乘除法的规律模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇乘除法的规律，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

为了加强对出租汽车行业管理，规范出租汽车市场秩序和营运行为，国家出台了一系列法律法规，例如《城市出租汽车管理办法》（以下称第63号文件）、《关于进一步加强城市出租汽车行业管理工作的意见》、《国务院办公厅关于进一步规范出租汽车行业管理有关问题的通知》（以下称[2004]81号）等。近年来，宁波市经济发展较快，出租汽车行业也得到迅速发展，为了对宁波市出租汽车行业进行管理，宁波市在1997年8月1日颁布了《宁波市出租汽车客运管理条例》，并于2012年在公开向社会征集意见的基础上，对《宁波市出租汽车客运管理条例》进行第三次修改，于2013年1月1日实施新的《宁波市出租汽车客运管理条例》。本文拟在对出租汽车行业理论探讨的基础上，结合《宁波市出租汽车客运管理条例》（以下称《宁波市条例》），分析我国城市出租车经营的法律规范。

一、我国出租汽车行业发展认知

我国的出租汽车行业起步于改革开放初期，是依托于国营交通运输企业和旅游公司而发展起来的。在二十世纪80年代，由于车辆投入成本高，消费需求规模较小，出租汽车数量相对较少， 整个行业处于自发发展阶段，经营权的获得主要经由行政审批，经营主体被限制为国营、集体和合资企业。到二十世纪90年代初，随着改革开放的深入，各地出台了一系列鼓励出租汽车行业发展的政策，放松了对出租汽车行业的限制，各种社会资本迅速进入，使出租汽车行业进入了“井喷式”发展阶段，出租汽车数量和种类迅速增加。1993年各地开始将出租汽车作为城市公共资源按照特许经营方式进行管理，陆续采取了数量管制、经营权有偿使用和公司化运营等管理办法。经过多年的管理和发展，初步形成与我国城市化水平相适应、基本能够满足居民特殊出行需要的出租汽车服务体系。

二、出租汽车行业监管的法律规范

出租汽车经营权经营模式决定了出租汽车经营者和司机的利益分配，管理体制的统一协调又有利于出租汽车行业政令的通达和对行业的有效管理。

（一）出租汽车行业管理的法律规范

出租汽车经营权作为一种社会公共资源，需要政府对其进行管制，否则，极易导致经营权的私下炒卖和非法经营的泛滥。

1.出租汽车行业管理体制的法律规范

行业的无序往往是由于没有统一的管理机构或管理机构过多，保证行业的有序发展需要有统一的管理机构，明确的行业管理体制。1998年以前，政府“三定方案”中明确建设部对出租车行业具有管理职权，但从各地实际来看，出现了建设部和交通部对出租汽车行业交叉管理的现象。1998年的机构改革中，国家确定出租汽车管理职能由城市人民政府承担，各地根据自身情况确定本地区出租汽车行业的主管部门。《城市出租汽车管理办法》第七条明确规定：“建设行政主管部门负责出租汽车的管理工作。”2007年出台的《关于进一步做好规范出租汽车行业管理专项治理工作的通知》中要求出租汽车行业要“理顺管理体制……解决多头管理，责权不清，政出多头，政令不通等问题”。根据《宁波市条例》第三条规定：“市和县（市）区交通运输行政主管部门负责本行政区域内的出租汽车行业管理工作。市和县（市）区人民政府确定的出租汽车客运管理机构（以下称出租车管理机构）负责具体实施出租汽车行业管理工作。”可知交通运输行政主管部门是宁波市出租汽车行业的主管部门，而由人民政府确定的出租汽车客运管理机构负责具体实施出租汽车行业管理工作。为了能更好地厘清交通运输行政主管部门与人民政府确定的出租车汽车客运管理机构的关系，理应对两者所属进行界定，建议《宁波市条例》第三条修改为：“市和县（市）区交通运输行政主管部门负责组织领导本行政区域内的出租汽车行业管理工作。其所属的出租汽车客运管理机构（以下简称运管机构）负责具体实施出租汽车行业管理工作。”

2.出租汽车经营模式的法律规范

出租汽车行业经营模式的选择关系到出租汽车行业各方切身利益，影响着出租汽车行业的发展。纵观全国，我国出租汽车行业主要有三种经营模式：挂靠、承包经营模式（北京模式）、个体经营模式（温州模式）、公车公营模式（上海模式）。总的来说，公车公营模式应该具有更大的优势。该模式下，企业与司机是劳动雇佣关系，双方签订劳动合同，司机是企业职工，企业为职工缴纳保险和税费并发给职工工资，双方权利义务关系明确，既利于减轻司机压力又可维护行业稳定。《宁波市条例》第十九条规定：“出租汽车经营者应当与出租汽车驾驶员依法签订劳动合同或者承包合同。出租汽车经营者聘用出租汽车驾驶员，建立劳动关系的，应当依法签订劳动合同，并为出租汽车驾驶员缴纳规定的社会保险费；出租汽车经营者采用承包方式经营的，双方应当协商确定承包费、风险保证金等事项，约定的承包费、风险保证金不得违反市或者县（市）出租汽车管理机构的规定，且承包人不得再次转包。”由此可以看出，宁波市出租汽车行业中存在承包现象也存在公车公营的现象。宁波市作为东部沿海港口城市，经济发展迅速，理应作为改革创新的排头兵，公车公营的出租汽车模式应该成为宁波市的首选模式，但考虑到现实需要，可以允许逐步过渡到公车公营模式。建议《宁波市条例》中补充对公车公营模式的倡导性条款，今后经营权配置应逐步向公司化方向倾斜。

（二）出租汽车行业经营权的法律规范

政府如何出让出租汽车的经营权， 涉及到对公共资源的配置是否公平合理，也影响到政府的调控手段、监管效果。

1.出租汽车经营权出让的法律规范

出租汽车经营权的出让是行业准入的首要条件，出租汽车经营权的出让经历了从无偿行政审批制到有偿出让的过程。《城市出租汽车管理办法》第五条有规定“城市的出租汽车经营权可以实行有偿出让和转让”，81号文件中也规定“所有城市一律不得新出台出租汽车经营权有偿出让政策……逐步推广采用以服务质量为主要竞标条件的经营权招投标方式”，关于经营权的出让方式国家逐渐提倡以服务质量为主要竞标条件的投标方式。《宁波市条例》第七条规定：“出租汽车营运权应当采取服务质量招标方式授予经营者；经市或者县（市）人民政府决定，可以以其他公平、公正、公开的方式授予经营者。”第十一条规定“出租汽车营运权应当逐步实行无偿使用。无偿使用的具体实行时间及办法由市和县（市）人民政府另行确定。”表示宁波市将逐渐实现出租汽车经营权由有偿向无偿的转变，并逐步实现以服务质量为主要竞标条件的出让方式，条例的规定切合国家政策趋势，有利于宁波市出租汽车行业服务质量的提升。

2.出租汽车经营权转让的法律规范

出租汽车经营权一经得到往往被当作个人私有财产而用于私下转让，大大加重司机的工作负担。《城市出租汽车管理办法》中明确规定：“实行出租汽车经营权有偿出让和转让的城市，由市人民政府按照国家有关规定制定有偿出让和转让的办法”。而《宁波市条例》对于经营权的转让问题在第十一条中作了相关规定：“本条例施行后取得的出租汽车营运权不得转让，法律、法规另有规定的除外”。按照该条例的规定，经营权是不允许随意转让的，这似乎与上述《城市出租汽车管理办法》中的规定相冲突。但实际看来，这是符合我国出租车市场发展需要的，禁止经营权的相互转让不仅能遏制经营权价格的炒作，还能有效保障司机集体利益，维护市场的稳定。

3.出租汽车经营权收回的法律规范

当出租汽车经营权期限终止，政府部门要依法收回注销，重新进行审核考查，投放一定数量新的经营权。《宁波市条例》第十二条规定：“客运出租汽车营运权期限为8年，期满后终止，由运管机构注销客运出租汽车营运权证。本条例施行前取得客运出租汽车营运权期限为15年的，期满后终止，由运管机构注销客运出租汽车营运权证”。在此过程中政府相关部门要做好有偿出让的经营权期限到期与新无偿出让经营权出让之间的过渡工作，防止经营权出让的不公平或混乱。

（三）出租汽车行业应对机制的法律规范

出租汽车行业车辆多、人数广、范围大、流动性强，容易引发社会性群体事件。因此，有必要尽快建立起处理类似事件的应对机制，使政府应对突发事件时有规则和路径可循，及时妥善化解冲突，降低社会成本的消耗。《宁波市条例》中并没有对出租汽车行业群体事件应对处理作出规定，为了更好实现宁波市城市客运出租车行业的健康发展，防患于未然，应该在条例中补充完善。

（四）出租汽车行业监督的法律规范

出租汽车行业的监督旨在提升出租汽车行业的服务水平，提升社会福利，满足广大居民的需求。

1.行政监督

我国对出租汽车行业进行行政监督的主要主体是其主管机关和具体管理机构。经营权由政府部门依法出让，因此行政监督比社会其他监督更具有威慑性。《宁波市条例》第十六条规定：“出租汽车经营实行服务质量考评制度。市和县（市）区出租汽车管理机构应当按照服务质量考评办法要求，对出租汽车经营者、车辆和驾驶员实施服务质量考评，每年定期在新闻媒体或者网站向社会公布服务质量考评结果。”作为一种行政监督，考核方法至关重要，因此政府部门要对考核的具体事项做详细的说明，建议可以在《宁波市出租汽车客运管理条例实施细则》中作出详尽解释，并向社会公布。

2.社会监督

篇2

经查实，大成所在未对娃哈哈公司募集资金投向、房屋设备产权关系核实的情况下就出具了法律意见书。

大成所在法律意见书中称“娃哈哈股份公司前次募集资金运用与定向募集募股说明书所述用途相符，且使用效益良好”，“娃哈哈股份公司本次募集资金将运用于娃哈哈制瓶厂项目、娃哈哈五加仑纯净水生产线和娃哈哈制盖生产线项目”。经查证，其招股说明书中所述的前次募集资金用途包括建设美食城大厦、购买下沙工业区土地建设生产基地、生产食品、饮料和食品调料等。截至1998年3月，娃哈哈美食城大厦尚未建成，没有产生任何效益；对果奶瓶项目的投资额仅占其投资总额的10％左右，至1997年5月才生产；而五加仑纯净水生产线在娃哈哈公司申报上市之前已建成并开始试生产。

大成所在法律意见书中还称“娃哈哈股份公司的生产设备及配套设备均为娃哈哈股份公司成立后购置。经查，产权关系清楚，不存在权属争议”，“娃哈哈股份公司占用的房屋主要为办公室和厂房，均已通过租赁方式取得房屋使用权”。经查证，产生娃哈哈公司前三年利润的主要生产设备并非是娃哈哈公司成立后所购置，而是由娃哈哈公司之母公司？？娃哈哈集团公司所有；所述房屋至1997年7月才竣工，至法律意见书出具之日，并未依法取得房屋管理部门颁发的房产证。

大成所在未对募集资金投向、房屋设备产权关系核实的情况下就出具了法律意见书的行为，构成《股票发行与交易管理暂行条例》（以下简称《股票条例》）第七十三条所述“出具的文件有虚假、严重误导性内容或者有重大遗漏的”行为。

为严肃证券法纪，维护证券市场秩序，根据《股票条例》第七十三条的规定，经研究决定：

篇3

    （二）接到医疗事故争议处理申请后，未在规定时间内审查或者移送上一级人民政府卫生行政部门处理的；

篇4

一、数学命题中的逆向思维与叙述

数学命题是对某个问题的阐述，包括前提和结论两个部分，它是陈述问题的原因从而得出结果的一种形式。在长期的数学命题的叙述中，一般都是顺向叙述的方式，而忽略了对数学命题的逆向表述，也忽略了对学生逆向思维的训练。比如，电生磁逆过来是磁生电，从而法拉第的电磁感应定律被猜想出来，之后也被证实。数学教材中的顺逆公式、顺逆关系等也有很多，比如加减问题、乘除问题等，空间中的上下问题、左右问题等，运用逆向思维，可以将数学命题中的知识换个角度进行分析，从而获得不一样的数学体验。

在学习“乘除法”相关知识时，对数学命题进行逆向表述，可以更方便地讲述乘法和除法的关系，并且可以让学生对除法理解得更加深刻。乘法的定义是：几个相同的数相加，就等于这个数乘以加的次数。反过来，除法的定义为：这个数除以加的次数，就等于这个相同加数的值。

“乘除法”课后练一练中有这样一道题：一包糖有80块，若分给2人，每个人分得多少块？如果分给4人呢？8人呢？

例题讲解：运用数学命题的逆向思维方法，80块糖平均分给2个人，可以设想为，2个人每个人有多少块糖加在一起能得出80，2乘以几为8？由乘法口诀，我们知道2×4＝8，再加0，得出每个人40块。以此类推，分别得出答案为40、20、10。

运用命题中的逆向思维，将数学除法中的问题转换为乘法问题，由学生熟悉的乘法口诀，就可以很容易地解答出问题的答案了。

二、数量关系中的逆向思维与分析

数学是表述数以及数字之间关系的一门科学，所以数量关系在数学的学习过程中非常重要。学生对数学的基本思考方式也是通过数量关系来存入脑海的。常用的分析数量关系的方法是顺推的方式，而在教学过程中，运用逆推的方法来分析数量之间的相互关系，可以创新学生的思维模式，提升学生的思考能力，从而为培养出具有创新能力的人才奠定基础。

以“乘除法”课后习题为例：李老师给售货员100元，售货员找给李老师4元，买了3个足球，每个足球是多少钱呢？

例题讲解：在分析数量之间的关系时，我们可以分析，当学生去商店买东西时，应付的钱数与哪两个方面有关？引导学生回答：应该与买的东西的单价以及买的数量有关，用买的单价乘以数量，就是要付的钱了。在本题中，付的钱为100－4＝96元，那么由之前的逆向反思得出，一个数乘以3得96，很容易地就转换成了单价为总价与数量的商。运用数量关系的逆向思维，可以得到公式的变式，从而积累出更多的方法和解题规律。

三、数学问题中的逆向思维与转换

逆向问题和顺向问题是互为相反的过程，需要运用相反的思维方法解决。将问题进行逆向转换，正向问题的条件越多，转换成逆向问题的方式也就越多，也就更考验学生的思维能力和分析问题的能力。在教学过程中，应该引导学生对问题进行分析和理解，让学生了解问题的来龙去脉，这样学生不管应对哪种变式，才能应付自如。在乘除法的学习过程中，会遇到很多乘法和除法相互交叉的问题，只有理解了乘除法问题的精髓，灵活运用正向和逆向思维的交叉和转换，才能正确解答出比较复杂的问题。

例如：一共5只猴子，3只大猴子一天每只摘12个桃子，2只小猴子一天每只摘7个桃子，将所有桃子平均分给他们5只猴子，每只猴子有多少个桃子？

例题讲解：这题是乘除法相互交叉的题目。在分析这题时，运用逆向思维，桃子数＝猴子×每只猴子摘的桃子数，得出大猴子摘了3×12＝36个，小猴子摘了2×7＝14个桃子，总桃子数目为14＋36＝50，那么每个猴子应该得到的桃子数目为50÷5＝10个。数学问题中正向和逆向思维的交叉运用可以解决出比较复杂的问题。

四、数学解题中的逆向思维与应用

在数学解题中，也可以运用逆向思维从需要解决的问题出发，反过来探求问题需要的条件，与题目中的已知条件进行对比，并分析相互之间的关系，追果溯源，讨论问题的解决办法。比如，在乘除法问题中，要求积就需要知道是哪两个或者哪几个因子相乘，要求商就是乘法的逆过程，就得知道乘法中的积和某个因子。

例如：小白兔先把自己的蘑菇平均分成4堆，一堆自己留着，其他3堆送给别的兔子，之后又把自己的那堆平均分成3堆，自己留一堆，其他2堆给别的兔子，自己吃的那份有5个，问最初小白兔有多少个蘑菇？

篇5

众所周知，数学概念本身有着严密的体系，且总是随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。因此，教师必须处理好概念自身的连续性和学生学习的阶段性之间的矛盾，随着数学学习的深入，关注学生对同系概念含义的更新与重构，使概念趋于完善。然而现实中，教师往往比较注重概念的阶段性学习，而忽视了在后续教学中的关联、更新与重构，造成概念顺应上的“脱节”，使学习效果大打折扣。下面以“乘除法意义的发展”为例，通过列举学生在解决小数、分数乘除法问题时的常见错误，分析学生在学习乘除法意义时的思维过程，进而提出改进策略。

一、问卷引发的思考

笔者曾对五六年级学生作了一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力。为了便于比较，问卷以题组形式呈现：

题组1：

一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？

一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？

题组2：

2升桔汁的售价为8元，每升桔汁的售价是多少？

升桔汁的售价为4元，每升桔汁的售价是多少？

题组3：

某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？

某种农药 千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒 公顷麦地需要多少千克农药？

应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目本身也相当基础，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握较好，进入第二学段却暴露出了明显的问题。具体看学生的错误类型，多是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知将哪个数当被除数（如题组2第二题，很多学生用4× 或 ÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。

二、分析与诠释

毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程（如负数、无理数等概念引进后的扩展）中的一个环节。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下的观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注计算本身，对于乘除运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”过场，而恰恰忽视了乘除运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义，以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的 是多少？”，相应的除法则是“求取整体”，即如“已知一个数的 是4，求这个数？”

显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为，这在很大程度上反映了这样的现实：第一组中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；第二组中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；第三组第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。

事实上，以上尽管通过分析学生思维找到了其错误的根源，但我们也应看到这种错误的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数的情况，这当然应当被看成学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识学生在乘除法意义学习中的局限性和困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。

三、小学阶段发展乘除法意义的策略研究

（一）丰富原型，加深对意义的多角度理解

格里尔在“作为情境模型的乘除法”一文中指出：为了使纯形式的推广在直观上能够被接受，必须辅以一些具体情境，在其中所说的推广可以被认为十分必要和完全合理的。对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，我们仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。

在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种：

（1）等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”、“份数”，从而，也就有两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”、“包含除”。

（2）倍数问题。

（3）配对问题。

（4）长方形的面积。

这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显的、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。

如在五上“小数乘法”单元，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义。

经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数域中的认识表征。此时，我不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的本质推广与延伸。

（二）制造冲突，促进学生对概念的主动更新

建构主义认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范和反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义悦纳到已有的知识体系中。

以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中出现这样一组情境：

（1）我的绳子长 米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？

（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的 ，小明的绳子有多长？

引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是 ×3，表示的意义相同吗？这就引发学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个 ”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。

在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化。并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”、“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突——建构——顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。

（三）提取本质，引导学生转换关注视角

前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。

基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过旧有知识已经促成了新知理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中的，脱离题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，我紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算：

（1）把 平均分成2份，每份是多少？

（2） 里面有几个1/5？

（3）10是 的几倍？

（4）一个数的是 是8，这个数是多少？

（5）两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，另一个因数是几？

可以发现，这组题虽然脱离了具体的情境，但都直指除法意义本身。在学生列式后，我追问：你是凭什么选择用除法计算的？是否用除法计算，与题目中的数据有关吗？这时，学生就会走出情境，思考题目背后的意义，思考自己选择的初衷。“分数除法的意义与整数除法相同”，但具体表现在哪些地方呢？“平均分”、“包含除”、“倍数问题逆运算”、“已知部分求整体”等，这些都是除法意义在具体问题中的结构本原。学生知道了这一点，也就能避开数据产生的干扰，而更关注于问题本身的含义，将视角从“关注数据”转换到“关注意义”中来，进而，在面对复杂的情境、复杂的数据时，能以运算意义为依托，将问题简化。

综上所述，小学阶段乘除法意义的教学应着力在阶段性与发展性之间寻求平衡。换言之，对于任何数学概念的教学，教师都要立足于学生的思维状态，关注其对概念的不断更新、发展、重构，及时排除概念发展中的障碍，从而达成概念教学效果的最大化。

篇6

笔者曾对五、六年级学生作过一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力的情况。为了便于比较，问卷以题组形式呈现。

题组1：

一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？

一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？

题组2：

2升橘汁的售价为8元，每升橘汁的售价是多少？

升橘汁的售价为4元，每升橘汁的售价是多少？

题组3：

某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？

某种农药千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒公顷麦地需要多少千克农药？

应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目也是一些基础题，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握得较好，进入第二学段却暴露出了问题。具体看学生的错误类型，都是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知哪个数是被除数（如题组2第二题，很多学生用4×或÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。

二、分析与诠释

毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现了不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程中的一个环节（如负数、无理数等概念引进后的扩展）。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注的是计算本身，对乘除法运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”走过场，而恰恰忽视了乘除法运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义。以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的是多少”，相应的除法则是“求整体”，如“已知一个数的是4，求这个数”。

显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为这在很大程度上反映了这样的现实：题组1中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；题组2中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；题组3第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。

事实上，尽管通过分析找到了学生思维出错的根源，但也应看到这种错的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数中运用，这当然应当被看成是学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识到学生在乘除法意义学习中的局限性和遇到的困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。

三、小学阶段推广乘除法意义的策略

（一）丰富原型，加深对意义的多角度理解

对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，教师仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。

在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种。

1.等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”“份数”，因此，也就有了两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”“包含除”。

2.倍数问题。

3.配对问题。

4.长方形的面积。

这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。

如在五年级上册“小数乘法”单元中，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义。

经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生了很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数领域中的认识表征。此时，笔者不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3相加（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的推广与延伸。

（二）制造冲突，促进学生对概念的主动更新

建构主义者认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范或反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义引入到已有的知识体系中。

以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中展示这样一组情境：

（1）我的绳子长米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？

（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的，小明的绳子有多长？

引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是×3，表示的意义相同吗？这就引发了学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法中出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。

在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化，并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突―建构―顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。

（三）提取本质，引导学生转换关注视角

前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。

基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过已有知识已经促成了对新知的理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中，脱离了题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，笔者紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算。

（1）把平均分成2份，每份是多少？

（2）里面有几个？

（3）10是的几倍？

（4）一个数的是8，这个数是多少？

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1.1 教学中忽略了模仿练习和习题中的“例题”。新教材的解决问题分散在各单元教学中，题目包含了老教材中大部分的例题，并增加了新知识，但题量较少，因此，从例题到习题变化较大，例题是一种题，习题出现了多种题目。这样的优势是能促使学生关注解决问题的策略，形成解题计划，发展数学思维能力。但问题是少了必要的模仿巩固，教学中我有时也忽略了这个问题；某些题目在教材上是首次出现，我有时也没有按照例题来教学，学生实在很难掌握。部分学生在解决新问题时出现思维障碍，久而久之在解决问题方面也形成了心理障碍。

1.2 忽略了分析数量关系，解决问题时较急躁。新教材中的解决问题重视情境的创设，重视素材的现实性和趣味性，呈现形式图文并茂，鼓励学生根据已有的经验解题，只出现一两句关键的数量结构。所以，教学中，我们更多是关注情景创设，关注信息收集，而忽略了数量关系的分析。

1.3 弱化了解题策略的引领。新教材在解决问题的教学中，重视从学生的生活经验出发。教学中，我只重视了鼓励学生利用已有的生活经验进行解题，弱化了根据题目的特点和学生的思维发展水平，使学生掌握一些常用的解题策略。

1.4 忽略了认知结构的形成。教学中，只重视联系学生经验，重视情境创设，注意信息收集，引导学生自主探索方法，忽略了认知结构的形成。表现在以下两个方面：一是，复杂情境的干扰，创设的情境过于花哨，学生受复杂信息干扰过多，不能关注问题的关键；其次是结构训练的缺失，新教材中的解决问题是分散的，教学中有被教材牵着鼻子走的现象，有时有就题论题的教学现象，不能使数学知识结构化。

2.提高学生解决应用题能力，排解心理障碍的策略。

针对以上的问题，我认为应用题部分的教学，除充分利用新教材的优点——重视联系学生经验，重视情境创设，注意信息收集，引导学生自主探索方法等。同时，也应传承传统应用题的教学精粹。现主要针对教学中的缺失，谈谈如何改进应用题教学：

2.1 透彻理解数量关系。

2.1.1 牢固掌握基础知识。理解和掌握数量关系是解答应用题的前提。应用题与式题的最大区别是：它不用符号而是用文字表达数量之间的关系。学生只有把应用题中用问题表达的基本数量关系弄清楚，才有可能正确列式。而学生要透彻理解数量关系，首先必须牢固掌握一些基础知识，包整数加、减、乘、除的意义，以及使用范围。特别是加减法中，已知较小数及两数的和或差求较大数，已知较大数及两数的和或差求较小数，以及乘除法中，关于1倍数的认识；加与减，乘与除互为逆运算关系；常见的乘除法三量关系，如单价、数量、总价等；一些名词术语的确切含义，如：和、差、积、商、扩大、缩小、增加、减少、增加到、减少到等；每一个概念、性质、公式等。

2.1.2 夯实简单应用题的教学。除牢固掌握这些与理解应用题数量关系有着直接关系的基础知识外，还要加强简单应用题的教学。了解简单应用题的结构条件和问题之间的相依关系是解答复杂应用题的基础。所谓应用题中的数量关系，具体说，也就是已知条件和问题之间的关系，几个已知条件之间的关系。简单应用题的教学，可以使学生熟练地掌握多种数量关系。因此，要提高学生解答应用题的能力，就必须在简单应用题的教学上下功夫，对学生严格要求，严格训练，不仅要求学生懂得题意，能正确列式，而且要求能用简单明确的语言讲清数量关系。在这方面 ，可以采取很多办法。如：在学生理解了加减乘除的意义及应用范围后，让学生编题、变题、填条件、填问题、讲题画图等。这样做，不仅可以对各种数量关系进行区别、对比、综合、归纳，加深对这些数量关系的理解，同时，还可以学习一些推理方法。简单应用题的教学方法 很多，应当结合学生的实际情况，选择有效的教学方法，不能强求一律。但无论采取哪种教学方法，都应达到两个要求，一是能根据两个已知条件提出各种问题；二是能根据一个问题，找到与问题有关联的已知条件。

以上所说的加强基础知识教学和简单应用题的教学是透彻理解应用题中数量关系最关键的两点，这两点突破了，就为学生理解复杂的应用题的数量关系创造了十分有利的条件。复杂应用题由于已知条件和问题之间的关系较远，中间隐蔽了一些条件，所以，分析数量关系比较困难。为此，需要引导学生认真读题，弄清题意，把条件分类，再分析数量关系。

2.2 培养推理的能力，学会推理的方法。一般说，分析数量关系的过程，就是学生判断推理的过程。但由于题目变化很多，学生在解题时往往感到茫然，无从下手，所以必须使他们掌握推理方法。

分析法是由未知推得已知的方法，它的思考过程是从问题开始推导，即要解答所求的问题需要什么直接条件，再以此类推下去，直到所需的条件都是题中已给的条件时，问题才算解决。

综合法是由已知推向未知的方法，它的推导过程是从已知条件开始，一步步求出解答问题所需要的未知条件，最后求出问题。

这两种方法不是孤立的，是互相关联的。由问题入手进行推导时，虽然主要是根据问题找条件，但同时也要思考，找出的条件能不能解答所求的问题。同理，由条件入手思考时，也要考虑所求的问题，否则推导就失去了方向。至于应该采取哪种方法进行推理，要因题而异，灵活应用。

另外，我们在教学中还可以应用其它一些方法进行推理：

（1）列关系式。它比较适用于简单应用题。如：求一个数是另一个数的百分之几的问题。学生往往把除数和被除数颠倒了，但只要一列关系式就可以解决了：乙比甲多百分之几，可列关系式为：乙比甲多的数÷甲

（2）画图推理。它本身类似综合法，但它非常直观，特别是解答复杂的倍数关系或分数乘除法应用题时，通过画图能使学生一目了然，常常能起到恍然大悟的作用。如前所述的题目，一画图，学生便很容易列式解答：

总之，推理方法很多，但都源于综合法和分析法，前面列举的几种就是如此。所以，运用综合法和分析法进行推理是解答应用题的基本方法。

2.3 注重揭示应用题的规律。任何事物都有它本身的规律，数学作为一门自然学科，也同样如此。揭示规律才能开阔学生的思路，受到举一反三的效果。揭示规律通常采用的方法有两种：

一种是对比的方法。如分数乘除法应用题，题目本身差不多，学生在判断时却经常出错。如何揭示它的规律呢？在讲完分数乘除法，经过大量练习后 ，老师可以给三个已知条件，让学生组成三个问题，研究三个问题之间的关系。

三个条件：甲储蓄400元，乙储蓄500元，甲是乙的4/5

三个问题：

（1）甲储蓄400元，乙储蓄500元，甲是乙的几分之几？

（2）甲储蓄400元，甲是乙的4/5，乙储蓄多少元？

（3）乙储蓄500元，甲是乙的4/5，甲储蓄多少元？

三个算式：400÷500=4/5 400÷4/5=500（元） 500×4/5=400（元）

引导学生发现分数乘除法应用题的三种基本类型，就是乘法运算和它的逆运算。把这三种类型应用题不断同时出现，让学生反复区别它们的不同特点后，再总结规律。使学生从模仿（巩固基本数量结构）到变化（建立问题模型），达到举一反三，触类旁通的实效。

另一种是用矛盾的转化揭示规律。如：复杂应用题可通过转化，分解成几道一步计算的应用题来解，几个小题分别解决了，大问题也就解决了；反之，也可以把几道一步计算的应用题合并成一道复合应用题解。在相互转化中，引领学生了解简单应用题与复合应用题的关系，掌握复合应用题的结构，从而提高解决问题的能力。

2.4 学会灵活运用所学的知识。学生掌握某些解答应用题的规律不是最终的目的，更重要的是能运用知识解决实际问题。所以，能否会灵活应用所学知识，是衡量一个学生能力高低的标志。灵活不是单纯的多练就能奏效的，关键在于学生对某些问题理解程度。对问题本质认识越深刻，运用起来也就越灵活。因此，要把知识教活，必须在“懂”字上下功夫，就必须在揭示知识本质上下功夫。

2.4.1 充分利用知识的内在联系，使学生逐步加深对概念本质特征的认识。学生解答分数乘除应用题时常出现这样的错误：把分数乘除法中“÷”的题做成“×”，其原因是学生总用整数乘除法的规律去理解分数问题。有些学生不懂得求一倍数用除法，求一个数的几倍或几分之几是多少用乘法，总是用整数乘除法中越乘越大，越除越小的规律去套分数应用题，结果是乘除混淆。由于学生分数乘除法的意义这一概念的本质特征没有真正理解，所以经常出错误。因此，教学中，应抓住知识的内在联系，充分揭示分数乘除法关系的本质特征，做到温故而知新，逐步深入。

2.4.2 留有余地，加强练习。要使知识转化为能力，还要加强练习。针对新教材练习的特点，应适当增加练习，但一定要注意针对性和灵活性。如针对新教材中新题在习题中出现，必须按例题来教；新题教后，应适当增加模仿练习，巩固技能等。至于题目中灵活性，可采用一题多变、一题多解、条件适当变难等。但须注意的是：①一题多变，要多而不乱。是指题目的变化要用同一件事，从不同的角度出发，提出不同的问题，尽管题目多但不乱，否则，一个题目说一件事，就容易乱。②一题多解，要比较优劣。③条件适当变难，要难而不繁。是指变化一个或两个条件，使题目有一定难度，而不是变化一个或几个条件 ，再引出一些条件使题目很复杂。只有有效把握题目变化的程度，才有可能使学生所学的知识逐步深化，从而达到灵活运动的目的。

总之，应用题的教学是新课程改革中面临的新问题，我们应整合应用题教学的优点，脚踏实地，才能收到实效。

参考文献

[1] 缪玉田编著：《北京市数学教学经验汇编》，化学工业出版社，1982年版。

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初中数学是对生活表象的抽象和归纳，是为了进一步解决和预测学生所会遇到的基本生活问题而设立的古老课程，它追求的是学生个性和理性的张扬，注重的是在教师的启发引导下，学生独立自主的学习和思考。所以，科学有效地设计初中数学课堂上的疑问，启发学生的数学思索和探究，是高效进行初中数学教与学的基础性前提之一。

一、可探：问题设计紧扣教学内容

初中数学教学基于特定的历史背景，将特定的数学知识隐匿在学生熟悉的生活情境之中，并通过一系列的科学设问，引发学生的探索和思考，让学生亲身经历数学知识的形成过程，充分体验问题与思索所带来的巨大成果。而“合宜的问题”与“科学的设问”应当成为这一愿景的出发点之一。初中数学教学中所设计问题必须要合乎既定的数学教学内容要求，具有可探究的价值和意义，保证学生经过探究后能够得到数学素养的升华。

例如，教学人教版初中数学七年级上册“有理数的乘法（三）”时，本节课是“有理数乘法”教学的延伸，主要是要引导学生通过练习、观察、思考、体验和总结，进一步熟悉有理数乘法的运算法则，并能够利用乘法运算律来解决有理数的乘法问题。因此，本课所设计的数学思考和探索问题应当以这个基本的教学内容为基础进行辐射。如：

师：老师将出示几道题目，请同学们快速进行运算，自己考查自己，看看对“有理数乘法”掌握的程度。

学生马上有板有眼地算着每一道题目；略有所思的学生在观察这些题目后，并没有花费太多气力去计算每一道题目。

师：老师发现大家都能准确且快速地进行运算，那接下来，老师请同学们思考：根据你的运算，并观察这些题目，你发现了什么？

生：题目里面包含着乘法运算律，我们只要根据乘法运算律，就能算出另外一题，不要每一题都去计算。

学生基本能够自己得出运算结果，并在观察并思考后，发现这些基本的规律，慢慢接近本课教学的主体内容。

反思：本课的问题设置是基于学生的练习实践提出的，学生已经具备了直观的感知，所探寻的结果是本课教学的重点和主要内容――乘法运算律在有理数乘法中的运用。这些问题贴近教学主题，对于学生的探究和思考非常有价值和意义，是可探的问题。

二、能探：问题设计贴近学生经验

初中数学的问题创设如果只是保证“可探”，只是注重问题本身所具有的价值，那这些问题只是既定数学知识得以体现的标识而已，并不意味着学生就有能力去探索。所以，初中数学问题情境的创设还应当基于学生的成长规律，贴近学生的生活经验，让学生不仅有能力探索问题，而且能够以自己的数学潜能和经验从这一问题中得到新的数学知识和经验。

例如，教学人教版初中数学八年级下册“分式的乘除”时，在本课教学之前，学生已经学习了分式以及分式的基本性质等知识，本课就是为了引导学生根据这些知识，学会进行分式的乘除混合运算。所以，教师在设计探究问题时应当以学生的数学知识基础和数学经验系统为出发点。如为了让学生在亲身实践和探索中习得分式乘除的一般运算法则和规律，笔者设计了这样一个问题情境：

师：教学之前，我们先来看看以下几道题目，看看你会不会算呢？

学生都能算出这几道分数的乘除运算的结果。

师：既然大家都会计算，那谁能告诉老师，你认为你是根据什么样的方法进行计算的？

生：先看顺序，因为这是乘除法，所以要“从左往右”进行计算；再把除的变成乘的；然后根据乘法法则进行计算就可以了……

师：对啦，这就是我们以前所学过的分数的乘除法运算，同学们都学得非常好。那接下来老师再让你们看看这几道题目，请大家认真思考，根据我们学过的分数乘除运算，这些题目应当如何进行运算呢？

生：我们可以根据分数乘除运算法则，先将题目中的除法运算变成乘法，然后根据乘法运算的运算法则和顺序进行计算就可以了……

师：大家都说得非常好，我们可以借鉴分数乘除法运算的法则来进行运算，剩下的就是我们前面所学过的分式的化简……

反思：整个问题设计和问题解决的流程以学生熟悉的“分数乘除法”为基础展开，让学生通过类比和思考，自然而然地获得了分式乘除法运算的基本法则，非常贴近学生的数学认知水平。

三、想探：问题设计渗入积极元素

可探是指向数学问题本身的概念，而能探则主要以学生的数学知识结构以及经验系统为出发点来考虑，这两个方面只是为初中生提供了问题探究的硬件系统，如果没有初中生发自内心的参与，没有一系列软件的自动化运作，再好的问题也难以收获好的成效。因此，初中数学课堂教学在设置疑问时，最为重要的一环便是要保证问题能够让学生想探，即要以学生的个性和需求为根本指向，渗入各种积极性元素，给予学生探究的乐趣，只有学生有了兴趣并开始享受期待，才能激起学生的无限探究热情。

例如，在教学人教版初中数学九年级上册“一元二次方程”时，笔者引导学生步步深入，通过各种实例引入一元二次方程，并引导学生解构一元二次方程的基本特征后，为了巩固学生对一元二次方程中“二次项系数”的认知，笔者在下课前设计了一道竞答题，并告诉学生，先算出来的举手示意，经老师确认正确后可以事先下课，到操场进行自由活动，具体如下：

每一个学生都能够充分地开动脑筋进行思考和探索。

总之，观察初中数学课堂可见，师生互动与交流已经开始盛行，而这种互动的背后必然要以经过科学设置的问题为基础，才能延伸出数学知识的本质和内涵，也才能充分激发初中生的数学探究意识和能力。因此，初中数学教师应当将问题情境的创设作为一个重要的教学素养来培养，让科学的问题设置导出有效的学习成就。

参考文献

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作为小学教师，我们平时除了加强学生的心理辅导外，最实在有效的方法就是加强应用题的读题训练，指导学生多读。

那么，如何指导学生读题？经过近几年的教学实践，笔者认为可以进行如下尝试：

一、初读，即熟悉性地读

读清应用题的每个字、每个词，做到不添字、不漏字，知道这道题讲了一件什么事，这是很重要的。读完后，不看书想一想，用自己的语言说一说题目的意思。

二、细读，即对应用题反复地读

读出应用题的突破口，读出思路，读出方法。细读又可以分为批划性地读、寻找性地读、逆向性地读、替代型性读等。

1.批划性地读

分数乘除法应用题中都有说明两个量之间关系的句子，这些句子是应用题的题眼、解题的突破点、是关键句，所以在分数乘除法应用题的课堂教学中首先要培养学生找准关键句的能力。如11册分数乘法应用题，例2“小亮的储蓄箱中有18元，小华储蓄的钱是小亮的5/6，小新储蓄的钱是小华的2/3，小新储蓄了多少元？”题中“小华储蓄的钱是小亮的5/6，小新储蓄的钱是小华的2/3，”第一句把小华的存钱和小亮的存钱关系交代清楚了，第二句又说明了小新和小华存钱的关系，这两句在题中缺一不可，所以它们是本题的关键句。在平时的课堂训练中，不但要培养学生找出关键句，还要在关键句下面画上线，让他们在动脑、动手的同时能进一步理解题意。

2.寻找性地读

不管是简单的分数乘除法应用题还是稍复杂的分数乘除法应用题，题中都有关键句，关键句中都有单位“1”的量，准确找出单位“1”的量是解答分数乘除法应用题的前提条件。读关键句找单位“1”的方法一般有两种：关键句中，分数前面有个“的”，“的”字前面的量就是单位“1”的量；关键句中“比”“是”“占”“相当于”字后面的量是单位“1”的量。掌握了找单位“1”的方法和规律，学生在实际做题中就避免了无从下手或猜测的尴尬。

3.逆向性地读

有些乘除法应用题的关键句比较复杂，学生比较难理解。如“今年比去年增加■”，单纯对单位“1”的量进行补充性地读，“今年比去年增加了去年的■”还是不够的，学生往往理解不清楚到底谁是去年的■，所以还应该对它进行逆向性地读，“今年比去年增加了去年的■”，去年的■就是今年比去年增加的。

4.替代性地读

有些学生对分数乘除法应用题的对应分率容易找错，可以进行替代性地读。如“甲比乙增加■”，学生能够找出单位“1”是“比”后面的“乙”，那么也可以把“乙”用单位“1”替代进去再读一读，读成甲比“1”增加■，那么甲就是1+■。

三、再读，在解答应用题后一定要再读一读，看看每一步是否合理，是否符合题目的意思

分数乘除法应用题其实并不难，只要平时能脚踏实地扎扎实实地对学生进行诸如此类的读题训练和思维训练，相信学生也一定能转怕学厌学为乐学爱学！

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现象一：环节前后“脱节”。三年级下册《乘法》单元第一课时《两位数乘以两位数》，内容是让学生通过列横式分步计算，然后出现竖式，接着让学生探索竖式每一步的意义，得到结果。一些教师把分步算法与列竖式孤立开来，重点教学竖式的格式、算法，忽视列竖式的基础、每一步的意义，忽视竖式形成的过程，致使学生把解决此问题的理解定位于“用竖式计算”。

现象二：竖式算理“忽略”。三年级上册《除法》单元第一课时《两位数除以一位数》，内容是让学生通过情境图“4筒加6个羽毛球共46个，平均分给两个班，每个班分得几个？”进行计算，一些教师注重了竖式计算的算法，忽略了具体的算理：为什么先用最高位去除？竖式中第一步获得的“4”表示什么意思？整个竖式里，出现了两个“4”和3个“6”，分别是什么意思？使得学生只会计算结果，而对每一步的意义不甚了解。

现象三：教材意图“不解”。二年级下册《有余数的除法》单元第二课时《两位数除以一位数》：妈妈买了12个苹果，每4个放一盘，可以放几盘？如果每5个一盘呢？教材中创设了分苹果的情境，先安排学生分一分，通过口算算出结果，接着介绍了竖式的方法，再通过类比教学有余数的除法。有些老师孤立地进行竖式算法的教学，无视教材的编写意图，脱离了具体的教学情境。其实这里是第一次出现除法竖式，对竖式的算理、求商的方法，学生的学习是有困难的。我们要让学生在具体的操作活动中，依托除法的竖式，通过类比推理学习和理解有余数的除法的计算方法，帮助他们体会除法的算理和算法，进一步加深对除法含义的理解。

纵观以上常见的课堂教学现象，可以归纳为两类问题。

第一是教师对知识点教学的“孤化”。由于数学的知识分散在每一册、每一个单元中，一些教师往往将知识和技能分解成若干个知识点和能力点，再围绕这些“点”进行强化训练，最终留给学生的很可能就是几个符号、算式，数学本身的意义也简单化地变成了题目的计算和应用。竖式计算这个知识点分散在每册中，但都不是单独存在的，它的准确性、形象性、生动性能够从整体的结构关系中表现出来，如果教学中仅关注竖式计算，很容易导致竖式教学的“孤化”，影响了学生对整个竖式体系的理解。

第二是教师对学科结构整体把握能力薄弱。或许是对教材体系不熟悉，或许是缺少整体建构的意识，或许是对竖式的理解不够深入，一些教师重视单类竖式的教学，忽略所教内容的基础和结构位置，导致了所学新知未纳入学生的知识理解体系中，支离破碎，学生很快就遗忘了。语文教学中倡导“字不离词、词不离句、句不离篇”，竖式教学也要对新知进行“整体感知―局部研读―整体把握”，充分考虑整体与所学新知的关系，从竖式的整体网络上思考，在竖式的整个单元中体会，才能帮助学生整体地把握竖式的本质。

二、赋予竖式计算的现实意义

1.整体把握内容标准

数学教材根据学生的学习认知规律、知识背景和活动经验，合理地安排学习内容，形成了比较严谨的编排体系，教师要基于数学学科知识之间的逻辑关系，理清数学学科内在的知识结构，培养学生思维的正向迁移能力，使学生能够用综合的眼光去发现问题、认识问题和解决问题。

2.突出单元整体设计

数学教材内容的编排是以单元结构形式呈现的。教材将有内在联系的、具有共同主题的内容构成一个整体，并且根据学生的认知规律，由浅入深、由易到难地进行编排。计算单元内容编排一般结合口算、估算、竖式笔算、混合运算及解决问题综合编排，竖式作为其中的重要部分与其他内容相辅相成。教学时我们要将一个单元当作一个整体进行思考，优化组合，整体设计，以整体渐进的方式推进教学。

下面以五年级上册“小数乘除法”单元为例，进行说明。

（1）整体思考单元体系。系统论强调：“整体大于部分之和。”教学单元是相互联系的若干要素按一定的方式组成的统一整体，其规模的大小是不同的，并且是有层次的。在以竖式计算为主的单元中，竖式教学的顺序有着较强的逻辑性，这就需要我们在教学前进行单元整体解读，以此感知本单元的学习内容，理清单元的知识结构。“小数乘除法”单元分五段：第一段学习小数乘整数的计算方法，探索小数点移动规律；第二段学数是整数的小数除法，探索小数点移动规律；第三段学习小数乘小数，求积的近似值；第四段学数是小数的除法，求商的近似值；第五段学习小数四则混合运算。五段教学后安排整理与练习。

（2）整体设置单元目标。单元教学的整体性是指在教学过程中要综观整个单元教材的教学目标，厘清知识内容，明确各知识点、数学方法之间的内在联系，弄清教学的重难点，使教学形成整体结构。如“小数乘除法”这一单元，我们要系统理解编排意图：一是在情境中学习，让学生联系整数乘、除法的意义理解小数乘除法的运算意义。二是明白小数乘除法混合分段编排特点，便于学生根据不同学习内容选择合适的学习方式。三是由易到难安排教学层次，突破教学难点。教学中安排的例题都是帮助学生在掌握基本方法的基础上，逐步突破难点的，所以每个知识点的掌握程度直接影响到下个知识的学习，知识点前后关系紧密。整体把握单元目标，既要考虑小数乘除法的知识基础和后续学习作用，又要考虑本单元螺旋上升的教材编排体系，还要考虑学生学习能力的持续发展，只有这样设置的单元目标才能真正体现出整体性。

（3）整体进行单元回顾。学生学完一个单元后，要引导学生进行整体回顾，这样在学习过程中能进一步构建知识体系，强化所发现的数学方法和数学规律，拓展认识。如“小数乘除法”单元，内容比较多，且难度较大，所以在单元复习时，可以围绕小数乘、除法计算的关键环节，让学生讨论“小数乘、除法的计算与整数乘、除法有什么联系？”“怎样确定积的小数位数？”“怎样把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法？”三个问题，让学生体会到：小数乘除法与整数乘除法有着密切的联系，都可以转化成整数的乘除法来计算，只不过需要另外考虑积或商的小数点位置，帮助学生进一步体会竖式计算的内在联系，体会“转化”这一数学思想方法的应用价值。

3.整体研析编写意图

数学教材是教师实现教学目标，开展教学活动的主要载体，也是师生共有的重要教学资源。每个教学例题都是根据课程标准精心挑选和设计的，所以例题中的每一个信息、图例都不能忽略，竖式教学的例题也是如此。教师要领会教材编撰意图，深刻把握教材本质，让竖式不再“孤独”。

（1）直观操作，提升感知。在数学学习中，直观操作能有效推动内在的思维，有利于把具体的感知上升为理性的认识。教材依据学生的认知特点，在三年级上册前的竖式计算都安排了直观操作，目的是通过有序的操作，帮助学生理解竖式的结构和计算过程。如二年级下册的“有余数除法”，教材创设了把12个苹果每5个放一盘的问题情境，引导学生通过在图上圈一圈的操作，解决了平均分的问题，并告诉学生“有余数的除法也可以用竖式计算”。具体的操作活动，有利于他们体会有余数除法的算理和算法，进一步加深对除法含义的理解。

（2）凸显过程，丰富认识。竖式教学的教材编写非常关注学生数学知识的形成过程，我们在教学中要注重将操作过程、计算过程和算式书写过程有机结合起来，以帮助学生更好地理解每一步算式的含义。

一是整合操作计算。如三年级上册“两位数除以一位数”，教材呈现“用小棒代替羽毛球分一分”的操作过程以及口算计算的方法，在此基础上，让学生用竖式表达分的过程和结果，并提示结果书写的位置。这样的操作过程和口算的方法，不仅能够帮助学生解决问题，而且赋予程序化的竖式计算以现实的意义。

二是分步理解算理。如三年级下册“两位数乘两位数”，在学生自主探索的基础上，教材依次呈现了三个虚线框内容，又进一步抽象为一般写法，这样不仅让学生清楚了每一步结果是如何得到的，而且明晰了每一步的计算结果所表示的实际意义。

三是突出差错转化。如五年级上册的“小数加减法”，教材在出示情境图后，让学生联系已有的知识经验，独立用竖式计算，然后进行差错对比交流。通过对竖式书写形式的比较和小数意义的分析，让学生一下子明白了只有相同计数单位才能相加，从而更好地体会小数点对齐就能使相同数位上的数对齐这一意义。

四是展现推理过程。如五年级上册的“小数乘小数”，学生已经具有将小数乘法转化为整数乘法进行计算的初步经验，教材先引导学生进行估算，为笔算提供了支持。接着教材提出问题，乘得的积发生了怎样的变化？怎样得到原来的积？通过竖式旁给出的形象的推理过程，帮助学生借助直观认识并理解了算法。

（3）借助素材，支撑理解。随着学生年龄的增长和生活经验的丰富，教材从三年级下册开始，选取了更多的学习素材来激发学生已有的生活经验，用生活经验支撑对竖式计算解法的理解。如三年级下册的“两位数乘两位数”，通过“每箱南瓜24个，运来12箱，一共有多少个？”这个生活中的素材，启发学生可以分别算出10箱和2箱的个数，再把两次算出的结果相加，相机列出竖式，解释每一步的意思，这样就比较容易地让学生理解了竖式的算理和算法。