数学解决问题的概念模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇数学解决问题的概念，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

学习概念，掌握概念的目的是在于应用。每一个概念就是一个信息源，它闪烁着问题的“条件”和“结论”，是思维的启发器，是解题中不可缺少的链条。要学好数学这门学科，正确地理解数学中的各类概念是关键，几乎在每一个新知识的起始课，学生最先接触的必然是数学概念。概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的，也是学习其他数学知识的基础，因此，上好概念课对学生的后续学习以及数学素质发展的培养都具有重要的意义。

一、小学数学概念教学中存在的一些问题

1、情境创设泛滥：现在的数学课堂流行一种做法，即无论什么课，开始大都要“创设情境”。这种做法与随着近年来的教学理论发展创设情境的课堂导入方法渐被普遍运用，但数学课堂的情境创设存在着一些误区。《课标》指出：“让数学回归生活”的提法并不妥当。在对待数学与生活的关系上，我们倡导贴近生活，但并不赞成“回归生活”，因为现实生活毕竟存在知识零碎、条件隐蔽、科学性缺失等不足。

2、教学目标定位不准确：教学目标制定的是否科学合理，直接影响到课堂教学效果，一节课目标不明确，重点不突出，教师却在枝节上大讲特讲，造成无意义的知识重复和遗漏，是导致课堂教学低效高耗的一个直接原因。

3、重视了概念的理解，但往往关注枝节：一些教师虽然重视了概念的理解，但往往关注枝节，从概念的枝节上提问题，忽视对概念的本质理解。例如，关于“角”的认识，许多教师都在角的大小与角的两边长短有无关系上做文章，花很大精力让学生讨论。实际上，教材中或教师、学生所画的角，不论角的两边画多长，本质上都是射线，是无限长的。区分这些角，并非看角的两边长短，而是看这两条边的位置关系，看这两条边的张口大小，这才是对角概念的本质把握。

二、概念课教学的优化策略

1、概念的引入：概念的引入：概念的引入是数学概念教学的第一步，直接关系到学生对概念的理解和掌握程度。具体方法如下：

①通过实例引入：指把生活实例引入课堂，充分利用我们所熟知的这些活生生的实例，适当地引入我们的课堂，使之成为充满生气的一堂课。让同学们从熟悉的生活中寻找问题，激发起好奇欲，进而能主动的解决问题。数学概念是现实生活中某一数量关系和空间形式的本质属性在人的思维中的反映，是在人类历史发展过程中，逐步形成和发展的，因此在教学中要尽可能多的用学生熟悉的实例进行引入。

②通过复习旧知引入：用原有的知识基础引入新知识，为新知作好了铺垫，因为新旧知识之间既有相互贯通的地方。通过复习旧知引入新知识既有利于复习旧知识，又能培养学生思维的广阔性，同时还能引领学生经历新知识产生的过程。

③通过概念产生的背景引入：通过介绍概念的形成时当时的社会背景和历史情况，这样学生会能更好的接受了解它、认知它，自行的将概念加上标签。学生了解了一些历史知识和学习新概念的必要性，另外也为使学生最好地理解、把握概念的实质垫定了基础，提高了学生的学习兴趣。

④通过联想引入：联想引入是人们在观察的基础上，由当前的某一事物回忆起或想到另一有关事物的思维引入。虽然数学知识的表达形式随着内涵的不断丰富和发展日益多样，但数学知识间的内在联系、基本规律和所隐含的思想方法却是相通的，这就使学生的大脑能将两个看似互不相关的知识联系起来，使学生的思维像展翅的雄鹰在知识的天空中翱翔。

2、概念的建立：概念的建立是概念教学的中心环节。感知和经验只是入门的导向，对概念本质属性的揭示才能成为判断的依据。

①利用变式：所谓变式，是指对数学概念、定义、性质、定理、公式、法则等的变化以及题目的不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变，借此可以帮助学生准确形成概念。

②利用对比辨析：对于一些易于混淆的概念加以对比辨析练习，使学生弄明白临近的不同概念间的相同点与不同点，加深其间的关系和内在联系的认识。

③利用反面衬托：反面衬托即举出概念的反例，可直接举反例说明，也可从正反两方面分析，是进行概念教学的有效方法。学生通过接触这些与概念相关的正反例子，能进一步加深对概念的理解。

篇2

一、存在的困惑

（一）数学概念中存在的主要困惑

1. 死记硬背。由于概念本身的抽象性，给学习增加了难度，进而不少同学干脆采取“死记硬背”的方式，由于没有经历概念形成过程，因而抽象、概括、归纳思维能力也无法得到发展及提高。

2. 孤立地学习概念。不少同学学习概念时，总是孤立地看待概念，无法将不同概念形成体系，不能在概念系统中学习概念。

3. 概念与应用脱节。在概念学习中有两种错误倾向，其一，部分同学为学习概念而学习，缺少应用环节；其二，一部分同学恰恰相反，对在解题过程中涉及的概念很少关注相应概念。这两种错误的本质是一样的，就是漠视了概念的应用环节，想当然地以为概念与应用是两个不同层面的内容。

（二）问题解决中存在的主要困惑

1. 基础知识不扎实。学生对概念意义混淆、受多标准量、思维定式、解题模式、数量关系等因素的干扰，阻碍了问题的解决。

2. 数学思想方法掌握得不好。教材中的不少问题解决，由于严重脱离学生生活实际，学生既无相关的生活经验或模型可供参照，更无法透彻把握这类问题的结构，这给他们的学习带来很大困难。

3. 问题解决心理障碍。有些问题解决在情节叙述中，条件叙述较为婉转含蓄，就会造成一种掩盖本质的假象，使非本质的信号对大脑皮层刺激过强，容易给学生产生错觉，以致作出错误的判断。

4. 对问题解决不感兴趣，学生阅历浅，缺少生活实践，阅读能力差，不能准确理解题意等原因。

二、教学方法和手段

（一）在概念教学中教师应注重以下教学方法和手段

1. 结合生活，从实际中进行概念引入。要从生活实际出发，深化小学生的概念基础， 引申出适合小学生可以理解的概念。

2. 利用直观教学法，补充并深化数学概念。利用直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。

3. 化抽象为具体，强化数学概念。在教学中有很多数量关系都是从具体生活中表现出来的，运用恰当的方式进行具体与抽象的连贯。

4. 对于太难理解的概念就可以暂时不给定义或者采用阶段逐步渗透的办法。

5. 纠正错误的学习概念方法。及时纠正错误的学习概念的方法，提高学生学习的兴趣和效率。

6. 归纳整理概念，形成系统。学习一个阶段以后，引导学生把学过的概念进行归类整理，明确概念间的联系与区别，从而使学生掌握完整的概念体系。

（二）问题解决教学中所采用的教学方法和手段

1. 与计算相结合的解决问题。从学生初步学习加减乘除的计算开始，课本上就出现了以各类计算为主的解决问题。这类题目需要学生通过对整数、小数、分数中加、减、乘、除意义的充分理解来进行，而不能单纯作为巩固计算的题目。

2. 以常见数量关系为基础解决问题。要使学生对数量关系真正理解和掌握，在教学引导中必须密切注意学生的思维特点，选择接近学生实际生活的、或熟悉的事物作为问题解决的内容，指导他们解题时尽量利用直观教具或创设情境，通过自己的操作在脑中形成表象，在具体的题目、具体的数量中发现一些带有共同特征的东西，并引导和帮助学生自己尝试概括出一些数量关系。

3. 利用数学思想策略解决问题。解决问题的策略是在解决问题的活动中形成和积累的，以有条理地整理信息、发现数量之间的联系作为教学策略的切入口，通过整理信息，明确和把握数量关系，形成解决问题的思路：

（1）列表的策略。这个策略适用于信息复杂，信息之间关系模糊的问题，把信息以表格形式列出来，容易观察和理顺问题条件，发现解题方法。

（2）画图的策略。画图是解决问题时经常使用的策略，这种策略能直观地显示题意，有条理地表示数量，便于发现数量之间的关系，从而形成解题思路。

（3）一一列举的策略。即把事情发生的各种可能逐个罗列，并用某种形式进行整理，从而找到问题的答案。

（4）假设、替换的策略。对条件关系复杂、没有直接的方法解答的问题，可尝试按问题中的条件去假设、替换，得到一个答案，然后把答案代入问题中去验证。

（5）转化的策略。转化是指把一个数学问题变更为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略，所以，转化是一种常见的、极其重要的解决实际问题的方法。

三、将概念和问题有效结合起来

1. 利用生活中的问题为背景，用多种形式引出概念，激活学生概念建构的兴趣。

2. 在概念的建构中形成问题解决的思路。

3. 重视概念在生活中的应用，加深拓展概念，数学教学离不开解决问题，在教学过程中引导学生正确灵活地运用数学概念解题，是培养学生解题技能的一个有效途径。

数学概念是解决一切数学问题的基础，是问题解决的钥匙，在概念教学中渗透问题解决可以加深巩固对概念的理解和灵活应用。在问题解决中，利用好数学概念是问题解决的关键，也是检验学生掌握数学概念的最好方式。

【参考文献】

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数学概念是数学基础知识和基本技能的核心，是学生理解、运用数学知识和提高数学能力的基础. 在数学学习中，数学概念的学习是至关重要的. 教学中，教师应创设必要的问题情境，引导学生从实际问题抽象出概念和模型，使用不同的方式解释概念、理解概念，使学生在自主观察的基础上，通过合作交流，了解同伴对概念的理解，以此丰富自己的思考方法，反思自己的思考过程，并最终通过反思深化对概念的理解，形成完整的概念. 在概念学习过程中，学生潜移默化地懂得怎样去反思，反思什么，形成借助经验对自身进行相对直觉的反思能力，学会数学地思考问题.

如：在“圆柱和球的认识”教学中，让学生主动去触摸圆柱和球，感知它们的特征，说说他们所发现的圆柱和球的特征，再通过小组交流，将自己对圆柱和球原有的感知特征和同学的意见进行结合、梳理和归类，从而理解了比较抽象的数学概念.

又如：数轴概念的引入，老师可以拿出直尺、杆秤等实物让学生观察，用多媒体展示笔直公路上的里程碑，然后追问这些工具的共同特征和用途，最后追问如何直观地表示有理数，自然地引导学生得出数轴的概念. 教学中，引导学生透过现象看本质，达到触类旁通的目的，培养了思维的深刻性和灵活性.

二、解决问题中引导反思——掌握数学方法

数学的学习离不开解决问题. 学生在解决问题时，往往缺乏对解题过程的反思，没有对解决问题进行提炼和概括，导致学生解决问题过程单一、思路狭窄、方法陈旧、思路混乱、主次不分，解决问题的质量不高. 因而，教学中，教师在解决问题过程中要善于将自己内隐活动的调节、控制过程展示出来，在解决问题过程中不断地引导学生进行反思，整理思维过程，确定解决问题的关键，概括解决问题的方法，使解决问题的过程更加清晰，思维更具条理化、精确化和概括化，使学生思维逐渐向开端、灵活、精细和新颖的方向发展. 这样能充分发挥学生的主体性，提高学生的概括能力，使学生形成一个系统性强，相互联系的数学认知结构.

如：“图形的旋转”一课的教学，可以设计这样一个活动：请你将圆规的两脚并拢，然后固定其中的一脚不动，慢慢张开圆规的另一脚，观察此脚及其端点的位置变化规律. 接着追问这是什么变换？又如何定义旋转的？用图形应该如何表示？学生独立操作以后和小组内的同学比一比，看看谁的作图最规范，最能体现变换过程中的特征，最后由小组代表交流旋转的概念，图形的画法和旋转的性质.

三、问题解决后引导反思——提炼数学思想

数学思想方法是数学的灵魂，是学科“四基”的重要组成部分. 数学教学绝不仅仅是数学知识的学习，更要注重数学思想方法的渗透. 在平时的学习过程中，学生总是根据问题的具体情境来决定解题的方法，这种方法是受具体情境制约的，如果不对它进行提炼、概括，那么它的适用范围就有局限性，不易产生迁移. 这就要求教师在问题解决后，适时引导学生进行反思，提炼数学思想方法，并逐步形成反思习惯和反思能力.

在例题教学时，教师应把练习过程和练习后的反思放在同等重要的地位上，引导学生有目的地通过反思积累解题技巧、归纳解题规律、提炼解题思想和方法，这样，学生就会逐渐地养成题后反思的习惯了，不知不觉提高了思维的主动性和积极性. 教师应鼓励学生在学习过程中，加强思维策略上的回顾总结，分析具体解答中包含的数学基本方法，并对具体的方法进行再加工，从中提炼出应用范围广泛的数学思想. 如：在进行解直角三角形中“应用举例”的例题教学时，教师认真设计了5道例题，引导学生对5道例题的所有解题过程进行反思，让学生们围绕着这些例题求解过程中的共同点进行讨论和交流. 通过反思交流，很快地形成了结论，同学们普遍认识到5道例题都采用了同一种解题思维方式，那就是将实际问题几何化，然后通过三角函数的知识又将几何问题方程化，5道例题的解题过程，本质上就是数学的转化思想. 实践表明，经常性地引导学生对解题思路进行类比反思，他们就容易归纳出同类问题的解题模式，形成解题策略，触类旁通，举一反三，进而提高解题能力.

四、温故学习中引导反思——培养数学能力

学生在初学基础知识时往往不求甚解，粗心大意，只满足于一知半解，这就容易造成对概念的错误理解，特别是对于一些难点知识，更容易产生认识上的误区. 反思作为一种思维活动，其目的就是要消除困惑，解决问题. 只有学会反思，学生才能不断矫正错误，深刻理解和正确掌握知识. 作为教师，应当结合学生出现的错误，精心设计教学情境，帮助学生从基本概念、基础知识的角度来剖析错误的原因，给学生一个对基本概念、基础知识理解巩固的机会，使学生在纠错的过程中掌握基础知识，理解基本概念，指导学生自行检验结果，进一步回顾以往所学知识，探索知识之间的规律，发现知识点的联系，突破知识理解和问题解决中的诸多误区，形成较强的数学能力.

综上可以看出，让学生亲历反思学习过程，形成反思习惯，对学生数学学习有着重要作用. 教师应以培养学生终身学习的愿望和能力为原则，积极引导学生开展反思性学习，将学习实践与反思融为一体，在数学学习过程中逐步形成反思意识和反思能力，切实使反思成为学生自我成长的一条有效途径.

反思能力是学生持续发展所必备的素质之一，学会反思，是学习方法的本质和核心. 对数学学习而言，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识理解的过程，他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，通过自己的主体活动，去构建对数学的理解. 这里的主体活动主要包括独立思考、与他人交流和反思等. 因而，在教学中培养学生数学反思能力，对学生学习数学知识、掌握数学方法以及提高数学素养起着非常重要的作用. 下面谈谈自己在教学中培养学生反思能力的一些做法和体会：

一、概念教学中引导反思——学会数学地思考

数学概念是数学基础知识和基本技能的核心，是学生理解、运用数学知识和提高数学能力的基础. 在数学学习中，数学概念的学习是至关重要的. 教学中，教师应创设必要的问题情境，引导学生从实际问题抽象出概念和模型，使用不同的方式解释概念、理解概念，使学生在自主观察的基础上，通过合作交流，了解同伴对概念的理解，以此丰富自己的思考方法，反思自己的思考过程，并最终通过反思深化对概念的理解，形成完整的概念. 在概念学习过程中，学生潜移默化地懂得怎样去反思，反思什么，形成借助经验对自身进行相对直觉的反思能力，学会数学地思考问题.

如：在“圆柱和球的认识”教学中，让学生主动去触摸圆柱和球，感知它们的特征，说说他们所发现的圆柱和球的特征，再通过小组交流，将自己对圆柱和球原有的感知特征和同学的意见进行结合、梳理和归类，从而理解了比较抽象的数学概念.

又如：数轴概念的引入，老师可以拿出直尺、杆秤等实物让学生观察，用多媒体展示笔直公路上的里程碑，然后追问这些工具的共同特征和用途，最后追问如何直观地表示有理数，自然地引导学生得出数轴的概念. 教学中，引导学生透过现象看本质，达到触类旁通的目的，培养了思维的深刻性和灵活性.

二、解决问题中引导反思——掌握数学方法

数学的学习离不开解决问题. 学生在解决问题时，往往缺乏对解题过程的反思，没有对解决问题进行提炼和概括，导致学生解决问题过程单一、思路狭窄、方法陈旧、思路混乱、主次不分，解决问题的质量不高. 因而，教学中，教师在解决问题过程中要善于将自己内隐活动的调节、控制过程展示出来，在解决问题过程中不断地引导学生进行反思，整理思维过程，确定解决问题的关键，概括解决问题的方法，使解决问题的过程更加清晰，思维更具条理化、精确化和概括化，使学生思维逐渐向开端、灵活、精细和新颖的方向发展. 这样能充分发挥学生的主体性，提高学生的概括能力，使学生形成一个系统性强，相互联系的数学认知结构.

如：“图形的旋转”一课的教学，可以设计这样一个活动：请你将圆规的两脚并拢，然后固定其中的一脚不动，慢慢张开圆规的另一脚，观察此脚及其端点的位置变化规律. 接着追问这是什么变换？又如何定义旋转的？用图形应该如何表示？学生独立操作以后和小组内的同学比一比，看看谁的作图最规范，最能体现变换过程中的特征，最后由小组代表交流旋转的概念，图形的画法和旋转的性质.

三、问题解决后引导反思——提炼数学思想

数学思想方法是数学的灵魂，是学科“四基”的重要组成部分. 数学教学绝不仅仅是数学知识的学习，更要注重数学思想方法的渗透. 在平时的学习过程中，学生总是根据问题的具体情境来决定解题的方法，这种方法是受具体情境制约的，如果不对它进行提炼、概括，那么它的适用范围就有局限性，不易产生迁移. 这就要求教师在问题解决后，适时引导学生进行反思，提炼数学思想方法，并逐步形成反思习惯和反思能力.

在例题教学时，教师应把练习过程和练习后的反思放在同等重要的地位上，引导学生有目的地通过反思积累解题技巧、归纳解题规律、提炼解题思想和方法，这样，学生就会逐渐地养成题后反思的习惯了，不知不觉提高了思维的主动性和积极性. 教师应鼓励学生在学习过程中，加强思维策略上的回顾总结，分析具体解答中包含的数学基本方法，并对具体的方法进行再加工，从中提炼出应用范围广泛的数学思想. 如：在进行解直角三角形中“应用举例”的例题教学时，教师认真设计了5道例题，引导学生对5道例题的所有解题过程进行反思，让学生们围绕着这些例题求解过程中的共同点进行讨论和交流. 通过反思交流，很快地形成了结论，同学们普遍认识到5道例题都采用了同一种解题思维方式，那就是将实际问题几何化，然后通过三角函数的知识又将几何问题方程化，5道例题的解题过程，本质上就是数学的转化思想. 实践表明，经常性地引导学生对解题思路进行类比反思，他们就容易归纳出同类问题的解题模式，形成解题策略，触类旁通，举一反三，进而提高解题能力.

四、温故学习中引导反思——培养数学能力

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在高中数学教学中，由于数学知识高度的抽象性和严密的逻辑性，要让使学生真正理解并掌握数学知识，进而领悟数学思想方法，要经历一个“再创造”的过程，经历一个“提出问题”、“解决问题”的过程。高中数学问题解决教学模式能够促进学生掌握的数学概念与技能性知识，还可以提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。 

高中数学问题解决教学模式使学生通过问题解决，特别是具有实际意义的问题充分认识数学的意义，并逐步树立起学好数学的信心，培养学生学习的主动性、创造性，提高学生问题解决的能力。 

一、高中数学问题解决教学模式的理论依据 

建构主义的数学学习观认为：数学学习不是对于教师所传授的知识的被动地接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动的建构活动，是学习者以自己的方式根据已有的经验对新知识加以选择、转换、储存和应用，主动地建构内部心理表征的过程。 

基于“学习是知识建构”的学习，能提供认知工具、蕴涵丰富资源、鼓励学习者通过与环境的互动建构个人意义的“学习环境的创设”成为与“学习是知识建构”的学习相对应的教学。问题解决教学模式中学习环境的创设关注的不再是教师应该以什么方式最有效地传递信息并让信息为学生所理解，而是如何优化学习环境中蕴涵的丰富资源以便为学习者提供丰富的“给养”，实现知识建构学习。学生提出问题、解决问题的过程就是识别问题、分析问题、解决问题的过程。学习者在解决问题的过程中自然习得的不仅是相应的概念、技能，还对蕴涵这些概念、技能的知识情境有了深刻的认识。 

建构主义学习理论认为，知识主要不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境下，借助外部帮助，利用必要的学习资源，通过建构的方式获得的。问题解决教学模式能加强学生学习的主动性、社会性和情境性，让学生从情境中发现数学问题、提出数学问题，自主探索解决数学问题。问题解决教学模式能够使学生在数学学习中主动参与、合作学习和在情境中学习。 

二、高中数学问题解决教学模式的原则 

淡化形式，注重实效的原则。数学问题解决教学模式应重视问题解决过程中非形式化内容的教学，淡化过分重视形式化内容的教学的倾向。不让学生死记硬背数学概念的条条款款，对数学概念、符号的理解及其运用上，充分认识数学概念产生的实际背景。理解问题是怎样提出的，概念是如何形成的。 

创设情境，主动学习的原则。数学问题解决教学模式应充分了解学生已有的认知水平和实际生活经验，创设一种能构成学生认知冲突、激发学生学习兴趣的问题情境。然后在课堂教学中，充分运用围绕教学问题所设计的教学环节，引导学生进入学习情景，产生迫切学习心理倾向后，主动获取知识，培养能力和发展技能。 

突出过程，激励探索原则。数学问题解决教学模式应讲清数学知识产生的背景、形成过程和实际应用及其意义，在解决问题的过程中，应鼓励学生在弄清问题的题意后，大胆进行类比、联想、猜想，并验证结论的正确性。 

联系实际，注重实践的原则。数学问题解决教学模式应让学生日常生活中一些熟悉的实例走进课堂，让学生知道数学就在我们身边，它与生活息息相关。引导学生用所学过的数学知识解决一些简单的实际问题，逐渐培养学生用数学的意识。 

三、高中数学问题解决教学策略 

高中数学问题解决教学中的问题来自两个方面：现实社会生产和生活实际，数学学科本身，即“问题可以是现实的或纯数学的”，高中数学教学中应力求采用或设计出优秀的数学问题。高中数学问题解决教学策略：创设问题情境、提出问题、表征问题、探索解决问题、反思总结等。 

创设问题情境的目的在于利用学生对疑难问题的好奇心，追求解决新问题的迫切感和成就感，激起他们进一步学习的兴趣。教学中创设问题情境，把需要学生掌握的部分数学概念、技能蕴涵在真实、复杂的问题情境中，学生在解决真实、复杂问题的过程中体验数学概念、法则、技能是如何作为工具有助于解决问题的，从而加深对数学概念、法则、技能的理解。 

笔者在分段函数教学中创设以下问题情境，某市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km（含3km），收费7元；行程超过3km但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km部分按1.5元/km收费，行程超过10km时，超过10km部分按2元/km收费，求： 

（1）试写出车费（元）与行车里程（km）之间的函数关系式； 

（2）若乘客乘出租车行车里程为12km，需付多少车费？ 

乘坐出租车这个问题情景学生都很熟悉，教学中把学生分成若干小组。解决基本数学问题的教学，其目的在于充分发挥学生的个性，引导学生获得解决问题的各种思想和方法，培养学生的创造力，推动学生的数学知识和能力水平的提高。让学生自己提出相关的问题，分析问题的实质，通过小组的分析讨论，探索解决问题的方法，各小组间进行交流反馈，最后总结出解决这个问题的方案。 

解：（1）y=7 ，010 

=7 ，010 

当x=12时，y=2×12-2.5=21.5 

出租车车费问题的解决让学生深刻理解分段函数这个概念的内涵，加深对分段函数理解。 

在等差数列的前和公式教学中创设以下问题情境，在万达影城中有个放映厅共有20排座位，从第二排起每排比前一排多2个座位，已知第一排有20个座位，问这个电影院共有多少个座位？学生看到求电影的座位数时，提出了各种解决办法，有一排一排去数的，有把每一排看第一排的座位数20，再加上和第一排的差额，还有第一排加最后一排等于第二排加上最后第二排，依此类推。 

解法1：电影院每排的座位数构成一个等差数列 

答：这个电影院共有780个座位。 

高中数学问题解决教学模式要让学生综合运用已具有的数学基础知识、基本技能和能力，创造性地解决来自数学内部或实际生活和生产实际中的新问题。 

解决基本的数学问题的教学，目的在于充分发挥学生的个性，引导学生获得解决问题的各种思想和方法，培养学生的创造力，推动学生的数学知识和能力水平的提高。学生通过问题解决建构性的、协商性的学习中，获得的不仅是具有情境脉络的知识，而且培养了在日常生活中善于提出问题、发现问题的能力，以及利用所学知识解决真实生活中问题的能力，为终身学习能力的形成奠定了一定的基础。 

高中数学问题解决教学模式不仅能促进学生掌握数学概念知识与技能性知识，还能有效促进学生对数学概念知识与技能性知识的理解和数学知识体系的建构。 

参考文献： 

[1]章建跃，朱文芳，著.中学数学教学心理学[M].北京：北京教育出版社. 

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那么，什么是“解决问题”呢？我们认为“解决问题”从广义上可以理解为通过思考设计某种程序或行动，使“他”从当前的状态到达所期望的目标状态. 而从狭义上则可以理解为综合地、创造性地运用各种数学知识去解决实际问题.

值得我们注意的是，“四能”与“四基”密切相关. 没有扎实的“四基”，增强“四能”就成了空话. 那么，解决问题能力与“四基”目标达成有何联系？在解决问题能力的培养过程中，又如何达成“四基”的目标要求呢？笔者结合对《标准（2011版）》的学习体会和教学实践，试图从“四基”的角度谈谈小学阶段培养学生解决问题能力的一些教学方法和心得体会.

前提：掌握基础知识

小学阶段的解决问题主要涉及学生在学习过程中习得掌握的数学概念、原理和方法，以及加、减、乘、除四则运算等问题. 解决问题的能力主要包括综合地利用各种知识达到预期目标的能力. 与之相关的基础知识主要有数学概念、原理和数学方法，计算能力等. 掌握这些基础知识是进行正确解决问题的重要基础，也是形成解决问题能力的重要前提. 例如，“一（1）班上体育课，跳绳的有37人，踢毽子的有48人，踢足球的有14人，一（1）班一共有多少人？”这样的问题是由加法的意义、连加的计算方法、100以内整数的笔算法则等一系列概念组成的. 由此可见，解决问题是以相关的数学概念、原理和方法为基础的，如果相关的基础知识没有掌握好，学生就会一筹莫展、无从下手. 那么，怎样才能使学生更好地掌握有关解决问题的基础知识呢？首先，要弄清知识的“本”“末”，使学生理解知识的本质. 如教学加减法解决问题时，教师应引导学生理解加法的本质是求总数，是合起来，是增加；减法的本质是求总数的一部分，是去掉，是减少. 其次，要加强数学概念方法等比较，使学生更好地掌握相似概念、方法等. 教学完相似或易混淆的概念后，教师要引导学生比较数学概念之间的联系与区别，促进学生更好地掌握基础知识，理解方法. 例如，学习了乘法后，教师要引导学生比较加法和乘法，找出它们的共性，即乘法是几个相同的数连续相加.

目标：形成基本技能

解决问题是数学基本技能的重要内容. 小学阶段的解决问题能力是学生继续学习数学和其他科学知识必不可少的基础知识，更是他们生活、工作所必需的基本技能. 解决问题技能形成的标志是能够综合地选用合适的方法解决实际问题，而且能够选择优化的方法解决问题.

解决问题的方法不止一个，合适的方法是指至少能用一种方法来解决问题，优化的方法是指能够选择一种最合适、最简洁的方法来解决问题. 那么，怎样才能使学生形成解决问题的基本技能呢？首先，要让学生学会分析问题. 例如，“一套书有12本，每本24元. 一共要付多少钱？”情境图直接出现了12本一箱的书. 为了让学生更好地分析问题、解决问题，我们将例题改为“要买12本书，每本24元，一共要付多少钱”，将情境图改为10本一捆上面放2本，这样能使学生自然而然地将12本书分成2本和10本，即把12个24分成2个24和10个24的和. 在此基础上，教师引导学生分析、比较两种方法的不同，让学生自主选择更简洁的方法. 其次，应让学生进行适度训练，因为解决问题技能的形成离不开巧妙、适度的训练：（1）训练要有趣味性. 进行解决问题训练时，可以以游戏的形式进行. 例如角色扮演商店售货员与顾客，让学生自己选择购物并计算所要付的钱数，也可以让同伴根据商品进行提问等. ②训练要关注细节. 例如，训练学生规范书写数字和运算符号等. （3）训练要持之以恒. 教师应引导学生坚持这样的联系，循序渐进，提高解决问题的能力. （4）要增强学生运用运算技能解决实际问题的能力. 如引导学生在生活中有意识地做以下事情：去商场购物时，通过“估一估”预测自己所带的钱够不够；当收银员告知要付多少钱时，想一想如何付款；多付款找回钱时，利用相关运算知识验证余款是否正确.

精髓：积累基本活动经验

基本活动经验是新课标中相比之前的“双基”目标多的一项目标，它多是通过对数学材料的具体操作和探究获得的，是在数学活动中积累的感性认识. 在解决问题教学中，教师可以设计一些数学活动帮助学生理解概念、掌握方法，让学生积累基本活动经验. 例如，教学“探索三角形三边关系”时，可以给学生提供4厘米、5厘米、6厘米和10厘米的小棒各一根，要求他们小组合作，从中任取三根，看能否围成三角形. 实验之后，提出问题：怎样的3根小棒能围成三角形？你发现了什么？学生通过操作、比较、交流，初步发现了三角形三边之间的关系. 学生在这样的活动中对三角形三边关系的理解更为深刻.

再如，教学“米的认识”时，可以充分展开认识1米的过程：（1）观察米尺，在米尺上指一指、说一说，认识1米；（2）小组合作，剪1米长的绳子，再拉直看看1米有多长；（3）用1米长的绳子量一量周围的事物，哪些大约1米；（4）你身体上有1米吗？这样的活动能让学生了解1米到底有多长，并为以后学习新的度量单位等积累活动经验.

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数学教学改革重视学生能力的培养，新课程标准也明确指出：小学生应该拥有能运用图形形象地描述问题的能力，利用直观来进行思考，利用画图方法来培养学生的数学思维能力是至关重要的。为了实现这个教学目标，教师首先要明确“画图”解决小学数学应用题的优势，重视对小学生，特别是小学高年级学生数学作图能力的培养，找出切实可行的教育教学对策。

1“画图”解决小学数学应用题的优势

“画图”解决小学数学应用问题是考虑到“按图索骥”寻找解答的优势，这种教学手段能够迅速、快捷、直观地将题目中的“条件”和“问题”表示出来，明确思维方向，明确数学建模思想，快速建立数学模型，形成小学生解决问题的能力。在小学数学应用题教学过程中采用这种教学模式一方面是考虑到了小学生的年龄特点，考虑到能够借助画图的方法来拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键。因为画图比较直观，通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化，从而有效地解决问题。另一方面能够让学生逐步形成自己独立画图解决问题的思想，把解决问题的主动权交给学生，提供给学生更多的展示属于他们自己的思维方式和解题策略的机会，提供给学生更多的解释和评价他们自己的思维结果的权利。

2“画图”解决小学数学应用题的对策

2.1选择画图的路径

采用“画图”的方法解决小学数学应用题问题，要重视不同类型问题的画图路径的选择。第一，在应用题题意不清晰的情况下，可以选择画图来了解题意。这种情况主要出现在较为复杂的“几何”问题之中。

案例一：长方形面积体积的应用题

（1）修一个长60米，宽40米的长方形操场，先铺10厘米厚的三合土，再铺4厘米厚的煤渣，需要三合土、煤渣各多少立方米？

（2）一间教室的长是8米，宽是6米，高是4米，要粉刷教室的屋顶和四面墙壁，除去门窗和黑板面积25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？

这类的问题教师要鼓励学生用自己的想想来画图，画出的图形不需要准确，只需要能够帮助学生理解问题就可以了。第二，数量关系不明的情况下，教师要借助画图，提高学生问题的分析能力。

案例二：分数应用题

（1）去年某工厂的总收入为1250万元，今年比去年多收入了2%，今年收入多少万元？

（2）今年某某工厂的总收入为2050万元，今年比去年多收入了2%，去年收入多少万元？

这类的问题要借助不同的线段来表示两者的数量关系。因此画图路径的选择要保证数量关系表示准确，对比明显。

2.2培养画图能力

“画图”解决实际问题的过程中，教师要在分析问题的过程中借助画图，可以教师亲自动手画图，也可以借助多媒体工具进行动画演示，但是最终还是要让学生自己掌握画图的能力。具体的能力训练程序包括：①教孩子看线段图培养识图能力：教师要引导学生抓住图形的本质特征，克服概念认识的片面性，提高辨认图形的能力，也就是要明确的告诉学生通常情况下会怎样用线段表示应用题之中的数量关系，怎样进行对比；②引导学生用画线段图解决问}：教师可以在简单应用题解答的过程中先让学生自由画图，尝试解决问题的办法。例如：低年级时的数学问题“我有4支铅笔，又买来了5支，现在有多少支铅笔？”学生画图会用竖线表示铅笔，这就是最早的抽象的数学符号来代替，然后教师鼓励学生用圆圈代替其他事物，最终用线段代替数量内容等；③规范画图阶段，要鼓励每个学生都用画图的方式表示数量关系，用线段图来说明自己的解题思路，说算理，说关系，培养学生初步具有画图法解题能力。最终，要在高年级阶段让学生达到脑中成图阶段，学生会在脑中自己进行画图，分析题意，快速形成数学建模思想，用画图法提高问题的解题能力。

2.3画图理解概念

学生画图的过程应该与数学思维的过程结合在一起。实际上，根据对题目的分析画出图、根据图联系运算的意义、运用图来直观表示解决问题的思路和结果等，这些都必然会与数学思维紧密联系。画图解决应用题，也是学生逐步形成数学概念的重要路径。首先，通过画图能够逐步引导小学高年级学生形成空间概念能力，例如：我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时，由于圆柱、圆锥、球属于三维图形，用平面直观图难免会造成视觉上的失真，我们可以借助教具、利用几何画板动画展示帮助学生理解。其次，通过画图能够让学生更快地理解一些数学思维概念，例如：植树问题、鸽笼问题、打电话问题等，这些相对抽象的数学概念，要借助图形来提升学生的分析概况能力。

综上所述，“画图”解决小学数学应用题的对策要重视选择画图的路径，培养学生画图的能力，通过画图帮助小学生理解数学概念，解决不同学生对待数学应用题的不同困惑。

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学是发生在一定的情境中，问题也总是产生于一定的情境中。“学起于思，思源于疑”。在教学中要充分创设情境，设疑，以促使学生提出问题。创设数学情境是让学生提出数学问题的基础。学生通过提出问题，再来解决问题，提出问题与解决问题形影相伴、携手共进，学生在解决问题的过程中也可以发现和提出新的数学问题，这样，提出问题与解决问题密切联系，学生在学习中不断探索，不断创新。因此，在课堂教学中一定要注意数学情境的创设。情境的表现形式应该是多种多样的，如生活情境、活动情境、故事情境、问题情境、操作情境、竞争情境等，所以创设情境的方法也是多种多样的。课程标准明确指出：教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学教学活动，如运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理解和认识数学知识。数学知识原本就比较抽象，尤其是数学概念，不像语文具有描述性，不像美术具有直观性，不像体育具有身体参与性，各种概念的描述既枯燥又无味。要使抽象的内容变得具体、易懂，就得从生活中挖掘素材，在日常生活中发现数学知识，把学生带到数学中来，以提高学生学习的兴趣。如在教学“角的认识”这一课时，“角是一个端点引发的两条射线”，这个概念的描述不易理解，非常抽象。在教学时可创设如下情境：盛夏，酷暑炎热，人们都习惯在树下纳凉，小朋友们在树下玩耍。瞧，老师来了。师摆臂作走路状，并画出示意图：手臂与身体成一个角。有的小朋友在荡秋千，出示荡秋千图。这时进入话题，说：“手臂这一摆，秋千这一荡，就是一个数学概念。”这时，学生一定会提问：摆臂、荡秋千怎么会同数学概念连在一起呢？此时此刻，思维的火花不点自燃。学生在提出问题、解决问题的过程中理解了角的概念，从而加深了对角的认识。

二、让学生在创设的数学情境中充分提出问题

爱因斯坦说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”可见学生提出问题的重要性。提出问题的过程本身就是发展创造性思维和数学能力的过程，也是提高数学素质的过程。《数学课程标准》在第一学段就提出：要求学生“能在教师指导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题，了解同一问题可以有不同的解决办法，有与同伴合作解决问题的体验，初步学会表达解决问题的大致过程和结果”。解决问题是一种综合能力的反映。在培养学生提问能力时要注意结合学生情况，循序渐进，逐步提高。应从学生对数学的理解出发，抓住学生在理解数学时容易产生的问题加以引导，让学生有问题可问，敢于提问，逐步学会善问。如，在讲“较复杂的求平均数的方法”时，出示这样的一道题：某水果店运来600个西瓜，300个大的，300个小的。小组长对售货员小张说：大的2个卖一元，小的3个卖一元，结果可以卖250元。第二次又运来同样数量的大小西瓜，价钱也没变。小张想：何必分开卖，不如不许挑，平均每元钱可以买两个半，每个4角钱。卖完西瓜后一算，只卖了240元。有学生就会问：为何第二次比第一次少卖10元呢？这是怎么回事呢？学生思维的积极性被调动起来了，通过讨论分析，不难知道原来小张计算单价是用（1+1）÷（2+3）计算的，而不是用250÷600计算的。又如，在教学“简单的归一应用题”时，可先提出让学生算一下“本村280户人家一共有多少元存款？”这样的问题，在学生准备计算而又感到困惑时，教师再引导：“要想知识全村人家的存款总和，就必须要了解些什么条件？”从而让学生知道要求简单的归一问题时需要知道的条件。这样，让学生带着“想求出本村人家一共有多少存款？”的问题来学习，学习兴趣明显有了提高。

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〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）18—0078—01

数学的学习离不开解决问题，数学教学的重要任务就是使学生“具有一定的运算能力、一定的逻辑思维能力和一定的空间想象能力”。对学生解题能力的培养，必须与数学基础知识的教学以及一般解题方法的教学紧密结合起来。那么，在实际教学中，究竟应该通过哪些途径有效地进行教学，才能取得更好的效果呢?

一、注重“三基”教学，完善学生的认知结构

培养学生的解题能力，一定要从数学基本理论、基本技能和基本方法的教学抓起，建立一个完整的基础概念体系，使学生拥有良好的数学认知结构。

1.抓概念、定理、公式、法则等的教学。要求学生理解得准确、透彻，能用正确的数学语言来叙述概念、定理、法则，能用自己的话来通俗地解释概念、定理、法则，并能熟练地运用。例如，对于概念，不仅要讲清概念的内涵和外延，弄清概念与概念之间的区别与联系，还要引导学生从正反两方面提出问题来以加深理解。

2.在抓“三基”的过程中，有意识地注意对学生进行解题能力的培养。要注意以下几方面：(1)让学生明确所学内容的目的和作用，充分调动学生的学习积极性；(2)让学生有充足的时间去阅读课本，在阅读过程中发现问题，解决问题，进而养成独立钻研的好习惯；(3)教师要有意识地给学生指出解决问题应思索的关键点，便于学生研究问题；(4)围绕这一思索的关键点，让学生提出问题。教师要善于归纳学生的意见，启发学生思考，帮助学生得出正确的结论。

二、遵循认知规律，强化解题教学的针对性

1．加强例题的典范作用。教师事先要对例题的选取和设计进行深入研究，对例题的目的意图、隐含条件的分析、干扰信息的排除、解题关键的把握以及解题后的开拓和引申都要做到心中有数。例题教学一定要突出其目的性、启发性、示范性、延伸性，并通过评价的方法，开阔学生的解题思路，使学生从中学会分析问题和解决问题的方法。

2. 课堂教学中，教师要努力创设良好的教学情境。大量的研究表明，在良好的教学情境下，学生解决问题时不是把问题和类型相联系，而是思考问题与现实生活的联系。在这一过程中，学生不仅获得对数学概念的进一步理解，还体会到数学的价值。而在不良的教学情境下，学生可能将问题和类型相联系，进而死扣解题类型，进而被思维定势束缚。因此，只有为学生创设良好的教学情境，把情境和运算意义相结合，才能更好地培养学生解决问题的能力。

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数学的思维的本质是掌握数学概念，应用数学方法，解决数学实际问题。解决数学问题的能力实质是学生数学思维能力的体现。下面就在教学实际中应该通过哪些途径有效地进行解题能力的培养来提高学生的思维能力谈谈几点认识。

1.例题讲解注重方法与分析能力

高中数学的一个重要的教学过程是讲解例题，例题是数学教学中传授知识、展示数学思想方法、培养学生能力的重要载体。学生解题往往依赖教师讲解例题的解题模式、思路和步骤，力图实现解题的类化，学生的思维往往是通过模仿教师的思维逐渐形成的。由于数学知识信息的错综复杂，怎样才能揭示知识之间的联系和规律，寓思维方法的培养于解题教学之中，是数学教师的一个重要任务。学生在课堂上最关心的是教师如何进行分析探索的，解题思维是如何展开的，解题方法是如何确定的，思维障碍是如何突破的。这就是要求教师在解题时充分暴露自己的思维过程，展示数学思维过程中的每一个层次的环节，使学生不仅清楚怎么做，而且明白为什么这样做，否则教师的分析非常透彻，学生总觉得神秘莫测；教师以为易如反掌，学生却难于登天；教师津津乐道，而学生如入云雾，不利于学生的数学思维发展，也起不到应有的数学教学效果。

例1：二次函数f（x）=x +ax+3在区间［-1，1］上的最小值为-3，求实数a的值。这是二次函数在给定的区间上的最小值问题，基本思路是判定二次函数图像的开口方向，对称轴与给定区间的相对位置值，求出参数的值。题目涉及二次函数的图像、性质，以及分类思想、数形结合思想、化归思想，本题的关键是通过已知和结论的分解转化，将最值问题转化为区间端点或图像顶点的函数问题，即f（-1）=-3，或f（-a/2）=-3或f（1）=-3。难点是分类的标准，即-a/2＜-1，-1≤-a/2≤1，-a/2＞1是怎么确定的，教师在探讨时要紧紧围绕上述步骤进行分析。二次函数的图像是一条开口向上的抛物线，其对称轴x=-a/2虽然不定，但与给定的区间［-1，1］有且仅有3种位置关系：当对称轴x=-a/2在区间［-1，1］的左侧，即-a/2＜-1，亦即a＞2时，二次函数的最小值只能在区间的左端点处取得，从而有f（-1）=4-a=-3，得a=7；当对称轴x=-a/2在区间［-1，1］上，即-1≤-a/2≤1，亦即-2≤a≤2时，二次函数的最小值只能在其顶点处取得，从而有f（-a/2）=（12-a ）/4=-3，得a=±2 ，与-2≤a≤2矛盾，此时无解；当对称轴x=-a/2在区间［-1，1］的右侧，即-a/2＞1，亦即a＜-2时，二次函数的最小值只能在区间的右端点处取得，从而有f（1）=4+a=-3得a=-7，综上可得a=±7。这样的分析学生对解题的整个思路过程才能有一个清晰的认识，对知识点的掌握才能更加透彻、牢固。

2.解题过程中的数学思维能力的培养

高中数学的解题能力主要突出在数学的思维能力上，所以学生解题能力的培养必须与数学知识教学以及一般解题方法的教学紧密结合起来。因此在教学实际中，应该采用以下方法。

首先，注重“三基”教学，即基本理论、基本技能和基本方法的教学，对数学中的概念、定理、公式、法则等的教学，要求学生做到理解、熟练。要求学生弄清概念的内涵和外延，弄清概念与概念之间的区别与联系，准确、透彻地理解概念，能用正确的数学语言来叙述这些概念，也能用自己的通俗语言来解释这些概念，重要的定义、定理要背熟，熟练运用概念。概念教学中的解题能力的培养，必须让学生明确学习这部分知识的目的和作用，调动学生的求和欲望和学习积极性；让学生有充分的时间去阅读课本，在阅读过程中发现问题，养成独立钻研的习惯；教师要有意识地给学生指出解决问题应观察的重点和思维中心，便于学生思考；围绕这一观察重点与思维中心，让学生提出问题，教师要善于归纳，启发学生的思路，引导得出正确的结论的途径。

其次，从学生的思维能力出发，有针对性地进行解题教学。学生解题，仍较依赖例题的解题模式、思路和步骤，力图实现解题的类化。因此，例题教学要突出其目的性、启发性、示范性、延伸性、规律性，使学生从中学会分析问题和解决问题的方法，提高思维决策能力。解决好例题的教学，为学生思维品质和解题能力的提高起积极的促进作用。教师在教学中，应让学生通过发现法学习，理解前人是如何看待问题，又是如何找出解决问题的办法。这一思维进程能给学生以亲身体验，帮助他们认识和理解知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到分析、思考和解决问题的思想方法和步骤，培养和提高学生的解题能力。学生在解题过程中难免会碰到难题，教师必须要帮助他们分析障碍原因，矫正他们原有认识上的偏差，充实、完善他们对问题分析、发现和创造的过程，引导他们解决问题。因此，教师在解决问题时，要注重学生原有思路的分析，设身处地地了解学生面临的困难，抓住疑难的本质，积极寻找解决问题的契机，拓展学生解决问题的方法。

第三，让学生把握解题方法，探究数学思维。数学的解题过程中，存在着共同的客观规律，而数学的解题思维起步必须遵循着一般的活动规律。教学中应突出数学思维过程，要求学生学会在解题过程中的数学思维能力。解题思路的发现，归根到底是数学解题方法的发现。教学中要注意基本思想方法的分析和评述，使学生掌握综合法、分析法、比较法、反证法、穷举法、数学归纳法、待定系数法等，在解特殊方程时，要掌握换元法、图像法、数学模型法等。在运用这些基本方法时，还有许多基本的规律。例如，立体几何中，证明直线与平面的位置关系，一般思路为：（1）证线面平行，先证线线平行；（2）证面面平行，先证线面平行；（3）证线面垂直，先证线线垂直；（4）证面面垂直，先证线面垂直等。合理的教学方法是培养学生的解题思维能力的主要途径。

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1 问题的提出

“数学是思维的体操”.一节优美律动的韵律操，要求每一个动作的设计健身、健美、健心，给人自然流畅、一气呵成的大气感和美感.数学课也应该像优美律动的韵律操一样：课堂活动流畅、舒心，思维进程活跃、高效.而这一切的决定因素在于课堂中一个个数学问题的设计（即题组的设计）.“问题是数学的心脏”.课堂中一个个问题就好比韵律操中一个个动作，要想课堂给人更多的回味与精彩，问题设计就需更深的思考与研究.课堂教学的深入总是伴随着一个个精彩问题的呈现，构建高效课堂，题组设计尤为重要.

2 设计和运用题组的目的和依据

设计和运用题组是一种教学策略，意图是要搭建一个平台，把学生推到解决问题的前台.通过题组中一个个问题的设置，引导学生步步深入地分析问题、解决问题、构建知识、发展能力.如果说题组是课堂教学的一条具有逻辑意义的明线的话，那么隐藏在这条明线后的知识链就是课堂教学的一条暗线.教师通过题组这个脚手架便于组织教学，并和学生形成互动，促进学生在学习知识的同时形成网状知识联结，题组的使用让教学组织有章可循，内容推进自然而不造作，体系构建完整而不破碎，课堂生成高效而不低能.

《高中数学课程标准》要求教师应在深刻理解教学内容、充分了解学生已有知识和生活经验的基础上设计问题：在数学知识产生形成的关键点；在数学知识之间联系的联结点；在运用数学思想方法解决问题的关节点；在数学问题变式的发散点.在学生思维的最近发展区，挖掘知识中的潜在因素，合理、巧妙、灵活地设计富有启发性、挑战性和开放性的问题，通过激趣、质疑、导引、点拨，引起学生的参与兴趣，调动学生求知能动性，训练学生的思维.

3 设计和运用题组的原则

①题组设计不能太难，要符合学生的一般认知规律与身心发展规律，要在学生思维的最近发展区设计问题；②题组设计要引领学生思考与活动，问题与问题之间应是层层递进的关系；③题组设计要围绕课题指向明确，通过问题解决学生能够构建数学概念与原理、展现数学方法与思想；④题组设计要自然，问题与问题间不能过于生硬，应呈现出一定的内在联系与逻辑关系；⑤题组设计要具有一定的开放性，同类问题学生可以从多个不同的角度来思考.

4 设计和运用题组的方法和策略

自上世纪八十年代问题解决教学的理论产生以来，设计和运用题组进行教学已被越来越多的教师采用，成为中学数学教学中常用的教学方法.通过题组设置来使不同认知水平的学生都能在课堂中达到对一些数学概念与数学思想方法的理解与掌握，成为数学有效教学的基本形态.国内著名的数学教育专家顾泠沅认为，题组（变式）教学是我国数学基础教育成功经验的精髓之一，中学教师在教育实践中正是充分利用}组设置方式来提高数学教学的效率与效果的.下面就高中数学的几种常见课型，谈谈优化课堂中设计和运用题组的方法和策略.

4.1 概念课型中的题组设计和运用

概念课是数学中最常见最基本的课型.数学概念是数学知识系统的基本元素，是构成数学理论的基础，概念的学习是数学学习的核心，正确理解概念是学好数学的首要环节，概念教学也是基础知识和基本技能教学的关键.在概念教学中要根据学生的认知特点，合理地选取适合学生的教学方法，设计富有过程探索性的问题，揭示数学概念形成的过程，为认识和理解数学概念的本质形成一个思维链，让学生在探索、辨析、感悟、运用、强化、归纳、升华、落实中真正掌握数学概念，理解数学的本质.概念课中的探索性题组的设计对于避免数学概念教学“掐两头烧中段”有重要的作用.

例如函数周期性概念的教学，一位老师设计了如下一组问题：

（1）在单位圆中，对给出的角α，如何作出角α的正弦线？

（2）当角α的终边绕原点逆时针旋转时，角α的正弦线如何变化，有何规律？

（3）观察正弦函数图象是如何呈现这种“周而复始”的变化规律的，你能用自然语言描述这一规律吗？

（4）哪条公式能反映问题（3）中的正弦值的变化规律？

（5）若函数f（x）的函数值具有“周而复始”的变化规律，如何用代数形式描述这一规律？

（6）因为当x=7π6时，sin（x+2π3）=sinx，所以2π3是函数y=sinx的周期.这话对吗？

（7）如果T是函数f（x）的周期，那么除T之外还有其他周期吗？

（8）函数y=a（a是常数）是周期函数吗？是不是任何周期函数都有最小正周期？

（9）求函数y=cos2x、y=Asin（ωx+），x∈R（A、ω、为常数，A≠0，ω>0）的周期.

题组设计从学生已有的正弦线、正弦函数图象及诱导公式出发，通过图象的特点、函数解析式特点的描述，让学生建立比较牢固的理解周期性的认识基础，最后再引导学生了解“周而复始”的变化规律的代数刻画，让学生经历了从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维过程.问题（7）到问题（10）的设计让学生进一步落实对周期函数的概念的理解，使学生真正掌握周期函数的本质及周期函数的周期的求法.

概念课教学的根本目的是：使学生认识概念、理解概念、巩固并运用概念.因此概念课的题组设计要求是：此题组的设计使学生明了①概念是如何产生形成的？②概念中有哪些规定和限制条件？③概念的名称、表述的语言有何特点？与自然语言比较、与其他概念比较，有没有容易混淆的地方？应当如何加以区别？④此概念有没有等价的叙述？为什么等价？应当如何处理和应用？⑤由此概念中的条件和规定，能够归纳出哪些基本性质？各个性质是由概念中的哪些条件所决定的？这些性质在具体应用中有何意义？能派生出某些数学思想和方法吗？等等.

4.2 命题课型中的题组设计和运用

命题课是指有关中学数学公理、定理、法则、公式的教学，是中学数学教学的重要课型.数学命题具有高度的概括性与抽象性，在本质上描述了相关数学概念之间的关系，是中学数学的核心内容之一，是数学思维、推理、运算的基石.命题课的关键在公式、定理推导证明的全过程上，让学生记住某一个公式、某一定理并非命题课的最终目的.

本组问题的设计，从数、形两个方面，结合几何意义，通过代数证明，变式拓展，揭示基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件， 题组设计充分考虑了基本不等式中包含的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧等，题组中问题的解决充分调动学生的思维，学生可以多层次、广角度、全方位地认识基本不等式.

命题课要达到的教学目的是：揭示公理、定理、法则、公式的来龙去脉，揭示其推导、论证中所用的有代表性的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧，交待清楚公式、定理适应的范围及成立的特定条件，理解由某一条件所得出的必然结论.因此命题课的题组设计要求是：此题组的设计使学生明了①概念与概念之间的内在联系是什么？②概念与概念之间的演绎规律是什么？③几个概念之间存在哪些定律或联系法则？应当如何加以区别？④命题的条件和结论有什么关系？论证中用了哪些有代表性的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧？⑤公式、定理可解决哪些问题？公式变形有哪些形式？公式、定理适应的范围及成立的特定条件是什么？

4.3 复习课型中的题组设计和运用

复习课也是数学中最常见最基本的课型.复习课的教学内容是学生过去学过的知识，其主要目的是使知识系统化，也就是把各种不同的概念、法则、规律引向合乎逻辑的完整的体系.在这个体系中，所有成分相互之间是紧密联系的，没有这种类型的课，教学过程将是不完整的，而学生的知识也将是片面的和杂乱的.

此题组的设计综合了向量与三角的知识，通过一题多问、一题多变，较好地把相关的基础知识进行了整合梳理，将三角函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性、最值、零点、三角函数的图像的变换结合起来，完善了知识体系，提升了学生的认知结构，同时学生的解题能力得到了一定的提高.

每一个知识单元结束后，对它进行回顾与概括是必需的，复习课要达到的教学目的是：巩固本单元的知识、技能，加深对知识、方法及应用的认识， 提高综合解决问题的能力.因此复习课中的题组设计要求是：①题组的设计要突出对知识和方法的梳理，对已经学过的知识，以问题串的形式进行梳理综合，结构重组，通^题组的解答去构建知识框架，形成自我知识体系；②题组设计应明确学生的学习活动是以“内化学习”为主要特征，突出学生的主体性及主动性，问题似曾相识但绝非是原题；③题组设计要根据学生知识、技能的掌握状况及遗忘缺漏情况，确定需要解决的重点和难点，要创造机会让每一个学生充分发表自己的见解；④题组设计要引导学生把握问题的实质，完善和深化已有的知识结构，加深对复习内容的知识和方法的再认识，提高综合解决问题的能力.

4.4 习题课型中的题组设计和运用

所谓习题课，就是以讲解习题为主要内容的课堂.一般说来，教师讲授一段时期的课程或一个知识单元之后，即会开设一节习题课.习题课的授课过程一般包括：整理前阶段课程的知识要点；分析作业题中的错误；讲解习题；学生练习提高.习题课中要弥补学生的知识能力方法上的缺失，教师必须从学生的认知基础开始，从探究最核心的问题开始，设计系列问题.

例如学生在解答问题：已知抛物线y=-x2+mx-1，两点M（0，3），N（3，0），若抛物线与线段MN有两个不同的交点，求实数m的取值范围.尽管是经典的问题，学生做这道题总是错得很多，学生除了对这类问题在方法上掌握不到位，思维习惯上有缺失外，在学习方式、方法和认知上也有问题，缺乏运用数学思想的意识.在习题课上为此错题设计了如下系列问题：

（1）若方程x2-（m+1）x+4=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程x2-（m+1）x+4=0在[0，3]上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；

（3）若函数y=x+4x（x∈（0，3]）的图像与直线y=m+1有两个交点，求实数m的取值范围；

（4）若方程m+1=x+4x在x∈（0，3]上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；

（5）抛物线y=-x2+mx-1，两点M（0，3），N（3，0），若抛物线与线段MN有两个不同的交点，求实数m的取值范围；

（6）若不等式x2-（m+1）x+4>0在x∈[0，3]上恒成立，求实数m的取值范围；

（7）若不等式x2-（m+1）x+4>0在m∈[0，3]上恒成立，求实数x的取值范围.

以上问题有基本、有变式、有拓展、有延伸，形成了一个问题串，构成了思维的整体性，体现了思维的层次性和探究性，在问题串的引领下，学生进行系列的连续的思维活动，不断攀升思维的新高度，这样设计不仅有利于学生思维的飞跃，加深对数学本质的认识，同时经历问题的形成和解决过程，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.

习题课要求学生的学习活动是在进行“解决问题学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本的公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决当前问题的方法，并加以比较择优.因此习题课中的题组设计要求是：①题组要注意对解题策略、解题技巧等进行问题设计，要在知识缺陷和逻辑推理缺陷处设计问题；②题组设计要着眼于培养学生的观察、归纳、类比、直觉、抽象以及寻找论证的方法，展现解题思维的过程；③要注意问题间的层次关系，运用类比、联想、特殊化和一般化，探索问题的变化及本质；④还要考虑设计恰当的“发散性思维”问题，克服思维定势，变中求进，进中求通，培养学生思维的广阔性、深刻性、灵活性以及创造性.

4.5 讲评课型中的题组设计和运用

讲评课帮助学生分析前一阶段的学习或测试情况，查漏补缺、纠正错误、巩固双基，并且在此基础上寻找产生错误的原因，从中吸取失败的教训（包括听课、审题和做题的方法与习惯等等），总结成功的经验，从而完善学生的知识系统和思维系统，进一步提高学生解决问题的能力.同时，通过习题讲评还可以帮助教师发现自己教学方面的问题和不足，进行自我总结、自我反思、改进教学方法，最终达到提高教学质量的目的.