三角函数变换规律模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇三角函数变换规律，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

中图分类号：G632.41 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2012）04-0116-02

由于三角函数的变换具有种类多而且方法灵活多变的特点，所以很难让学生真正的掌握。但是三角变换中的基本规律和思想却是不变的，我们可以把这些规律概括为公式间的联系和运用这两种。

一、三角函数变换中常见的几种类型

1.“角”度的变换。在进行三角变换解题的过程中，三角函数中角度变换，主要体现在差角、和角、半角、倍角、余角、凑角、补角等之间相互的转换，角度的变换起到了纽带的作用。随着三角函数角度的变换，函数的运算符号、名称以及次数等都会有一些相应的变化。在对三角问题进行求解的过程当中，由于表达式时常会出现许多相异角，因此，我们就要根据三角角度间和、差、倍、半、补、余、凑等关系，用“已知角”来表示“未知角”，然后再进行相关的运算，使三角变换的问题可以顺利的求解。

2.函数名称的变换。在函数名称变换中，最为常见的就是切割化弦，这时，我们一般都会从化函数或是化形式方面着手。在三角函数当中，正弦和余弦是六个三角函数中的基础，它们的应用也是最为广泛的，其次是正切。通常来讲，在进行三角问题求解的过程当中，时常会出现一些不同的三角函数名称，这时就需要我们把这些不同的三角函数名称转换成同名的三角函数，我们最常见的转化方式就是“切割化弦”与“齐次弦代切”。

3.“形”变换。在我们对三角函数进行化简、求值或是证明等运算的过程中，有时会根据相关的需要将一些常数如1，■，2+■等转化成相关的三角函数，然后再利用相关的三角函数公式进行运算。在这些常数当中，利用常数1来进行三角函数变换运算最为普通和广泛。在进行三角变换时，我们运算时一定要遵循由繁到简、由简而易的的规律，只有这样我们才能在众多的三角函数公式中找出相关的解题思路，才能明确解题的目标，从而顺利的解题。

如：2009年辽宁高考文科试题中，已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）

A：■B：■C：-■D：-■

分析：利用已知条件，我们很容易想到这道题需要进行“弦化切”，因此，我们利用已知整式中分母为1的条件，将“1”转化为sin2α+cos2α，从而进行解答。

二、三角函数变换的几种常用解题方法

1.“弦函数”与“切函数”间的相互转换。“弦函数”与“切函数”之间互相的转换是我们平常对三角函数问题进行解答时，常用的两种函数转化的基本手法。若是在三角函数式当中存在着正切函数，我们就能让学生在解题的时候，利用三角函数之间最基本的关系或是让“弦函数”转化成为“切函数”等方式来进行对题目的求解或证明。

2.角的等量代换。在我们解决三角函数的问题过程中，要重点的注意已知角同所求角间的相互关系，适当的使用拆角和拼角的解题技巧。就像α=（α+β）-β=β-（β-α）=■+■或是2α=（α+β）+（α-β）或是2β=（α+β）-（α-β）等。

例如：已知3sinβ=sin（2α+β），求证tan（α+β）=2tanα

证明：因为β=α+β-α，2α+β=α+β+α

所以3sinβ=sin（2α+β）

由此推出3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），所以3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，因此推出2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，所以得出tan（α+β）=2tanα。

3.公式的逆用和变用。我们在对三角函数的问题进行解题时，时常会遇到需要对三角公式进行变用或逆用的情况，尤其是公式的变用，常常会因学生的不够熟练出现错误。因此我们要让学生能够熟练的运用2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x这些三角函数的公式。

4.引入辅助角公式。辅助角公式的引入，是在三角函数变换过程中，两角和同两角差之间正弦或是余弦公式形式的变换，它是求三角函数的单调区间、周期等时最为重要的解题手段之一，就像我们将三角函数式asina+bcosα转变为■sin（α+φ）的形式，在这个三角函数式里φ被称为辅助角，而这个辅助角的大小则是由tanφ所决定的，它的象限就是由a、b两个符号所确定的。

例如在2009年重庆高考文科卷2试题中，设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω>0）的最小正周期为■。

（1）求ω的值；

（2）若是y=f（x）的图像往右平移了■个单位长度得到了函数y=g（x）的图像，则求函数y=g（x）的单调增区间。

解：（1）f（x）=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx

=sin2ωx+cos2ωx+2=■sin（2ωx+■）+2

则T=■=■，则解得ω=■

解（2）得g（x）=■sin[3（x-■）+■]+2

=■sin（3x-■）+2

由于2kπ-■≤3x-■≤2kπ+■，（k∈Z），所以■kπ+■≤x≤■kπ+■，（k∈Z），所以y=g（x）的单调增区间就是[■kπ+■，■kπ+■]

综上所述，无论对三角函数进行求值、化简还是证明，其解题的过程都会是从已知向未知进行转化的过程，所以，我们要从中找到它们之间的差异，才能顺其自然的对三角函数进行转变。

参考文献：

[1]葛志峰.三角变换的类型与技巧[J].读与写（教育教学刊），2007，（5）.

篇2

三角函数的图象是三角函数的概念和性质的直观形象的反映，是研究三角函数的性质的基础。而三角函数的图象的特征和性质，又是通过函数的图象变换反映出来的，因此掌握这一函数图象的变换关系及灵活运用，是分析和解决与三角函数的图象有关的问题的关键。同时，三角函数的图象变换也是历年高考中的常考内容。

下面浅谈三角函数的图象变换。对于这一函数的图象变换，课本上首先分别探索了、ω、A对图象的影响，即得到下面三种基本变换：

1、相位变换：把的图象上所有点向左（当>0时）或向右（当

2、周期变换：把的图象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0

3、振幅变换：把的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

然后在此基础上，归纳总结出由正弦曲线得到函数的图象的变换过程：

课本对于这一过程的归纳总结，虽然体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，说明了图象的变换过程，但是学生在学习理解上却存在一定的困难，有相当部分的学生全靠死记硬背，形成思维定势。如果改变图象的变换顺序，即先进行周期变换，再进行相位变换，则容易产生错误。如对于的图象变换，在由变换到后，有些学生错误地认为：只需再将其图象向左或向右平移||个单位，而正确的图象变换应该是向左或向右平移个单位，即函数变换为。相位φ变换实质上就是将函数的图象向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说。这样就避免了容易发生的错误，有助于分析和解决问题。请看下面的例题。

例1、要得到的图象，只需将函数的图象( )个单位长度

（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移

分析：因为，由图象变换可知应将函数的图象向右平行移动，移动单位为，即有，于是选（D）。

变式：要得到的图象，只需将的图象( )个单位长度

（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移

分析：因为，即，所以选（C）。

评注：进行图象变换时应切记无论是哪种变换都是对字母x而言的，注意到这一点就无须担心到底是先作相位变换还是先作周期变换。

例2、已知函数 ( )的图象如图1所示，那么( )

（A） （B）

（C） （D）

分析：由图象可知：又,

所以，于是选（C）。

评注：①此题牵涉到三角函数的性质、图象及其变换，要解决它需要综合应用这些知识；

②数形结合是数学中重要的思想方法，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。

例3、为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）

（A）向左平移 （B）向左平移 （C）向右平移 （D）向右平移

解： 因为，又题中变换与图象变换相逆，因此方向应向右，平移单位为：，所以应选（D）。

变式：将的图象沿x轴向右平移个单位长度，再保持图象上每个点的纵坐标不变，而横坐标伸长为原来的2倍，得到的曲线与相同，则是( )

（A） （B）

（C） （D）

解：将图象上的每个点的纵坐标不变，而横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，再将此图象向左平移个单位得到

，即，选（C）。

评注：图象变换的过程是可以互逆的。例题3及其变式的设计有助于培养学生的逆向思维能力，开阔学生的视野，做到举一反三，加深对知识的理解。

总之，为了让学生充分理解和完全掌握三角函数的图象变换，我们在设计相关题组时，可以对自变量x进行变化，可以对函数的解析式进行变化，还可以对变换过程的顺序进行变化。三角函数图象的周期、振幅、相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容。对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图象，哪是新函数的图象，再根据三角函数的图象变换规律，很快就可得到解决。

参考文献：

篇3

三角学起源于古希腊，在中国距今两千多年前的《周髀算经》中也有关于我国最早的三角测量的记载.三角函数是三角学中非常基础的、非常重要的一部分.在高中数学中，对三角函数的学习主要是三角函数的图像和性质.虽然在高中数学中对三角函数的学习要求并不高，但是我们学习起来也常常会有一些错误出现.本文将把这些三角函数中常见的错误归类出来，加以详细的探究，希望能为以后的三角函数学习提供借鉴和帮助.

一、知识性错误

数学中的知识性错误是指由于对有关所学的概念理解不清，对概念、性质混淆不清等，从而导致的错误.

（一）概念理解不清

致错分析 以上错解的原因是没有考虑函数的定义域，因为函数f（x）的定义域为x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、逻辑性错误

由于我们认知结构的不完善，所以在数学解题中就很容易出现逻辑性的错误.逻辑性错误指的是我们在解题的过程中由于违背了逻辑思维的规律而产生的错误.逻辑思维的规律，即逻辑规律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常见的逻辑性错误的类别一般为循环论证、偷换概念、虚假理由、分类不当和不等价变换这五种.在高中数学三角函数的学习中，一般会出现的逻辑性错误有分类不当、循环论证和不等价变换这三种.

（一）循环论证

论题、论据和论证是构成任何数学问题的三大要素，其中论题指的是为了真实性而需要的那个命题，论据指的是为了证明论题的真实性所需要依据的真命题，论证指的是联系起了论题和论据的具体的推理形式.只有真实的论据才能论证出论题的真假，但是论据的真实性不能不依赖于论题的真实.循环论证指的就是论据的真实性需要依赖论题的真实性的一种论证.

致错分析 上述解法看上去好像是正确的，其实已经犯了循环论证的错误，错在没有利用题设条件进一步缩小α-β的范围，产生了增根.

事实上，同理可得：.

（二）不等价变换

不等价变换是属于逻辑错误中的违反同一律原则的错误.在解题过程中，对命题进行不等价的变换，常常会出现解集的缩小或者是扩大.

三、策略性错误

在数学解题过程中的策略性错误主要指的是在解题方向上有偏差.这样的错误往往会导致解题的思路受阻而无法完成解题过程，或者解题思路过于曲折而即使做对了也非常费时费力.

（一）不善于正难则反

我们在解题的过程中一般都会习惯于从正面去思考问题，而并不去做反面的思考.但是有时候从正面来解决一个问题是非常艰难或者复杂的，甚至常常会容易出错.这就要求我们在解题的时候要灵活运用方法，当正面解题比较艰难的时候可以从反面进行思考.

例5 函数y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

错解 将原函数变形为：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，则y=（t-a）2+a，当t=a时，ymin=a，a=3.

致错分析 三角函数中通过换元便隐去了三角函数的特性，三角函数的定义域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，当a=3时，t=3，即sinx =3显然不符合题意.事实上，换元后，问题转化为二次函数y=f（t）=（t-a）2+a在闭区间[-1，1]上的最小值问题.

正解 （1）当a

（2）当-1≤a≤1时，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合题意，舍去；

（3）当a>1时，由ymin=f（1）=3，得a=2.

综合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）审题出现主观臆断

篇4

三角函数是考试的重点，也是我们得分的关键，由于已经是第二轮复习，学生对于公式，定理的掌握基本熟练，我给他们准备了导学案，要求课前完成。

题型一：三角函数的化简求值问题

此题是三角函数公式，定理的考查，两角和差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”“逆用”“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“+”，“－”的变化特点。在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，本题的易错点是符号，角的关系，为了巩固知识，安排了一个变式训练1：

篇5

所谓等量替换，实际上就是用一种量或者其部分替换与之相等的另外一种量、或者一部分；等量替换是初中阶段数学教学过程中的一种基本思想方法，同时也是代数思想教学和学习的基础.从狭义层面来讲，函数等量替换思想，即采用等式性质体现实际上是等式的传递性.比如，a=b、b=c，则可推导出a=c.在初中函数教学过程中，真正用到的等量替换为f（a=b∧f（a）f（b）），上述关系中的f代表的是广义层面的等量替换.具体来讲，即如果M是N的同义词，而且N代表人，则M也是人.从实践来看，该种数学思想方法不仅在初中阶段的函数教学过程中应用比较广泛，作为数学基础和重要知识点，在高中、大学阶段都会用到.在初中数学教学过程中，因三角函数变换种类非常的多，学习方法非常的灵活，所以学生感到非常的吃力或者困惑.然而，三角变换过程中基本规律、解题思路不变，因此实践中可将这些基本规律概括成公式之间的联系、运用，在此过程中三角函数的等量替换对学生们的数学思维能力培养，具有非常重要的作用.事实上，在我们的日常生活中存在着很多等量替换的实例，比如曹冲称象的故事，便是一个非常经典的等量替换思想应用实例.在初中数学教学过程中，如果A=B，Q+A=W+B，则Q=W就是等量替换思想应用的结果.在初中数学函数中，如果两个方程式相等，在其两边分别同时加上同一个整式，则二者依然相等，这便是最为典型的等量替换思想.

二、初中数学函数教学过程中的等量替换措施

在当前初中数学函数教学过程中，等量替换思想应用非常的广泛，以三角函数为例，其变换常见的类型如下.

1.三角函数中的“角”替换策略

在初中三角变换解题实践中，对三角函数中的相应角度进行替换，体现在和角、差角、半角、余角、倍角以及补角和凑角之间的相互替换，其中角度变换或者替换，起到了非常重要的连接作用.在三角函数角度替换过程中，函数运算过程中的名称、符号以及次数等，也会随之发生相应的变化.

比如，在ABC中，已知∠BAC=90°，M是线段AC的中点，且AGBM，垂足为G，BG=2GM.（1）证明BC=3AG；（2）设AB=6 ，则BM的长度为多少.

（2） 由（1）得当AB=6时，BM=BG+MG=3.

本例题中用到了等量替换思想.事实上在对初中三角函数问题求解过程中，因表达式中通常会有许多个相异的角，所以需根据实际情况，三角角度间和、差、倍、半以及补和余关系，将未知角用已知角来表示（替换），然后再进行具体运算，从而顺利求解.

2.三角函数中的“形”替换策略

篇6

例1已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧长l及该弧所在的弓形面积.

（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

（3）若将该扇形的圆心放在坐标原点，使角α的始边与x轴重合，已知角α的终边上一点P的坐标为（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ

【思路点拨】 （1）可直接使用弧长公式计算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，弓形面积由扇形面积与三角形面积的差组成，然后确定其最大值.（3）利用三角函数的定义求解，注意对y的讨论.（4）利用终边相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由题意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

当且仅当R=5时，S有最大值25（cm）2.

此时l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

当α=2rad时，扇形面积取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以当y=5时，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

当y=-5时，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到适合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【归纳总结】 扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，应注意角度制与弧度制不能混用.合理利用圆心角所在的三角形，合理选择参数，运用函数思想、转化思想，解决扇形中的有关最值问题.利用定义法求三角函数值需要已知或设角α终边上一异于原点的点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

【变式训练1】

（1）已知角α的终边在直线y=-3x上，则10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助计算器的情况下，证明：sin20°

考点二、三角函数的同角公式及诱导公式

【考点解读】 求值题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，利用三角公式进行恒等变形的技能.题型多为选择题或填空题.六组诱导公式可统一记为“奇变偶不变，符号看象限”.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.切弦互化的技巧必须灵活掌握.

例2（1）设θ为第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，则sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】 （1）利用两角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再联想平方关系式，解题突破口就是求解关于“sinθ，cosθ”的方程组.（2）要想求出α，β的值，必须知道α，β的某一个三角函数值，解决本题的关键是由两个等式，消去α或β得出关于β或α的同名三角函数值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假设存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由诱导公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

将α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

将α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

综上可知，存在α=π14，β=π16满足条件.

【归纳总结】 （1）对于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）关于sinθ，cosθ的齐次式，往往化为关于tanθ的式子.已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式.

【变式训练2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考点三、三角函数的图象和性质

【考点解读】 能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，理解这三种函数的性质（如周期性、单调性、奇偶性、最大值和最小值、对称中心和对称轴等），函数的单调性是相对于某一区间而言的，研究其单调性必须在定义域内进行.

例3（1）求函数y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定义域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及单调区间；

（3）求函数y=3cosx-3sinx的值域.

【思路点拨】 （1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解.（2）先化为：y=-3tan（x14-π16），再求单调区间.（3）先将原函数式进行等价变形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自变量的取值变化.

【解析】 （1）要使函数有意义，则

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如图利用单位圆得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函数的定义域为：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期为4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递减.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，该函数值域为[-23，23].

【归纳总结】 （1）求三角函数的定义域，既要注意一般函数定义域的规律，又要注意三角函数的特性，如题中出现tanx，则一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函数的定义域通常使用三角函数线、三角函数图象和数轴.（2）对于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ为常数），其周期T=π1|ω|，单调区间利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范围，即为其单调区间.（3）将原函数式化为一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化为关于sinx（或cosx）的二次函数式，切忌忽视函数的定义域.

【变式训练3】

已知函数f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函数f（x）单调递增区间.

考点四、函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用【考点解读】 该考点是高考的必考点.理解函数y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意义及其对函数图象变化的影响.能根据所给三角函数的图象和性质确定其中的参数，并能由一个三角函数的图象通过平移变换、伸缩变换、振幅变换和对称变换得到另一个三角函数的图象.利用三角函数的解析式可研究三角函数的性质和图象.会用三角函数解决一些简单实际的问题.

例4已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由.

【思路点拨】 （1）根据题目给出的周期和对称中心求得函数f（x）的解析式，利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步得到g（x）；（2）将等差数列问题转化为方程在指定区间内是否有解的问题，再构造函数，利用函数的单调性确定零点的个数.

【解析】 （1）由函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω>0，得ω=2，

又曲线y=f（x）的一个对称中心为（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π12个单位长度后得到函数g（x）=sinx.

（2）当x∈（π16，π14）时，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）内是否有解.

设G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因为x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）内单调递增，

又G（π16）=-1140，

且函数G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π16，π14）内存在唯一零点x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）满足题意.

【归纳总结】 探讨三角函数的性质，难点在于三角函数解析式的化简与整理，熟练掌握三角恒等变换的有关公式，灵活运用角之间的关系对角进行变换，将解析式转化为一角一函数的形式，然后通过换元法求解有关性质即可.根据y=Asin（ωx+φ）+k的图象求其解析式的问题，主要从A、k、ω及φ等四个方面来考虑.

【变式训练4】

（1）函数y=2sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是.

（2）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在图中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同学在RtACH中解得AC=11cos72°，据此可得cos72°的值所在区间为.

考点五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及简单的三角恒等变换【考点解读】 该考点是高考的必考点.研究不同三角函数值之间的关系时，常以角为切入点，并以此为依据进行公式的选择，同时还要关注式子的结构特征，通过对式子进行恒等变形，使问题得到简化.在进行三角运算时必知的几个技巧：“1”的代换，正切化弦，异角化同角，异次化同次，变角，变名，变结构等化简技巧.

例5已知函数f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路点拨】 （1）直接代入，根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出结果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角变换公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因为cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【归纳总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.公式的逆用，变形十分重要，常通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数.

【变式训练5】

31cos10°-11sin170°=.

【变式训练答案】

1.解析：（1）设α终边上任一点为P（k，-3k）.则r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

当k>0时，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

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1 引言

虚拟现实是当前最热门的技术之一，随着《阿凡达》、《侏罗纪公园》、《星际穿越》等3D电影的普及，虚拟现实技术及行业迎来了前所未有的发展机遇，目前正面临着爆炸式增长。形象、逼真的三维真实感图形建模是虚拟现实的基础，也是其“沉浸感”体验的前提，广泛应用于影视、游戏、医学等领域。三维真实感图形建模与物体所遵循的物理模型密切相关，如海浪波动、导弹飞行、车辆运动等，分别遵循波动理论、飞行动力学、碰撞理论等的约束。只有遵循严格的物理规律，才能有效模拟出逼真的三维模型。

三角函数是一类经典的数学函数，包括正弦、余弦、正切、余切以及它们的反函数等，各类三角函数间有着复杂的变换关系，如和差关系、倍角关系、半角关系、和差化积关系等。同时，三角函数也是一类典型的波动类函数，通过不同频率、相位、振幅的三角函数运算，可以生成不同类型的波函数。因此，三角函数也是波动类真实感图形建模的数学基础，如海浪、电磁波、舞动的旗帜、毛发、飘动的衣物等。

本文对三维真实感图形建模中的一个典型问题――三维海浪的建模进行了研究，分析了海浪建模中的三角函数及其数学描述，基于三角函数建立了海浪波动的物理模型，给出了三维海浪的绘制方法，并基于三维建模软件OpenGL进行了仿真实现。

2 海浪建模中三角函数的数学描述

选取与海浪建模密切相关的三角函数进行讨论：

・时间自变量三角函数描述：

（1）

其中：A为振幅，ω为角频率，φ为初始相位。此公式可理解为波动类物理现象的基本描述，包括电磁波、水波、声波等，复杂的波动方程是该公式的变换叠加。

・和差运算：

三角函数的和差运算主要用于三维建模中的旋转变换，通过极坐标形式，推导出变换前后的对应关系。以下是由公式（2）推导出的二维旋转变换关系（限于篇幅，推导过程略）：

其中，点P1是点P围绕原点旋转β角得到的新点，P1x、P1y分别是点P1的x和y坐标，Px、Py分别是点P的x和y坐标。三维旋转比较复杂，但可以此类推。

3 基于三角函数的三维海浪建模

海浪的本质是一种水体波动，因此遵循波动约束，对海浪进行仿真模拟，必须遵循其物理运动规律。

3.1 海平面三角函数建模

首先定义坐标系：在海平面上，坐标原点为当前视点，X轴正方向为水平向右，Y轴正方向为竖直向前。设海平面是一个等间距采样的网格点，网格交叉点处的Z值为水体高度。如图1所示。

3.1.1 单个波仅沿坐标轴一个方向传播

在X轴和Y轴上传播公式如下：

其中： A为最大振幅，k=2π/λ为波数，λ为波长；ωi=2πf为角频率，f为频率；φ为初始相位。

3.1.2 单个波在坐标平面内传播

单个波在坐标平面内的传播是X轴和Y轴传播的叠加，如下：

其中：θ为波的传播方向与X轴的夹角，其他参数含义不变。

3.1.3 海面波动模型

依据波动理论，将海浪形成过程分为两步：一是不同波长、振幅的一系列波的叠加；二是相同波长但具有不同的传播方向即与X轴的夹角不同的波的叠加。

设网格交叉点处（x， y）的水体高度初始值为A0，则对于海面点（x， y）在t时刻对应的瞬时波高可表示成：

其中：n为不同波长的波数量；m为同波长沿不同方向传播的波数量；A0为初始浪高；Aij为最大振幅；ki=2π/λi为波数，λi为波长；ωi =2πfi为角频率，fi为频率；θj为波的传播方向与X轴的夹角；φij为初始相位。

3.2 三角形组网

公式（6）给出了海平面的波动模型，基于该公式，我们可以仿真海平面任意时刻、任意位置的海浪波高。现对海平面网格进行三角形剖分，以形成几何模型。其剖分规则为：将正方形网格对角顶点按统一方向相连，从而将每一网格规则剖分为两个三角形。如图2所示。

三角形组网完成后，海面将形成由连续三角形组成的网面，每个三角形顶点的高度坐标由公式（6）决定。此时，海面的波浪起伏状态已经完成计算与建模，只需将三角形网按照图形显示的规则进行绘制即可（通常可借助三维图形建模与绘制的工具软件，如OpenGL）。

3.3 实验结果及其分析

在公式（6）中，在零时刻取A0=0、n=40、m=10、Aij=random（0， 1）、ki= random（5， 10）、θj= random（0， 2π）、φij= random（0， π/2）；在采样网格点数为400×400条件下，基于三维建模软件OpenGL模拟生成了动态海浪，如图3所示。

图3是三维海浪的模拟效果。其中，图3（a）是线框模式，从中可以清楚看出海面网格在公式（6）的作用下，其网格点的高低起伏状况；图3（b）是纹理填充模式，在纹理和光照条件下，较好地模拟了真实海浪。从图3可看出，基于三角函数的海浪模拟可获得较高的真实感，随着参数选取的不同，可生成多种类型效果。进一步的考虑是，将风的因素融合进公式（6），从而引入浪的卷曲和泡沫化等特效。

4 结论

三角函数是一类经典的数学函数，由于其具有波动性质，可有效用于波动类三维图形建模。本文对三角函数在真实感三维海浪建模中的应用进行了研究，给出了建模与绘制方法，最后进行了仿真实现。进一步的工作是将该建模方法扩展至电磁、震动等领域的仿真模拟。

参考文献

[1]郭宇承，谷学静，石琳.虚拟现实与交互设计[M].武汉大学出版社，2015（07）.

篇8

1.教学内容在深度、广度上充分注意了螺旋式上升

螺旋上升是教材编写应遵循的一般原则。螺旋体现在学习主题的相同而内容的深度、广度的不同；上升体现在层次的提升，以及课程内容的深度、广度的适度加深上，而不是简单地再现或重复[2]。

图像变换是高中函数学习的一项重要内容，主要涉及到图像的平移、伸缩（纵向和横向）、翻折等。高中阶段对于这些变换的研究主要体现在指数函数、对数函数、三角函数图像的变换上。指数函数、对数函数图像的变换出现在高中数学必修1教材上，三角函数图像的变换出现在高中数学必修4教材上。从指数函数到对数函数，再到三角函数，研究图像变换的载体改变了，教学内容的深度也在改变；从平移变换到伸缩变换，教学内容的广度也随之改变。教学内容的呈现顺序如下图所示。

2.教学内容呈现的方式过于依赖合情推理，未能做到螺旋式上升

引入合情推理和演绎推理是新课程教材的一大亮点，它有利于在知识传授的同时渗透方法论的教育，有利于帮助学生掌握科学的学习方法。教材编写者在编写教材时除了将“合情推理和演绎推理”作为独立的教学内容外，同时还用合情推理和演绎推理来引领数学的发现。但在具体操作时，尚存在教学内容呈现的方式过于依赖合情推理现象，忽视学生已有的学习基础，忽视学生思维发展规律的现象，显得机械单一。这对学生科学的探究素养的形成是不利的。对苏教版高中教材指数、对数、三角函数图像变换编写进行比较，可以发现这三部分教学内容在呈现方式上都强调了以图识性、数形结合的思想，基本都按“作图观察——理性思考——得出具体结论——一般化”的方式编写。比较如下。

（1）作图观察

①指数函数图像平移变换作图如下：

②对数函数图像平移变换作图如下：

③三角函数图像平移变换作图如下（由于相位变换、周期变换和振幅变换呈现的方式完全相同，故此处只呈现相位变换教材编写的方式）：

（2）理性思考

①指数函数：函数y=2x-2中x=a+2对应的y值与函数y=2x中x=a对应的y值相等；

②对数函数：函数y=log3(x+2)中x=a-2对应的y值与函数y=log3x中x=a对应的y值相等；

③三角函数：函数y=sin(x+1)图像上横坐标为t-1的点的纵坐标，与函数y=sinx图像上横坐标为t的点的纵坐标相同。

（3）得出具体结论

①指数函数：将函数y=2x的图像向右平移2个单位长度，就得到函数y=2x-2的图像；

②对数函数：将函数y=log3x的图像向左平移2个单位长度，就得到函数y=log3(x+2)的图像；

③三角函数：函数y=sin(x+1)图像可以看做是将函数y=sinx图像上所有的点向左平移1个单位而得到的。

（4）一般化

①指数函数：以“思考”的形式呈现：“函数y=ax+h与函数y=ax(a>0，a≠1，h≠0)的图像之间有什么关系？”

②对数函数：以“思考”的形式呈现：“函数y=loga(x+b)与函数y=y=logax+(a>0，a≠1，b≠0)的图像之间有什么关系？”

③三角函数：直接告知一般化结论：函数y=sin(x+φ)（其中φ≠0）的图像可以看做是将函数y＝sinx的图像上所有点向左（当φ>0）或向右（当φ

教材教学内容的呈现强调了从特殊到一般，利用归纳推理的方式进行数学发现，再进行逻辑推理。这是一种常用的数学研究的方法，学生在初三学次函数图像的变换时实际上已经接触这种方法了。但这种方法是否适用于所有不同学段的学生？学生在不断获取新知的过程中，思维方式和学习能力是否始终不变？数学的重要结论是否一定要通过合情推理的形式发现呢？数形结合思想的运用是否一定要从形开始，依图识性？能否依性作图？能否改变教学内容的呈现方式，以适合不同层次学生发展的需要？

二、同一主题教学内容呈现的基本原则

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常见题型：①三角函数的图象与性质；②化简和求值；③三角形中的三角函数；④最值．本文对高考重点、常考题型进一步总结，强化规律，解法定模，便于同学们考试中迅速提取，自如运用．

考点1．三角函数的求值与化简

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构．即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点．

考点2．解三角形：此类题目考查正弦定理，余弦定理，两角和差的正余弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.

例2 设函数f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域为［0,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)内角和定理：三角形内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

(4)面积公式：S=12aha=12absinC.

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A+B+C=π这个特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化．

考点3．求三角函数的定义域、值域或最值：此类题目主要有以下几种题型：（1）考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.（2）考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.（3）考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.

例3 已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）当m=0时，求f(x)在区间［π8,3π4］上的取值范围；（2）当tanα=2时，f(α)=35，求m的值．

解：（1）当m=0时，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

从而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函数的最值主要有以下几种类型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，换元去处理；③形如y= asinx+bsin2x的，转化为二次函数去处理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函数的有界性去解决，也可转化为斜率去通过数形结合解决．

考点4．三角函数的图象和性质：此类题目要求同学们在熟练掌握三角函数图象的基础上对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.

例4 已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期为π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上单调递增，在［π6，π2］上单调递减，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值为2，最小值为-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］从而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路.

篇10

1.概念记忆困难

虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础，但很多学生对三角函数的概念还是一知半解，对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解，而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的，要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学习仅仅停留在记忆上，却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解，必然难以学好三角函数.

2.公式推理困难

在高中三角函数教学中，正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中，难以确定具体的公式内容，自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆，必然是难以实现的，教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.

3.综合运用困难

三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面，无论是填空题、计算题还是简答题，都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现，很多学生难以意识到何时该用三角函数求解，特别是对于一些隐性的函数问题.此外，很多学生虽然意识到要用三角函数知识，却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的，这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时，三角函数与向量、几何图形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系，教师必须对学生实施综合的三角函数教学.

二、三角函数教学策略

1.巧施策略，深化学生记忆

对于三角函数的教学，首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公式的记忆.只有学生记得熟、记得准，在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信，结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此将对三角函数的诱导公式进行总结，为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.

例如，在三角函数的诱导公式教学中，笔者常常假设一个任意角α，要求学生掌握这些诱导公式的记忆，如sin（2kπ）=sinα、tan（2kπ）=tanα等.对于此类公式的记忆，笔者提出：终边相同的角为同一三角函数.又如，sin（π+α）=-sinα、cos（-α）=cosα、sin（2π-α）=-sinα、sin（+α）=sinα等.因此，我们得到以下记忆规律.

①奇变偶不变：对于三角函数中的变角±α，当k为奇数时，需要变换函数类型；当k为偶数时，函数类型不变.

②符号看象限：诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.

③一全正，二正弦，三两切，四余弦：这是用来记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.

此外，对于一系列复杂的三角函数公式（如：sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=等）、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等，我们必须实施推导教学，将各类三角函数公式的推导过程传授给学生，使学生在遗忘的情况下，也可以进行自主推导和验证，从而达到高效记忆的效果.