理解介于正确理解和错误理解之间，对概念只是简单的记忆，虽能复述，但却没有抓住概念的本质特征，也未深刻理解更没有形成应用的能力.我们认为，造成学生“假性理解”的原因，也就是我们目前概念教学中的问题所在。

二、数学概念的教学中应遵循的原则

（1）科学性与思想性统一原则

教师传授的知识，引导学生发现的共性应当是正确、可靠的，引用的事实应当是有根据的，不可瞎编乱造；提出的定义合乎情理，没有歧义；同时要讲清概念中的每一个字、词的真实含义及引申含义；做出的论断应逻辑性强、正确无误.

（2）启发性原则

在教学中教师要视学生为主体，注重调动学生学习的积极性，引导学生独立思考，积极探索，主动自觉地学习.自觉地掌握科学文化知识和提高分析问题、解决问题的能力.教师要辅助、引导和启发学生，逐步培养学生独立思考、自主学习的能力，培养良好的学习习惯.这也是本论文重点探索的教学原则.

（3）循序渐进的原则

在数学概念教学中要按照学生认识发展的顺序进行，使学生系统地掌握基础概念和基本技能，形成严密的逻辑思维能力.新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善.有些概念内容复杂，外延广泛，很难在教学中一步到位，需要分成若干个层次，循序渐进，逐步加深和提高.

三、常见数学概念教学方法

要重视概念的引入过程，新课标指出：数学概念中要引导学生从具体的实例中抽象出数学概念.因此引入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础，揭示概念形成的实际背景.要创设好的问题情境，帮助学生由材料感知到理性认识的过渡，并引导学生用背景材料与原有认知结构建立实质性的联系.

1利用学生已有的知识和经验引入概念

数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，教学中要充分利用学生头脑中已有的知识与相关的经验来引入概念.例如：在讲圆的概念时，教师可以让学生讲述生活中有哪些东西是圆形的，以及它们之间的共同点是什么，这样一步步将学生的具体思维引导到抽象思维上，从而使学生更容易理解概念.

2结合数学史，以数学故事引入数学概念

在讲授新的数学概念的时候，结合数学内容适当的引入一些数学史，数学家的故事，或者讲一些生动的数学典故，往往能很好的激发学生的学习兴趣.例如：在讲圆的概念时，可以讲述我国古代数学家刘徽、祖冲之父子为圆周率所做的贡献，以及他们的一些小故事.教师只有通过展示大量生动的背景材料，才易于学生分析、比较、抽象、概括，明确概念的本质属性.

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关键词：数学概念概念教学阶段数学思维层次分析

概念是客观事物本质属性、特征在人们头脑中的反映。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。在初中数学教学中，加强概念的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。在新一轮课改理念的引领下，结合我的教学实践，就数学概念教学的有关问题与大家共同探讨。

一、新旧理念下数学概念教学模式的层次分析。

传统的数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行。通常分为

以下几个步骤：

1、揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；

2、对概念的进行特殊分类，揭示概念的外延；

3、巩固概念，利用概念解决的定义进行简单的识别活动；

4、概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其他概念间的

联系。

这种教学过程简明，使学生可以比较直接地学习概念，节省时间，被称为是“学生获得概念的最基本方式”。但是，仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念是远远不够的。数学概念具有过程——对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。

美国教育心理学家布鲁纳曾指出：“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命。”就数学概念教学而言，素质教育提倡的是为理解而教。新课改理念下的数学概念教学要经过四个阶段：

1、活动阶段。

2、探究阶段。

3、对象阶段。

4、图式阶段。

以上四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。其中的“活

动”阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；“探究”阶段是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、概括过程，学生在头脑对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；“对象”阶段是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体的对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动；“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式

二、新课改理念下的概念与法则的教学案例。

1、代数式概念

代数式（字母表示数）概念一直是学生学习代数过程中的难点，有很多学生

学过后只能记住代数式的形式特征，不能理解字母表示数的意义。代数式的本质在于将求知数和数字可以像数一样进行运算。认识这一点，需要有以下四个层次。

（1）通过操作活动，理解具体的代数式

问题一：让学生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并请填写好下表：

正方形个数

1

2

3

4

……

100

……

n

火柴棒根数

问题二：有一些矩形，长是宽的3倍，请填写下表：

宽

1

4

7.5

11

长

周长

面积

通过以上两个问题，让学生初步体会“同类意义”的数表示的各种关系。

（2）探究阶段，体验代数式中过程。

针对活动阶段的情况，可提出一些问题让学生讨论探究：

①问题一中3n+1，与具体的数有什么样的关系？

②把各具体字母表示的式子作为一个整体，具有什么样的特征和意义？（需

经反复体验、反思、抽象代数式特征：一种运算关系；字母表示一类数等）。

这一阶段还包括列代数式和对代数式求值，可设计下题让学生进一步体会代

数式的特征：

①每包书有12册，n包书有________册。

②温度由t℃下降2℃后是_________℃。

③一个正方形的边长是x，那么它的面积是_________。

④如果买x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自来水费（每立方米b元），共花去_______________元钱？

（3）对象阶段，对代数式的形式化表述。

这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分

解及解方程等运算。学生在进行运算中就意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数，代数式本身体现了一种运算结构关系，而不只是运算过程。这一阶段，学生必须理解字母的意义，识别代数式。

（4）图式阶段，建立综合的心理图式。

通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该建立起如下的代数式的心理表

征：具体的实例、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义，并能加以运用。

2、有理数加法法则

（1）运算操作：计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种

不同情形：

(+3)+(+2)——+5(-2)+(-1)——-3

(+3)+(-2)——+1(-3)+(+2)——-1

(+3)+0——+3…………

（其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。

（2）探究规律：把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义。

（3）形成对象：把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式：

有理数+有理数=①符号②数值

这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。

（4）形成图式：有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系。

三、两种教学模式下学生学习方式的对比分析。

与新课改理念相比，传统的教学模式下学生的学习缺少“活动”阶段，对概念的形成过程没有充分体验，学生数学概念的建立靠教师代替快体验、快抽象。反映出的情况有：

（1）过快的抽象过程使得只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。例如学生学习有理数运算很长时间，还经常出现符号运算错误，这就是学生对有理数运算没有理解而造成的。

（2）由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使是能跟随教师进行有意义学习的学生其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。例如学生学习了代数式的概念，经常出现a+a+a×2=3a×2,25x-4=21x,5yz-5z=y等错误，这是因为学生没有进行必要的“活动”，使“探究”的体验不完整需用造成的。又如在求解方程中出现(x+2)2=1=x2+4x+4=1=……等错误，说明学生还停留于运算过程层面，对方程对象的结构特征不理解。

（3）学生建构概念的图式层面是学习的最高阶段，在现有教学环境下很多学生难以达到这一层面。例如，为什么要学习解方程？解方程的本质是什么？

四、新课改理念下数学概念教学的策略。

新课改理念下的数学概念教学是由学生活动、探究到对象、图式的学习过程，体现了数学知识形成的规律性。为此，我结合自己的教学实践对数学概念教学采取以下策略：

（1）教师要把“教”建立在学生“学”的活动中。

为了使学生建构完整的数学知识，首先要设计学生的学习活动。这需要教师创设问题情境，设计时要注意以下几个方面：①能揭示数学知识的现实背景和形成过程；②适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；③适当数量的问题，使学生有充足活动体验；④注意趣味性，活动形式可以多种多样，引起全体学生的学习兴趣。

（2）体现数学知识形成中的数学思维方法。

数学思维方法是知识产生的灵魂，把握数学知识形成中的数学思维方法，是学生展开思维、建构概念的主线。学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。另外，要设计能引起学生反思的提问，如“你的结果是什么？”“你是怎样得出的？”“你为什么怎样做？”……使学生能顺利完成由“活动”到“探究”，“探究”到“对象”的过渡。

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数学概念是一类数学对象（数和形）的本质属性在人的思维中的反映（抽象思维的产物），是这种对象所独有的，而为其他对象所没有的性质.对象的概念是用文词表达出来的，即定义.基于概念本身的复杂性、抽象性，学生对概念的理解和掌握往往感到困难，因此必须重视和加强数学概念的教学.

一、在体验数学概念产生的过程中认识概念

数学概念的引入，应从实际出发，创设情境，提出问题.通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性.

如极限概念在《数学分析》中极其重要.在“极限”概念的教学中，教师先让学生体会庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的思想内涵，写出数列，想象无限分割下去，其值几乎是0；我们的生活体验有：在晴朗的夜空，遥望星星，见到的是微小的闪烁的“小白点”，而实际上，很多星星比我们的地球大许多倍，我们见到的那束光也许走了多少光年，星星离我们实在是太遥远了；李白的诗“孤帆远影碧空尽”，杜甫的诗“会当凌绝顶，一览众山小”；运动员体力消耗到透支，都给我们以极限的感觉.再让学生举例，把自己对极限概念的一些认识融入讨论之中.至于严格定义或说精确定义，我们利用几何意义来分析，作出图像，使函数值f（x）与确定值A有多接近就有多接近，无论给出多么小的ε，总可以找到相应的δ，当x■-δ

二、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念

一个新概念的引入，无疑是对已有概念的继承、发展和完善.有些概念由于内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步拓展和延伸.如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：初中阶段（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；高中阶段（3）任意角的三角函数的定义，等等.可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓是重中之重，是整个“三角”部分的奠基石，贯穿于与“三角”有关的各部分内容中，并起着关键作用，很多题目是可以利用定义求解的.三角函数的性质符号：一全二正弦，三切四余弦；几十个诱导公式；同角三角函数的各种关系式，等等，都可以利用定义得到.所以重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，对于学生理解概念显得更有必要.常言道：磨刀不误砍柴工.事实上，也正是如此，对概念的内涵与外延的把握，不但不会耽误例题的讲解，相反会相得益彰.

三、类比邻近概念，引入新概念

任何数学概念必定有与之相关的邻近概念，因此教学中，要以学生已掌握了的知识为基础，从学生的邻近概念出发，引导学生探求新旧概念之间的区别和联系.这样有助于学生掌握概念之间的相互联系，促进学生对数学理论整体性与严密性的把握.

例如在学习连续概念时，就是利用极限定义的：设函数f（x）在点x■的某个邻域内有定义，若■f（x）=f（x■），则称函数f（x）在点x■处连续，否则称点x■是f（x）的间断点.分析定义可知，函数f（x）在点x■处连续，必须同时满足以下三个条件：①函数f（x）在点x■的某邻域内有定义，②■f（x）存在，③这个极限等于函数值 f（x■）.从正反两面分析理解概念，还可以利用变式加以理解：■ f（x）=f（x■）？圳■Δy=0，自变量有一个微小的改变，函数值也有一个微小的改变，不是显著的改变，教师作出几个函数图像，帮助学生加以理解.

再如以方程的解为坐标的点都在直线上，继而让学生观察图像为曲线的抛物线y=x■和正弦函数y=sinx的图像，辨析它们是否也满足这一点.通过直观对比、观察，启发学生概括曲线和方程相互表示的条件.最后教师引导学生用类比直线的方程和方程的直线的方法给这类数与形和谐统一的曲线和方程下个定义.当然，对于数学概念的教学，乃至所有的课堂教学，教师始终应更注重引导学生自主探索，发现、总结、归纳，从而形成概念.

四、反思学习过的概念

如■（x≥0）是二次根式，学生往往不注意条件，被开方数非负，教师提问：■是二次根式吗？学生立即答是.可是只有在x≥■时，被开方数非负.尤其在化简二次根式时，要特别注意.再如幂函数y=x■与指数函数y=a■形式很像，它们的区别到底是什么？学生很难辨析.在讲微积分起始课函数一节时，只有极个别的同学能答对.教师启发学生看自变量所在的位置，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数自变量在指数位置上，是两种完全不一样的函数.

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”.因此在概念形成过程中，要引导学生通过对具体事物的感知，自主观察分析、抽象概括，自觉获取事物的本质属性和规律，从而形成新的概念.这样学生在获得概念的同时，还培养了抽象概括能力和创新精神，同时使学生从被动地“听”发展成为主动地获取和体验数学概念，自主建构知识的过程.这样才能充分体现以学生为本，尊重学生主体地位的教学理念，同时促进学生学习方式的转变和优化，最后内化为自身的知识.从而发展思维能力，培养创新意识，促进知识向能力转化，有效提高教学质量.

参考文献：

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数学概念又具有抽象与具体的双重性。数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的。以“矩形”概念为例，现实世界中没见过抽象的矩形，而只能见到形形的具体的矩形。从这个意义上说，数学概念“脱离”了现实。由于数学中使用了形式化、符号化的语言，是数学概念离现实更远，即抽象程度更高。但同时，正因为抽象程度愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使得数学概念应用愈广泛。但不管怎么抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为其具体内容。且数学概念是数学命题、数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。所以它既是臭抽象的又是具体的。

数学概念还具有逻辑联系性。数学中大多数概念都是在原始概念（原名）的基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。其他学科均没有数学中诸概念那样具有如此精确的内涵和如此丰富、严谨的逻辑联系。

数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别是像我校这样普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此抓好概念教学是提高中学数学教学质量的带有根本性意义的一环。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件以及必要保障。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识。这样久而久之，从而严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。比如有的同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，有的同学认为函数与直线有两个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能有正确、合理、迅速地进行运算，论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。

二．数学概念的教学形式

1．注重概念的本源、概念产生的基础，体验数学概念形成过程

每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，使学生处于被动地位，使思维呈依赖，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。

”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。 转贴于

比如，在立体几何中异面直线距离的概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂直。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到距离这个概念的本质属性。

2．挖掘概念的内涵与外延，理解概念

新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：

（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；

（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；

（3）任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出：1、三角函数的值在各个象限的符号；2、三角函数线； 3、同角三角函数的基本关系式； 4、三角函数的图象与性质；5、三角函数的诱导公式等。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。

3．寻找新旧概念之间联系，掌握概念

数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量，平面角与空间角，方程与不等式，映射与函数等等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。再如，函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来；另一种高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图象、表格、公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。当然，对于函数概念真正的认识和理解是不容易的，要经历一个多次接触的较长的过程。

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关键词 数学概念；教学

恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系。”数学概念是整个数学知识体系的基础，是进行数学推理、判断、证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。数学概念的教学既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心，其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延，是学生思考问题、推理证明有所依据，能有创见地解决问题。可以说掌握数学概念是学好数学的关键。因此，数学概念的教学也相应称为数学教学的重要环节。高中数学教学实践表明数学概念是数学中既不易教也不易学的内容。在数学教学中要自始至终抓住数学概念的本质属性及其内部联系，就要了解概念的体系，关注概念的引入，剖析概念的本质，掌握概念的符号，重视概念的巩固。

一、了解概念的体系

数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁而形成的学科体系。人们认识事物的本质特征通常不可能一次性孤立完成。事实上，学生“获得的知识，如果没有完满的结构把他联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命”。因此，数学概念的教学，要弄清楚学习这个概念需要怎样的基础，分析这个概念以后有何用处，它的地位和作用如何。这样，在讲授时就能主次分明，轻重得当，既复习巩固已学过的概念，又为后继概念作恰当的孕伏。例如，“绝对值”是贯穿整个中学数学的重要概念，先是在有理数中引入；接着在算术根中出现了，把绝对值得概念拓展到实数范围；最后在复数中，绝对值的概念扩展成了复数的模

二、关注概念的引入

传统的概念教学将获得知识结论作为主要目标，忽视了学生在知识形成过程中的重要作用，使学生的学习行为更多的表现为机械记忆，而不是理性分析。根据建构主义学习理论学习应是认知主体的内部心理过程，学生是信息加工的主体。高中数学新课标中提出了“过程与方法”这一教学目标维度，在这一维度下，新课程对学生的学习要求从原来的“知识性”向“过程性”转变。概念的引入是进行概念教学的第一步，这一步走得如何，对学好概念有重要的作用。

1.提供现实原型。著名教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟。”数学教学中，教师应立足教材，着眼学生的发展，把握核心知识内容，有效开展自主探究活动，向学生展示本质，是学生理解数学概念的形成过程。形成准确概念的首要条件，是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料。因此，在教学中要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，观察有关的实物、图示、模型，在具有充分的感性认识的基础上引入概念。例如在“异面直线”概念的教学中，教师应先展示概念产生的背景，如在粉笔盒这样一个长方体模型中，当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线称之为异面直线，接着教师可提出问题“什么是异面直线呢？”可让学生进行讨论，尝试叙述，再进行反复修改可得出异面直线的简明、准确而严谨的定义“我们把不在任何一个平面上的两条直线称为异面直线”。再让学生找出教室中的异面直线，再以平面为衬托作出异面直线的图，这样学生对异面直线的概念就有了一个较为明确的认识，同时也让学生经历了概念发生发展过程的体验。

2.从数学内在需要引入概念。例如，在实数范围内，方程x2+1=0没有解，为了使它有解，就引入了一个新数i，i满足i2=-1，它和实数一起可以按照通常的四则运算法则，进行计算。由此再引入复数的概念。于是方程x2+1=0就有解了。

3.用类比的方法引入概念。类比不仅是思维的一种重要形式，而且是引入新概念的一种重要方法。任何数学概念必定有与之相关的最近概念，因此教学中要以学生已掌握了的知识为基础，引导学生探求新旧概念之间的区别与联系，通过类比教学引出新概念。例如，二面角可类比平面角引入，平面与平面的位置关系可类比平面上直线与直线的位置关系引入，平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则概念的引入可以与物理学科中的位移的合成、力的合成进行类比引入等。

三、剖析概念的本质

概念在人们头脑中形成，仅是人们对概念认识的开始，对概念认识的深化必须从概念的内涵与外延上作深入的剖析。概念的内涵是指反映在概念中的对象的本质特征。概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象。内涵是概念的质的方面，即概念所反映的事物是什么样子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的适用范围，它说明概念反映的是哪些实物。以三角函数的概念为例，对六个基本三角函数的定义，应抓住其中一个，如正弦函数sinα=y，可这样进行分析：正弦函数的值本质上是一个“比值”，它是角α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值，因此它是一个数值；指出由于｜y｜≤r，所以这个比值不超过1，这个比值与点在角的终边上的位置无关，这可用相似三角形的原理来说明；这个比值的大小，随着α的变化而变化，当α取某个确定的值，比值也有唯一确定的值与之相对应。如此，以函数概念为基本线索，从中找出了自变量、函数以及对应法则，从而对正弦函数概念的理解就比较深刻了。经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，指出角的终边上的任意一点P（x，y）一经确定，就涉及x，y，r这三个量，任取其中两个量组成比值，有且仅有六个。因此，基本三角函数就有六个，从而对三角函数的外延，就揭示的非常清楚了。

四、掌握概念的符号

用数学符号表示数学概念既是数学的特点又是数学的优点。由于数学概念本身就十分抽象，加上用数学符号表示，就更加抽象了，因而在数学概念教学中使学生真正掌握概念符号的意义是十分重要的。例如，学生往往将正弦函数的符号“sin”看成一个数，从而得出如下的错误等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教学中，要始终给形式符号以具体的内容，时刻提醒学生注意符号的意义及使用符号的条件。

五、重视概念的巩固

初步形成的概念，巩固程度差，易受相近概念的干扰，适时利用变式训练有助于纠正学生的思维偏差。概念巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念后，及时进行复述，以加深对概念的印象。其次应重视在发展中巩固。第三是通过概念的应用来巩固。概念的应用要注意递进的过程，即由初步的，简单的应用，逐步发展到较复杂的应用。要引导学生在判断、推理、证明中运用概念，在日常生活、生产实践中运用概念，以加深对概念的理解，达到巩固概念的目的。例如，教学对数的概念后，可以通过以下四类练习题予以巩固：

通过这些练习，可以使学生逐步学会运用对数概念进行判断、推理和证明。在运用的过程中，加深对对数概念的理解。

人类的认识过程是一个特殊的心理过程，对于数学概念的理解和掌握，智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学中要面向全体学生出发，从不同的角度，设计不同的方法，使学生对概念作辩证的分析，进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别，帮助学生掌握概念的内涵与外延；通过变式或变式图形，深化对概念的理解；通过新旧概念的对比，分析概念的矛盾运动，抓住概念之间的区别与联系来形成正确的概念。只有让学生深刻理解并掌握了概念，才能更好的帮助学生认识数学，进一步发展学生的数学思维，提高学生的理解能力。

参考文献

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中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0065

概念是最基本的思维形式。数学中的命题，都是由概念构成的，数学中的推理和证明，又是由命题构成的。因此，数学概念教学，是整个数学教学的重要环节。正确地理解数学概念，是掌握数学知识的前提，可见概念的重要性。初中阶段尤其是七年级，概念较多，怎样组织教学，才能使学生更好地掌握呢？下面，笔者就结合自己在概念教学中的一些尝试谈几点认识。

一、用归纳思维的方法引入概念

归纳是逐个研究某类事物而发现一般规律的思维过程，是人们认识事物、理解事物本质和掌握知识所不可缺少的。简单地说，归纳也就是从特殊到一般的过程，因此在已有知识基础上可用归纳法引出一般性概念。例如，在讲正负数概念时，可以从学生熟知的两个实例：温度与海拔高度引入，比0℃高5℃记作5℃，比0℃低5℃记作℃，比海平面高8848米，记作8848米，比海平面低155米记作米。由这两个实例很自然地把大于0的数叫做正数，把加“-”号的数叫做负数。这样引入正、负数，不仅有利于学生正确使用正、负数表示具有相反意义的量，而且还帮助学生理解有理数的大小性质。这种用归纳思维引入概念的方法符合学生的认识规律，有利于学生对概念的理解和掌握。

二、用变式教学加深对概念的理解，深挖概念

初中数学中需要学习的概念很多，因为内容相近致使学生在学习中容易发生混淆，而变式教学对学生学习数学知识、理解概念的本质特征、提高教学效果有现实意义。

例如：在学习一元二次方程的概念：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程”时，笔者设计了一些针对这个概念的几个变式练习题。

例题：下列方程中，哪些是一元二次方程？

①10x2=9 ②x-2=0 ③2x2+3x-1=0 ④（x-1）（x+1）=x+x2

⑤t2+2t-1=0 ⑥ax2+bx+c=0 ⑦■-■=0

变式1：方程3xk+2-3x+5=0是关于x的一元二次方程，则k=

变式2：若关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一个根是0，则a的值是

通过以上的的变式训练，能够逐渐加深学生对一元二次方程的概念的理解，从而对一元二次方程概念所反映的本质特征有一个清晰的认识。

因此，通过相应的变式教学能够帮助学生抓住事物的本质特征，排除概念的无关特征，达到去伪存真的目的。在教学过程中，教师有意识地引导学生从“变化的过程”中l现“不变”的本质，从“不变”中寻找规律，以“不变”应“万变”，能够激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学创新思维。

三、巧用方法，激发兴趣，实现概念升华

为了帮助学生理解和掌握较抽象的概念，教师应采取多举实例，演示教具，绘制图形及运用通俗生动形象而富有感染力的语言等手段，给学生提供丰富的感性材料，使抽象问题具体化。这样，以恰当的演示直观材料给学生鲜明具体的表象，有利于学生思维能力的发展，有利于具体形象思维逐步向抽象思维的过渡，从而激发了学生的学习兴趣。因为兴趣往往是学生能力的最初显露，“是一些隐藏能力的信号”。教师的任务就在于发现这些能力，然后用以上方法就能有助于学生对定理、公式、概念等的理解与记忆，激发学生的学习主动性，为学生顺利掌握概念创造有利条件，达到化难为易、突破难点、掌握概念的目的。如在讲有理数这个概念时，由于正整数、零、负整数、正分数、负分数的全体都是有理数，这个概念的外延较大，并且六年级的学生抽象思维虽已有很大的发展，但经常还需要具体的感性经验作支持，基于这个特点可以把有理数比喻成一棵大树，把它的组成分别看成树叉和树根，如图：

这样，鲜明生动的形象比喻，容易吸引学生注意，激发学习热情，促进知识的理解与巩固。右图中教师只给出部分枝干，其余让学生自己动手完成，为培养学生动手实践能力奠定了基础，还激发了学生借助直观的形象进行广泛的联想，从而开拓了丰富的思维形象，发展了深刻的抽象思维以实现概念的升华。

四、用已定义概念类比得出新概念

数学中有些概念的内涵有相似之处，容易造成学生学习新概念时，常常受到与其相似或类同的旧知识的干扰。由于旧知识在学生头脑中已形成牢固的思维定式，在与之相近的新概念学习中很容易发生学习障碍。所以，在这类概念教学中，我们要充分运用分析、对比或类比的方法，引导学生全方位、多角度、多层次地认识新概念，使新概念的内涵突出地显示出来，划清“形似质异”或“形异质同”的新旧概念的界限，以利于形成深刻而清晰的认识，明了它们的区别与联系，从而得出新的概念。由于学生归纳总结的能力有限，有时很难独立完成对新旧概念的辨别与分析，这时教师可针对教材内容和学生特点设计问题，帮助他们实现新旧概念的过渡与衔接，形成概念学习的正迁移。如在通过等式概念类比得到不等式概念时，笔者通过下面三步逐渐引导学生掌握概念。

第一步：1. 什么是等式？2. 等式中“=”两侧的代数式能否交换？3. “=”是否有方向性？这样就复习巩固了等式的概念和性质。

第二步：再通过天平称物重的两个实例得到两个不等式和例举的几个如7>5，3+4

第三步：类比总结出不等式的概念的同时，分清了不等式与等式的异同点：①等式用“=”连接，不等式用不等号连接。②“=”没有方向性，不等号具有方向性，因而不等号两侧不可能相互交换。

通过此种类比的方法，有利于提高学生归纳和分析问题的能力，又不会因问题太难或太简单而失去学习兴趣。这样，学生便能很好地掌握这类内容的结构特征及特点。

五、注重实际应用概念，对概念进行升华

学习数学概念的目的，就是用于实践。因此，要让学生通过实际操作掌握概念、升华概念。概念的获得是由个别到一般，概念的应用则是从一般到个别。学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化、具体化，而且能使学生对概念的理解更全面、更深刻。

1. 多角度考查分析概念

例如：对一次函数概念的掌握，可通过下列练习：

①如果y=（m+3）x-5是关于x的一次函数，则m ；

②如果y=（m+3）x+4x-5是关于x的一次函数，则m ；

③如果y=（m+3）xm2-8+4x-5是P于x的一次函数，则m=

；

学生通过以上训练，对一次函数的概念及解析式一定会理解。

2. 对于容易混淆的概念做比较训练

例如，学生学习了矩形、菱形、正方形的概念以后，可做以下练习：

下列命题正确的是：

①四条边相等，并且四个角也相等的四边形是正方形。

②四个角相等，并且对角线互相垂直的四边形是正方形。

③对角线互相垂直平分的四边形是正方形。

④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

⑤对角线互相垂直平分，且相等的四边形是正方形。

⑥对角线互相垂直，且相等的平行四边形是正方形。

⑦有一个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。

⑧有三个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。

⑨有一个角是直角，且一组邻边相等的平行四边形是正方形。

⑩有一个角是直角的菱形是正方形。

教师在设计练习的时候，对相似概念一定要抓住它们的联系和区别，通过练习使学生真正掌握它们的判定方法和相互关系。

3. 对个别概念，要从产生的根源考查

例如“分式方程的增根”的概念。可从产生的根源考查，教学时设计下列练习，让学生体会增根的概念：

①分式方程 =1的根是 。

②如果分式方程 = 有增根，则增根一定是 。

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节[1];数学概念学习APOS理论模型认为学生学习数学概念进行心理建构的第一阶段就是操作或活动阶段[2]，即在一定背景下引入概念;在教科书的演变过程中，因式分解内容也从讲解式发展到启发式，尤其注重从实际的例子引入，以便学生理解[3]。不难看到，概念的背景和引入是概念教学非常重要的起步。至此，笔者将因式分解概念的背景介绍和引入作为备课的重点之一，让学生通过这节课体会因式分解概念学习的必要性和重要性。

一、基于概念背景的因式分解教学设计

为更好地引入因式分解这一概念的背景，笔者进行了如下的教学设计片段：

二、基于概念背景的因式分解思考

笔者将课程的引入设计为以上三重思考，通过一些例子来渗透因式分解这一概念的必要性和重要性，让学生在一个大的背景下学习因式分解概念。

1. 因式分解与学科内容的逻辑关系

因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系。因式分解是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具。因此，“思考1”的设计是想让学生体会到因式分解和后续学习的密切关系。笔者选择从分式化简的角度来引导学生思考，学生通过和很容易想到了要想化简，只需要将分子 写成乘积的形式。

2. 因式分解与实际应用

“思考2”展示了长方形草坪和长方体纸盒的设计问题：当长方形草坪的面积一定时，如何设计它的长和宽，当长方体包装盒的体积一定时，如何设计它的长、宽、高。尽管这样的设计不唯一，但学生通过12=4×3和ab=a b也容易想到将a2-b2写成两个式子乘积的形式，将a3+2a2b+ab2写成三个式子乘积的形式，这样的问题让学生切实感受到生活中的一些实际问题也需要用到“将某个式子写成乘积的形式”，同时让学生感受因式分解有其几何背景。

3. 因式分解与思维训练

在评课活动中，老师们曾提到，“思考1”和“思考2”的设计是在他们意料之中的，但“思考3”的设计在他们意料之外。有老师问到，这样的问题学生在学完本课之后能解决吗？笔者认为“思考3”的设计目的并不是让学生一定会对n4+4进行因式分解，而是想让学生感受因式分解在数学史中的地位和作用，同时用这样一个数学史的问题引起学生的兴趣和思考，带着这个问题学完本章，在章节结束时顺其自然地解决这个问题。在实际授课过程中，笔者感受到学生对“思考1”和“思考2”的回答很流畅，而对“思考3”的回答就没那么顺畅了。笔者提示学生从具体的数入手计算，学生们行动起来，并把得到的数进行质因数分解，说明它是合数，也由此想到了是否能把n4+4也写成一些式子乘积的形式。

三、小结

至此，学生已经对“把某个式子写成乘积形式”这一变形的印象非常深刻了，此时提出因式分解的概念便水到渠成。后续教学过程就是围绕因式分解与整式乘法是互逆变形的关系归纳概括因式分解的概念，然后辨析概念，最后讲解了一种因式分解的基本方法―提公因式法。在本课的最后，笔者又回到了课程起始的三个思考，学生恍然大悟，要解决这三个问题，其实就是对a2-b2、a3+2a2b+ab2和n4+4进行因式分解。

整堂课下来，学生给笔者的感觉是他们多多少少体会到了学习因式分解概念的必要性，概念的产生也没有那么突兀。这使笔者感到这样的思考和备课是很有意义的。回顾已有学者、研究者对数学概念教学的研究，我们看到，概念的背景和引入虽然只是概念教学的一部分，但它却是概念教学非常重要的起步。在数学教科书的演变过程中，我们洞察到因式分解概念教学越来越注重从实际例子引入，从大的背景出发，启发学生思考，使概念在课堂中的产生顺理成章。

概念的背景也许并不止这些，但只要教师在教学时或多或少地设计一些有关概念背景的教学并持之以恒，就能对学生的学习和教师的成长大有裨益。

参考文献：

[1]李善良. 数学概念学习研究综述[J]. 数学教育学报， 2001（8）：19-22.

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数学中的论证是由一连串推理组成的，严谨的推理来源于正确的判断，而正确的判断是依据概念和应用概念进行的。因此，数学概念的教学在数学教学中有着极其重要的地位，是提高数学教学质量的有力杠杆。我们知道，正确地理解数学概念是掌握知识的前提，是培养学生逻辑思维能力必不可少的重要条件。但是，如何进行数学概念的教学，怎样传授概念教学的方法，历来是数学教学十分关注的热点之一。根据自己多年来的本人教学体会，认为教好数学概念教学必须做到“五抓”:

一、抓概念的形成，正确理解概念

在教学一个新的概念时，首先要注意它是如何形成的，是如何从具体的事物中抽象出来的，此概念的内涵（就是概念所反映的本质属性的总和）是什么，它的外延（就是具有概念所反映的本质的所有对象的集合）是什么，只有这样，才能使学生正确理解概念.例如：“函数”这一概念定义为：“如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x)”.从定义可以看出，函数的概念的本质属性有：变量x的取值范围（定义域），对应法则f，每一个确定的x对应唯一确定的y值（y值的集合叫值域）.如果联系到我们前面学过的集合A到集合B的单值对应（也叫映射），应当发现，函数实质上就是定义域A，值域C以及A到C的对应法则f三部分组成的一个特殊的映射.

再如，讲授数列｛an｝的极限是A（即an=A），采用从直观描述，再由定性到定量，由浅入深地进行。（1）数列｛an｝的极限是A的描述是：当自然数n无限增大时，数列｛an｝无限趋近A.（2）什么叫数列｛an｝无限趋于A，就是| an-A|无限趋向于0，即当自然数n无限增大时，| an-A|无限趋近于0.（3）什么叫|an-A|无限趋近于0？就是|an-A|能任意小，即对预先指定的任意小的正数ε恒成立，通过对极限由表及里、由浅入深的认识，数列｛an｝的极限A可表述为“无论预先指定多么小的一正数ε，都能在数列中找到一项an，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε（即当n>N时, | an-A|

二、抓概念的要点，分层次掌握概念

数学概念的教学，要注意对概念逐字逐句加以推敲分析，善于剖析每一概念的层次要点，多层次、全方位地启发学生理解概念.例如：“奇函数”的概念，课本上是这样写的：“对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x).那么函数f(x)叫做奇函数.“那么，这个概念的内涵是什么呢？通过深“深抠”，使同学们认识到：（1）对奇函数来讲， x与-x都应该在定义域中，即它们的定义域关于原点必须是对称的，这是一个隐含条件；（2）对定义域内任意一个x，都有f(-x)= -f(x),这就是说它的自变量，因变量之间有这样的一种特定的对应规律，即对于自变量的两个相反值x与-x，它们对应的函数值f(x)与f(-x)恰好是相反数；（3）这种特定的对应规律，反映在作图上，必然是函数的图象关于原点对称.这样一“抠”就使学生清楚地认识到奇函数的三条性质是从它的定义中引伸出来的，定义和性质是源与流的关系，因与果的关系.两者之间不是孤立的、割裂的，这样一步一步地使学生正确理解函数的奇偶性是函数定义域上的一个整体，而不是局部的性质.使学生深刻理解概念理论体系和理论发展中的科学价值，从系统上，本质上正确掌握概念。

三、抓关键，找本质强化概念

概念是对客观事物本质属性的概括和反映，要正确理解某一概念，必须引导学生全力找出概念的本质，把概念的本质属性向学生讲清楚，切忌让学生死记硬背。例如：“椭圆的定义”，课本上是这样定义的：“平面内到两定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹叫做椭圆。”通常表示为椭圆就是集合；P={M| |MF1|+|MF2|=2a}不少同学死记这个公式，认为只要形式上符合这个公式，则M点的轨迹就是椭圆，认为满足方程|z-i|+|z+i|=2的点z的轨迹是椭圆，事实上，点z的轨迹是不存在的，因为定义要求动点到两定点的距离之和大于两定点的距离，即2a>|F1F2|，之所以发生此类的错误，主要原因是学生没有掌握概念的本质属性。

再如，集合的概念，课本上是这样说的：“像这样，把具有某种属性的一些对象，看作一个整体，便形成一个集合。”通过典型的例题分析，引导学生发现集合的本质属性是：集合的范围、集合的特征、集合的对象”。而形成集合的元素必须具备以下三点：（1）集合里的元素是确定的，这就是说，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，二者必居其一。（2）集合里的元素是互异的。这就是说，一个集合里的元素都是彼此不同的，即在一个集合里元素不能重复出现如方程（x-1）2=0的实数解的集合里只有一个元素1。（3）集合里的元素是无序的，在一个集合里，通常不考虑它的元素之间的顺序，也就是说，集合的元素哪个在前，哪个在后是无关紧要的，只有让学生掌握了概念的本质属性，才能不出现象“花园里好看的花”、“较大的数”等组成的集合的错误。

四、抓变式、举反例深化概念

数学概念大都是从正面阐述的，从而导至教师讲解时，机械地讲授数学概念，如果在教学中，在学生正面认识概念的基础上引导他们从反面或侧面去剖析，那么就可以深化对概念的理解。例如，在讲授等比数列的定义后，可以向学生提问：“是否存在公比为0的等比数列？”通过分析讨论知道，这种数列是不存在的。而且学生可以得到一个新的发现――等比数列中的项是不能为0的，至此，学生对等比数列的概念加深了了解。

“曲线和方程”的对应关系比较抽象，学生不易理解，教学中，可先通过实例，使学生弄清曲线和方程的内在联系，再归纳出曲线和方程的一般关系。

（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点都适合这个条件而毫无例外（纯粹性）.

（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明适合条件的所有点都在曲线而毫无遗漏（完备性）

只有具备了上述两个条件，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”，为了使学生正确理解曲线和方程间的对应关系，可举实例从反面加以说明：

过点（2，0）平行于y轴的直线L与方程|x|=2之间的关系，如图1直线L上的点只具备条件（1）而不具备条件（2），因此，方程|x|=2不是直线L的方程，直线L也不完全是方程| x|=2的直线，它只是方程|x|=2所表示的图形(如图2)的一部分。

例2、到两坐标轴距离相等的点轨迹与方程y=x之间的关系，只具备条件（2），而不具备条件（1），如图3因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线L1和L2，直线L1上点的坐标都是方程y=x的解，但直线L2上的点（除原点外）的坐标就不是方程y=x是直线L1的方程，方程y=x不是所求的轨迹方程，通过上面两例，使学生对曲线和方程概念的理解等到了深化。

在教学中，寻求分式的多变形式，逐步培养学生灵活多变的思维能力，同时也加深了对概念的理解，如对数tg(α+β)= (tgα+tgβ)/(1- tgαtgβ)可变为tgα+tgβ=tg(α+β)・(1- tgαtgβ)也可变为（1- tgαtgβ）=(tgα+tgβ)/ tg(α+β)等。

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概念的引入是概念教学的第一步。成功的教学经验启迪着每位教师，数学教学中若能把“纯粹”的数学知识与学生在日常生活的、熟悉的、具体的材料相联系，这样就有利于抽象的数学概念具体化、形象化，便于学生的理解，同时也能激发学生的思维和探索新知的欲望。

二、在生活实例中理解概念

当学生已经获得比较丰富的感性知识，基本掌握了概念的含义后，为了丰富知识的外延促进理解，教师要及时引导学生，利用一些具体的生活实例，通过比较、分析、综合、概括等思维活动和学习手段，来剔除知识的非本质属性，抽取其基本属性，帮助学生构建自己正确、清晰的知识框架。

三、以“实际问题”为练习目标

学生头脑中的数学知识，不能只停留在背诵、记忆概念的基础上，还要通过必要的训练和练习，让学生在解决实际问题的过程中进一步消化、吸收，以达到牢固、灵活地掌握所学知识的目的。为此在这方面教师要潜心研究教材教法，从生活实际中寻找练习的目标，要让学生知道数学知识的来龙去脉，使学生对数学产生一种亲切感。

四、让“生活”成为学生展示知识的舞台

教师不仅要教会学生怎样获取知识，更要让他们能用所掌握的知识去创造性地解决一些实际问题，从而使学生的聪明才智得以充分发挥，个性在此得到张扬，所以教师在教学的过程中，应选择一些“生活”问题，让学习用今天学到的知识来创造性地解决。