图论在化学中的应用模板(10篇)

导言：作为写作爱好者，不可错过为您精心挑选的10篇图论在化学中的应用，它们将为您的写作提供全新的视角，我们衷心期待您的阅读，并希望这些内容能为您提供灵感和参考。

篇1

生物化学作为一门基础学科是连接基础课与临床课的桥梁，在医学本科教学中具有非常重要的作用。然而，该学科概念抽象，分子结构繁多，代谢途径错综复杂，学生普遍认为难以理解和记忆。2007年9月～2008年2月对教学方法进行“图表式”改革，收到良好的效果，现报告如下。

1 对象与方法

1．1 研究对象

随机选取以传统教学为主的80名学生作为对照组，以“图表式”教学为主的80名学生作为实验组，两组学生在上生物化学课以前学习成绩无明显差异。

1．2 教学方法

以《生物化学》第6版[1]第1章“蛋白质化学”到第7章“氨基酸代谢”为本次教改的授课范围。对照组同学以文字讲解为主描述每章的主要内容，实验组同学根据每章节内容设计图表，以图表来概括讲述章节的主要内容。

1．3 教学效果评价

采用师生恳谈与自行设计的调查问卷方法。参考文献[2]和[3]设计问卷了解学生对“图表式”教学方法的评价及对基础知识掌握情况；抽取期末考试这7个章节的题目，按百分比值校正学生的实际分值，≥80分为优，60～79分为良，＜60分为差；通过2组学生在这些题目中取得的成绩来判断“图表式”教学方法的效果

1．4 统计学处理

用SPSS10.0 统计软件，实验数据用x±s表示，以t检验及χ2检验进行差异的显著性检验。

2 结果

实验组学生对“图表式”教学方法的评价结果：很好为30 %，较好为50 %，一般为20 %。实验组学生对课堂内容理解率达到60.4%，比对照组50.3%提高10.1个百分点；实验组学生对课堂内容不理解率为10.5%，比对照组24.9%下降14.4个百分点。调查表明，实验组课后能记住50%课堂内容的学生＞85 %，而对照组中能在课后记住50%课堂内容的学生为60%～70 %。两组学生期末成绩，见表1。表1 实验组与对照组《生物化学》期末考试成绩比较（略）注：（1）实验组与对照组比较，P＜0.05。

3 讨论

生物化学理论知识比较抽象，难以理解，需要记忆的知识点很多。因此，改进教学方法，帮助学生克服困难，是提高教学质量的重要环节[4]。“图表式”教学具有形象直观，变复杂为简明，看后不易忘记等优点，克服了文字抽象、拖沓等缺点。利用图表的优点，可以帮助学生形象直观地掌握课程的重点和难点。上课时以讲解图表为主，教师讲起来有逻辑性，学生听起来易懂便于记忆。如在讲“酶的化学组成”这一节内容时，传统的授课方法安排半个学时给学生讲解酶的组成成分及相关功能，课后仍有部分学生混淆全酶中蛋白质部分和非蛋白质部分的功能，而“图表式”教学方法只用一个结构图就可以清楚讲解要求学生掌握的基本内容。实践证明，“图表式”教学不仅可以大幅度提高教学过程中的信息传递量，而且加深学生对知识点的理解，增强记忆，收到事半功倍的效果。

以物质代谢为主的动态生化是生物化学的主要知识点之一，生物体内各种物质代谢不是孤立的，横纵向之间相互联系构成网络式知识结构体系，所以必须用联系的观点学习物质代谢[5]。传统的教学方法在这方面做得不够，但“图表式”授课方式显示出它的优越性。如在讲完三大物质代谢后，可以让学生把三大物质代谢的主要代谢过程用“箭头反应式”画在同一张纸上，代谢过程中反映代谢途径特点的步骤，如关键酶催化的步骤、产生能量的步骤等，用不同颜色的笔标记出来；另外不同代谢途径的交叉点也用记号笔标记出来。这样，在图表上可以一目了然地知道每个代谢途径的特点，不同代谢途径的联系点。学生在反复复习这个图表后，不仅容易记忆生物化学涉及的主要代谢途径，而且融会贯通这些代谢过程，掌握它们之间的联系，达到学活知识的目的。

“图表式”教学有利于课堂总结。由于课时的安排，学生2～3周才能学完1章的内容，这可能会直接影响学生对本章内容认识的整体性和记忆的深刻程度，“图表式”教学方法利用图表具有概括性的特点弥补这方面的不足[6]。在一章知识学完后，利用几个能概括整章主要内容的图表串联知识点，师生共同总结本章节的主要内容。这样，使学生学习时总体思路明确，条理清楚，有利于连贯性地掌握知识。另外“图表式”教学方法有利于引导学生总结新旧知识的差异，通过总结，不但复习巩固了所学的知识，而且加深了对新学知识的理解。

“图表式”教学最大的问题是如何设计出合格的图表。图表要具有简捷直观、方便记忆，而且还要求具有全面性，包含章节要求掌握的主要内容，这些对教师是严峻的考验，目前对于一些章节的图表还没有特别理想的设计，需要进一步深入研究。

参考文献

[1]周爱儒.生物化学[M].6版.北京：人民卫生出版社，2004：7-185.

[2]蒋鸫，肖朝伦，王景传.“学生主讲、老师助讲”在系统解剖学实验课的应用[J].贵阳医学院学报，2006（3）：279.

[3]杨勤，杨婷，方丽，等.CAI课件作为概括性总结在《病理生理学》教学中的应用[J].贵阳医学院学报，2005(5):469-470.

篇2

文章编号：1005－6629(2007)07－0018－04 中图分类号：G633.8 文献标识码：B

1关于“思维导图”的认识

“给你的思维画一幅导图”，这是被誉为“世界记忆之父”托尼・博赞的一句名言。 基于图像和联想是大脑语言的“思维导图”，这是一种新的思维模式[1]。脑科学研究表明，大脑神经是一个由中心向外发散的神经元。因此，从某种意义上讲，“思维导图”是大脑思维的真实体现。运用“思维导图”，使人的思维方式更贴近大脑自身的思维方式，这样与大脑进行对话、交流就会变得直接、自然和简单。

关于“思维导图”绘制的操作步骤，博赞这样介绍：首先，将“主题”画在纸的中央，成为思考的中心。但“主题”应该是具体的和有意义的，这样更有助于回忆和想像。其次，考虑“次主题”，并由主题向外扩张分枝。主要的分枝个数最好维持在5－7个。最后，在“次主题”后面列出“关键词”，表达各分枝的内容。

在绘制过程中，还需注意：①尽可能使用颜色。因为颜色和图像，能使大脑兴奋，能进行充分联想和发散。②尽可能使用曲线。因为曲线则能吸引人的注意。③在用线条连接主要分枝、二级分枝以及三级分枝时，越接近主题时，分枝就越粗。当然，也可使用相关软件，如Inspiration、Mindmanager、Personalbrain、Brainstom等，进行“思维导图”的绘制。

2关于“思维导图”的实践

2.1“思维导图”在教师化学教学中的应用。

2.1.1利用“思维导图”，有助于我们从整体上认识和把握“高中化学新课程”的全貌。

在学习《普通高中化学课程标准（实验）》[2]（以下简称， 课程标准）时， 笔者利用Mindmanager 5 Pro汉化版“思维导图”软件绘制了一幅“思维导图”（如图1）。【注：限于篇幅，每一个节点部分的内容没有张开，下同】

从图1可以看出，一幅“思维导图”的价值，不仅在于“浓缩”了近3.4万字的《课程标准》，更重要的是如果透过主题，向四周看，就犹如是一幅《课程标准》的全景图，让人感觉站在《课程标准》的最高点，对我们整体把握《课程标准》的全貌，是大有裨益的。如果我们再透过“分枝”向“中心”看，让人感觉到虽然思维在“分枝”，但始终不忘“中心”。真所谓“一幅图胜过千言万语”！

2.1.2 利用“思维导图”，有助于我们更好地开展校本教研，进行主题教学设计。

利用“思维导图”进行主题教学设计时，我们的做法是：首先，每位教师对将要设计的主题，绘制一幅“思维导图”。其次，备课组长召集小组成员，指定一名成员为记录员，各成员交流自己制作的“思维导图”，同时约定：在交流过程中，不允许批评别人的想法，所有的意见记录下来，任何人不作判断性的结论，集中注意力，不允许私下交流，尽可能地发散、联想。再次，备课组长对交流的相关信息，进行整理和归纳，对原有的“思维导图”进行改进、完善和丰富，形成凝聚集体智慧的主题教学设计。最后，将最终的主题教学设计，复制给小组成员。图2是在一次校本教研活动中，我们高一化学备课组讨论“酸雨与二氧化硫”教学设计时，最终绘制的“思维导图”。

2.1.3利用“思维导图”，有助于我们建立良好的师生关系，促进教学方式的变革。

“思维导图”的绘制，需要宽松的氛围。在宽松的氛围中，能促进师生之间和生生之间的有效交流。有效的交流，能进一步提高师生思维的“含金量”，让思维更加活跃，让思维更加流畅。因此，从某种意义上讲，“思维导图”带来的宽松氛围，有助于我们建立良好的师生关系。同样，良好的师生关系，也必将有助于营造宽松的氛围。利用“思维导图”进行组织教学，这种对话式、互动式的课型，使课堂将更好地围绕“主题”展开，让学生真正成为学习的主人。这种教学方式的变革，有助于探究式和发现式教学的开展，更有效地落实课堂教学中学生的主体性。

2.1.4利用“思维导图”，有助于我们达成教学的三维目标，更好地提高学生的科学素养。

利用“思维导图”进行主题教学时，可以更好地“调动”存储在学生大脑中相对应的化学知识，激活学生对该主题的思维，让学生的思维过程更加流畅、条理更加清晰。同时，促进学生综合运用多种方法，如比较、分类、归纳、概括等，对主题以及与主题相关联的知识进行加工和处理。当学生以“思维导图”的形式加以呈现该主题时，学生内心的喜悦溢于言表，这有助于培养学生学习化学的兴趣，同时也能感受到探究化学的艰辛和坎坷。这样的主题教学，不仅促进教学三维目标的达成，更为重要的是使学生领悟到“知识”背后蕴含的科学思想和科学方法，增强创新精神和实践能力，进一步提高学生未来发展所需的科学素养。

2.2“思维导图”在学生化学学习中的应用。

2.2.1 利用“思维导图”，有助于学生对知识进行整理、巩固和记忆，提高核心概念的理解度。

在化学教学的过程中，笔者引入了“思维导图”指导学生学习化学。在学完一个化学章节或单元后，让学生利用“思维导图”，对所学知识进行整理。然后，在全班学生中，展示学生的“思维导图”作品，并由学生投票评选 “思维导图”优秀作品。对评选出的优秀作品，给学生积极的激励与评价，同时进行适当的奖励，如一本书、一本笔记本等，提高学生利用“思维导图”学习化学的积极性。因此，“学习化学并不再是一件难事，关键是我们运用什么样的学习方法。”下面一段叙述，是一位获奖学生的感言。

“起先，我觉得这与平时的知识整理没多大区别，但做着做着，我便发现以前混沌一片的化学性质、离子反应、氧化还原好像顿时清晰起来。通过‘思维导图’的绘制，就好像把所有学过的内容都详细地梳理了一遍，层次分明，条理清楚。以前，觉得又乱又繁的知识似乎简单了许多。我再次翻开练习，竟发现我已不用翻看笔记本，每道题要用的知识，就像电脑菜单一样，一级级呈现出来时，不仅复习了当前知识，还对相关联的知识进行了加深和巩固。利用‘思维导图’学习化学，真使我受益匪浅。”

2.2.2利用“思维导图”，有助于学生对知识注入更多的自我思考，提高化学学习的兴趣。

对同一个主题的“思维导图”而言，由于学生的知识结构、思维习惯、认知程度以及学习喜好的不同，其制作的“思维导图”也不同[3]。但这样的“思维导图”，使学生对知识注入更多的自我思考，并以图像的形式呈现出来。因此，这种个性化的“思维导图”能够充分体现学生的思维特点，有助于提高学生化学学习的兴趣。但学生不能为了“思维导图”而“思维导图”，应该带着主动的、积极的一种学习心态，去完成属于自己的“思维导图”。

2.2.3利用“思维导图”，有助于学生更好地掌握学习方法，转变学习方式，提高学习能力。

利用“思维导图”，可以帮助学生更有效地进行预习功课、做课堂笔记以及复习功课等工作，有助于提高学习效益。同时，利用“思维导图”指导学生开展综合实践活动，学生将有更大的发挥自我的空间，有助于学习方式的转变，使学生的自主学习、合作学习和探究学习成为可能，进一步提高学生的学习能力。如，对《元素周期律和元素周期表》这一课题开展研究性学习时，学生们利用“思维导图”设计了如下课题（图3）。同时，还可利用“思维导图”指导各项课题正常开展，进一步提高研究性学习的目的性、针对性和实效性。

2.2.4利用“思维导图”，有助于学生发散性思维和创造性思维的形成，提高分析问题解决问题的能力。

利用“思维导图”，学生可以更好地围绕主题，进行充分地联想、发散性的思考，将与主题相关联的知识分层分类进行管理，使“思维导图”真正成为我们的“学习地图”。同时，当置身于一个新的问题情境时，学生可以利用“思维导图”，对其所面对的核心问题，进行较为系统地分析与判断，找到解决问题的关键性因素或关键环节，利用存储在头脑中与核心问题相关联的“知识群”，而不是单一的“知识点”，加以分析、判断和解决。

3关于“思维导图”的思考

3.1 “思维导图”，不仅要循序渐进、积极使用，而且还要广泛交流、创造性使用

对于初学者来说，在了解“思维导图”的制作原理和基本方法的基础上，坚持绘制属于自己的“思维导图”，直到熟练为止。对于同一个主题可以多次制作“思维导图”，通过这种方法可以挖掘对主题的理解，发展自己的思维水平。同时经常与有制作“思维导图”经验的人进行交流和探讨，不断吸收别人的经验，提高自己绘制“思维导图”的水平。

3.2 “思维导图”，不仅是关于思维的一种工具，而且还是基于思维的一种思想方法

它给我们带来的，不仅是关于思维的一种工具，更重要的是蕴含在工具其中的思想方法。这种思想方法，使其应用的领域成为无限可能。

3.3 “思维导图”，不仅能加深我们对化学学科的理解，而且还能促进化学学科与信息技术学科间的整合

“思维导图”成为信息技术与化学学科整合的有效途径之一。现在有许多软件可以进行“思维导图”的绘制，为“思维导图”的美观、修改和增删提供了极大的便利条件[4]。

3.4 “思维导图”，不仅能促进教师个人的专业发展，而且还能促进学习型团队的建设

“思维导图”倡导与追求的，不仅仅是一种个人的智慧，更重要的是一种团队的智慧。在一种宽松的氛围中，大家围绕主题，进行坦诚交流、深度对话和思维碰撞。这样，更容易打破学科内部之间的“知识壁垒”，还容易使学科知识间融会贯通；另外，教师之间的“知识壁垒”也被打破，最终大家对讨论的主题一定会形成更全面、更深刻、更系统的认识。

参考文献：

[1]博赞（Buzan,T）(张鼎昆译).大脑使用说明书[M].北京:外语教学与研究出版社:2005.

篇3

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）45-0233-03

一、引言

图论是组合数学的一个重要分支。它以图为研究对象，这种图由若干给定的点及连接两点的边所构成，通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，以点代表事物，以连接两点的边表示两个事物间具有这种关系。图论的应用非常广泛，在实际的生活生产中，有很多问题可以用图论的知识和方法来解决，其应用性已涉及物理学、化学、信息论、控制论、网络理论、博弈、运输网络、社会科学以及管理科学等诸多领域。目前高校很多课程都涉及到图论知识，例如离散数学、数据结构、算法分析与设计、运筹学、组合数学、拓扑学、网络优化等。甚至有些专业将图论作为一门必修或选修课程来开设。

由于图论课程具有概念多、公式复杂和定理难证明、难理解等特点，在一定程度上造成教学难，证明抽象度高，学生难以理解，学生不能真正理解图论思想，更谈不上灵活运用图论知识来解决各种实际问题。从而会使学生感到图论的学习非常枯燥。大学数学课程教学改革的趋势，越来越注重数学的应用性，而数学建模过程就是利用已经掌握的数学知识来解决实际问题的过程。在当前实现数学作为一种应用能力的过程中，使用数学解决实际问题的能力培养是非常重要和必需的。因此，在大学数学类课程的教学中融入数学建模思想是目前数学课程教学改革的一个大的趋势。由于图论的概念和定理大多是从实际问题中抽象出来的，因此图论中的诸多模型和算法是数学建模强有力的理论依据。所以在图论课程教学中注重介绍这些概念和理论的实际背景，引导学生利用数学建模思想方法学习图论的相关概念和定理，探究图论的发展规律，从而将更好地帮助学生理解和掌握这些概念和理论。

二、数学建模思想方法

数学模型就是用数学语言，通过抽象、简化，建立起来的描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构。这个结构可以是公式、方程、表格、图形等。把现实模型抽象、简化为某种数学结构（即数学模型）之后，我们就可以用相关的数学知识来求出这个模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，这个过程便称为数学建模。其目的是将复杂的客观事物或联系简单化并用数学手段对其进行分析和处理。建立数学模型解决现实问题要经过模型准备、模型假设、模型构成、模型求解和模型分析这五个步骤。模型准备就是了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的各种信息，尽量弄清对象的特征，形成一个比较明晰的“问题”。模型假设是根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，做出必要的、合理的简化假设。模型构成是根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型。模型求解是采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术求解。模型分析就是对求解结果进行数学上的分析，并解释为对现实问题的解答。由此可见，思想数学建模就是将数学的理论知识应用于解决实际问题，培养数学建模思想就是锻炼应用数学的能力。

在图论的教学中引入数学建模思想，将生活中的实际问题引入课堂，利用图论知识分析实际问题，让学生感受到图论贴近生活。教学中可以引导学生自己寻找与图论相关的实际问题，利用图论知识建立实际问题的数学模型，并进行报告和讨论，让学生发表自己的见解和看法，在此过程中有助于学生对所学知识的融会贯通和掌握，大大提高学生学习图论的兴趣。

三、数学建模思想方法融入图论教学的实践

目前，各门数学课程教学改革所面临的一个课题是如何增强应用数学知识解决实际问题的意识。在这样的背景下，加之图论知识的应用广泛性，从而，将数学建模的思想方法融入到图论课程教学中的研究和实践已显得刻不容缓。因此，结合图论教学内容有机地增加数学建模教学内容，使广大的学生能学习和体会到数学建模的基本思想方法，在日常的学习中培养学生应用图论知识的意识，激发了学生学习图论的积极性。

（一）在图论定理公式中渗入建模的案例

在图论某些定理证明的教学过程中可以适当地融入数学建模的思想与方法，把定理的结论看作一个特定的模型，需要去建立它。于是，当把定理的条件看作是模型的假设时，可根据预先设置的问题，情景引导学生发现定理的结论，从而定理证明的方法也随之显现。

案例1：设为任意无向图，V={v1，v2，…，vn}，|E|=m，证明所有顶点的度数和=2m，并且奇点个数为偶数。

解析：证明该结论之前，首先任意选取若干个学生让其随机互相握手，并记下每个人的握手次数和每两人之间握手的次数，由此可得每个人握手次数总和是每两人之间握手次数的2倍以及握过奇数次手的人数一定是偶数。互动之后介绍该定理称之为握手定理，从互动过程中可以建立定理结论的模型，并且证明的思路也是显而易见的。

（二）在应用性例题中渗入数学建模的方法

案例2：一家公司生产有c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7七种化学制剂，其中制剂（c1，c2），（c1，c4），（c2，c3），（c2，c5），（c2，c7），（c3，c4），（c3，c5），（c3，c6），（c4，c5），（c4，c7），（c5，c6），（c6，c7）之间是互不相容的，如果放在一起能发生化学反应，引起危险。因此，作为一种预防措施，该公司必须把仓库分成互相隔离的若干区，以便把不相容的制品储藏在不同的区，问至少要划分多少小区，怎样存放才能保证安全。

解析：首先建立模型，用图来表示实例中这些制剂和他们之间关系，用顶点v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，表示c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7表示七种化学制品，把不能放在一起的两种制品对应的顶点用一条边连接起来，如图1。

模型求解：由图可得极小覆盖的逻辑表达式为：

（v1+v2v4）（v2+v1v3v5v7）（v3+v2v4v5v6）（v4+v1v3v5v7）（v5+v23v4v6）（v6+v3v5v7）（v7+v2v4v6）

利用逻辑代数法则简化上述逻辑表达式为：

v1v3v5v7+v2v3v4v5v6+v2v4v5v6+v2v3v4v6

从而可得全部极小覆盖为：

（v1，v3，v5，v7），（v2，v3，v4，v5，v7），（v2，v4，v5，v6），（v2，v3，v4，v6）

由于极大独立集与极小覆盖集之间互补的关系，所以上图的所有极大独立集为（v2，v4，v6），（v1，v6），（v1，v3，v7），（v1，v5，v7）.取图G的一个极大独立集V1=（v2，v4，v6），将其着第一种颜色。在VG-V1中，所有极大独立集为，（v1，v3，v7），（v1，v5，v7），取V2=（v1，v3，v7）将其着第二种颜色。在VG-V1-V2中仅有点v5，将其着第三种颜色，故χ（G）=3.

于是得到该化学制品的存放方案：至少需要把仓库划分为3个区，可以将c2，c4，c6三种制品，c1，c3，c7三种制品和制品c5分别存放在一个区。

（三）设计相关数学建模问题，提高学生应用图论知识解决实际问题的能力

由于教学课时的限制，将数学建模的思想方法融入图论课程教学时，不能专门地让学生学习建模，只能通过一些简单的模型给学生介绍数学建模的思想及方法。图论是现代数学的一个重要分支，在自然科学、社会科学、机械工程中有重要的意义，其求解思想渗透到自然学科的各个领域。因此，可以通过设计一些与图论课程相关的课外建模活动，选择符合学生实际并贴近生活的一些图论问题，启迪学生的论文查阅意识和能力，指导学生阅读相关论文，最后以解题报告或小论文的形式提交他们的结果。促进学生应用图论知识解决实际问题的能力。

四、结语

将数学建模思想方法融入图论课程的教学中，使图论课程教学与数学建模有机结合起来，激发学生学习图论的兴趣，培养学生勇于探索的精神，提高学生的动手能力，实践表明这些方法能较好地提高图论课程的教学效果。

参考文献：

[1]Bondy J A，Murty U S R.Graph theory with applications[M].North-Holland：Elsevier，1976.

[2]翟明清.浅析图论教学[J].大学数学，2011，27（5）：23-26.

[3]定向峰.将数学建模的思想和方法融入图论课程教学中的一点尝试[J].重庆教育学院学报，2006，19（6）：28-31.

[4]张清华，陈六新，李永红.图论教育教学改革与实践[J].电脑知识与技术，2012，8（34）：8235-8237.

篇4

中图分类号：G712文献标识码：A文章编号：1009-0118（2012）12-0129-02

图论是一个应用比较广泛的数学分支，在许多领域，诸如物理学、化学、运筹学、计算机科学、网络理论、社会科学以及经济管理等方面都有广泛的应用。点、边（或弧）、面、连通分支等是图的基本要素，在图论的证明中经常用数学归纳法对点的个数、边的个数及连通分支个数等进行归纳。一般情况下，由于证明过程中需保持图的相关性质，因而需要选择合适的要素进行归纳。有些结论的证明既可以对一种要素的个数进行归纳，也可以对另一种要素的个数进行归纳；既可以用第一数学归纳法证明，也可以用第二数学归纳法证明，其中数学归纳法的运用既体现了严谨性的要求，又体现了灵活性，表现手法多样[1]。

一、数学归纳法

作为一个好的数学家，或者一个优秀的博弈者，或者要精通别的什么事情，你必须首先是一个好的猜想家，而要成为一个好的猜想家，我想，你首先是天资聪慧的。但天资聪慧当然还不够，你应当考察你的一些猜想，把它与事实进行比较，如果有必要，就对你的猜想进行修正，从而获得猜想失败与成功的广泛经验。在你的经历中如果具备这样一种经验，你就能够判断得比较适当，碰到一种机遇，就能大致预知它的是非结果。

自然科学中的“经验归纳法”，是从某一现象的一系列特定的观察出发，归纳出支配该现象所有情况的一般规律，而数学归纳法则是迥然不同的另种手段，它用来证实有关无限序列（第一个，第二个，第三个，等等，没有一个情况例外）的数学定理的正确性。数学归纳法的原理是奠基在下属事实的基础上：在任一整数r之后接着便有下一个r+1，从而从整数1出发，通过有限多次这种步骤，便能达到任意选定的整数n。数学归纳法原理与经验归纳法是完全不同的，一般的定律如果被证实了任意有限次，那么不论次数多么多，甚至至今尚未发现例外，都不能说该定律在严格的数学意义下被证明了，这种定律只能算作十分合理的假设，它容易为未来的经验结果所修正。在数学中，一条定律或一个定理所谓被证明了，指它是从若干作为真理接受的假设出发而得到的逻辑推论。人们考察一个定理，如果它在许多实例中是正确的，那么就可猜想定理在普遍意义下将是真的；然后人们尝试用数学归纳法以证明之。如果尝试成功，定理被证明为真；如果尝试失败，则定理的真伪未定，有待以后用其他方法予以证明或者[2]。

二、数学归纳法的具体表现形式

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，而数学归纳法属于完全归纳法，它又分为有限数学归纳法和超限数学归纳法，对于后者，在实变函数论中会学到；前者有两种不同的形式，它们分别叙述为：

第一数学归纳法：如果性质P（n）在n=1时成立，而且在假设了n=k时性质P（k）成立后，可以推出在n=k+1时性质P（k+1）也成立，那么我们可以断定性质P（n）对一切自然数n都成立。

第二数学归纳法：如果性质P（n）在n=1时成立，而且在假设了对所有小于或等于k的自然数n性质P（n）都成立后，可以推出在n=k+1时性质P（k+1）也成立，那么性质P（n）对一切自然数n都成立。

数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，第一数学归纳法与第二数学归纳法在数学的证明中经常用到，而反归纳法、跳跃归纳法与双重归纳法在数学的证明中不是很常见的。然而如上所述，利用数学归纳法证明与图论有关的命题，可降低证明过程的复杂性，使推理过程简单、清晰，也保证了推理的严谨性。

例1：某生产队科学实验小组决定研究n（n≥2）种害虫之间的关系，然后想法消灭它们，经实验，他们发现，其中任意两种总有一种可吞食另一种。试证明可把此几种害虫排成一行，使得前一种可吞食后一种。证明⑴n=2时，命题显然成立。⑵设n=k时（k≥2），结论成立。我们不妨以ai（i=1，2，…，k）表示第i种害虫，记这时可将它们排成a1a2，…ak，其中前一种可吞食后一种。用（ak>ak+1表示可吞食a+1）

下面考虑n=k+1时的情形，即在上面情形里加进一种害虫ak+1（当然，我们还可以将k+1种害虫分为两组，一组k，一组一种，由归纳假设第一组k种可排成a1，a2，…ak，使前一种可吞食后一种，再将第二组的一种记为ak+1加入），将有面两种情形：

（1）若ak+1>a，则可将ak+1置a1前，则有ak+1>a1>a2>…ak。命题为真；（2）若a1>ak+1，再将ak+1与a2放在一起试验，若ak+1>a，可将ak+1置a1后a2前即可，这时有a1>ak+1>a2>Λ>ak，命题为真。否则可重复往下试验，经过有限次（≤k次），必有下列情形之一：ai-1>ak+1>ai，问题解决。否则ak>ak+1，则可置ak+1于ak之后。此时有a1>a2>…>ak>ak+1，命题亦成立。

综上，命题对k+1成立，从而对任意自然数（n≥2）成立。

第二数学归纳法的应用

例2：证明（1）当n=1时，D1=cosθ，猜想成立。（2）假设n≤k-1时，Dk=coskθ，当n=k时，由式（1），有Dn=2cosθcos（n-1）θ-cos（n-2）θ=cosnθ+cos（n-2）θ-cos（n-2）θ=cosnθ，故k=n时，有Dk=coskθ，归纳法完成，故对一切n∈N*，都有Dn=cosnθ。总之，数学归纳法的两个步骤，缺一不可。即都是必须的，否则将不完整，甚至导出错误的结果。

三、图论中数学归纳法中的应用

例3：设A是G的邻接矩阵，证明Ak的（i，j）元素a（k）ij等于G中联结vi和vj的长为k的途径的数目[3]。

证明：对k用归纳法。当k=0时A0=I为p价单位矩阵。从任一顶点vi到自身有一条长为0的途径，任何两个不同的顶点间没有长为0途径，故当k=0时结论成立。

今设结构对k成立，由Ak+1=AAk，故有

a（k+1）ij=∑p12l=1aijalj（k）

由于aij同是联结vi与vl的长为1的途径的数目，alj（k）是联结vl与vj长为k的途径的数目，所以ailalj（k）表示由vi经过一条到vl，再经过一条长为k的途径为vj的总长为k+1的途径的数目，对所有的l求和，即得a（k+1）ij是所有联结vi与vj长为k+1的途径的数目，由归纳法原理，结论得证。

例4：p阶图G是一棵树，证明G有p-1条边。方法1（第一数学归纳法）：当p=2时，结论显然成立。假设p=k时结论为真，当p=k+1时，因为G没有圈，当把G中的一条边收缩后，G的边数和顶点数均少1，变成k个顶点的树，由归纳假设，应有k-1条边，再把去掉的边放回，则顶点数为k+1而边数为k，于是结论得证。

图论这门学科的内容十分丰富，涉及的面也比较广，图论中的基础知识，又是工程实际中经常用到的。数学归纳法在结论以及命题的证明过程中起了画龙点睛的作用，是其它证明方法所不可代替的。

四、结论

数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，没有它，在图论中很多与自然数有关的命题难以证明；同时对于与自然数有关的命题，把n所取的无穷多个值一一加以验证是不可能的，用不完全归纳法验证其中一部分又很不可靠，数学归纳法则是一种用有限步骤证明与自然数有关的命题的可靠方法，其思维方式对于开发学生的智力有重要价值。在图论学习中，掌握并应用好这一方法有十分重要的意义。

参考文献：

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摘要：离散数学是计算机科学与技术专业的重要基础课程，但是传统的离散数学教学往往过于数学化。文章探讨如何针对计算机科学与技术专业的特点，在离散数学教学中强化对学生逻辑思维和计算思维能力的培养，提出一些课程教学改革的针对性措施。

关键词 ：离散数学；逻辑思维；计算思维

文章编号：1672-5913(2015)15-0027-04 中图分类号：G642

基金项目：中山大学2012年教学研究项目“计算机大类离散数学课程平台的整合优化”。

第一作者简介：周晓聪，男，副教授，研究方向为软件工程，isszxc@mail.sysu．edu．cn。

1 背景

离散数学是现代数学的一个重要分支，研究离散对象的结构及其相互关系。离散数学的主题包括数理逻辑、集合论、图论、组合数学、数论、抽象代数、自动机理论等。离散数学被看做计算机的数学，是计算机类各专业的核心基础课程，也是计算机类专业许多核心课程（如数据结构、编译原理、数据库原理、人工智能等）的先导课程，因此，学好离散数学对于计算机类专业的学生具有重要意义。在实际教学实践中，学生要学好离散数学有一定困难，教师在选择教学内容和教学方法时也存在问题。

2 基本思路

离散数学是计算机类专业的核心基础课程，内容多且较抽象，学生学习离散数学时存在一定的困难。早期的离散数学教学过于数学化，如文献等都是从数学的角度展开离散数学的知识讲解，其内容与计算机专业知识联系不大。随着教育部计算机科学与技术专业规范的制定与推广，离散数学课程的教学内容逐渐加强了与计算机专业知识的联系。但在实际教学实践中，不同层次的院校仍然存在不少问题。

我们对离散数学课程的教学改革进行了一系列的探索。最初我们采用耿素云老师编著的教材，在大一年级上、下学期各开设4学分的离散数学课程，讲述包括数理逻辑、集合论与图论、组合数学以及抽象代数的知识；为强化学生离散数学基础，针对计算机科学与技术专业、网络工程专业和信息安全专业的不同需求，将离散数学课程分为3门课程（数理逻辑、集合论与图论、代数结构），分别在大一上、下学期开设，其中集合论与图论作为3个专业共同的必修课程，数理逻辑作为计算机科学与技术专业的必修课程、网络工程专业的选修课程，代数结构作为网络工程专业和信息安全专业的必修课程、计算机科学与技术专业的选修课程；为适应大类招生模式和计算类专业转型，我们在计算机大类的大一下学期开设了6学时的离散数学基础课程，并从大二开始开设图论及其应用、代数结构、数理逻辑、组合数学与数论、形式语言与自动机等一系列离散数学课程。

在这一系列探索中，我们遇到了一些问题：首先是课程教学目标定位的问题，其次是教学内容选择的问题，最后是教学方法与教学模式的问题。

在课程教学目标定位方面，作为研究型综合性大学的计算机专业，学生要夯实在数学方面的基本素养，这不仅需要掌握有关逻辑与证明、集合、函数与关系、组合计数、图与树等方面的基本知识，还需要提高数学思维能力，并且强化与计算机专业知识的联系。但是目前多数教材都增加内容广度，减弱内容深度，因此如何明确课程的教学目标是首要问题。为此我们在深入学习专业规范的基础上，对现有的国内外著名离散数学教材进行了调研与分析，并结合计算机大类培养的特点，选择Rosen编写的国外著名教材《离散数学及其应用》作为首选教材。为了进一步强化学生的离散数学基础，除了给大一下学期学生开设离散数学基础课程之外，我们还为大二至大三的学生开设图论及其应用、代数结构、数理逻辑、组合数学与数论、形式语言与自动机等一系列课程。我们将离散数学类课程的教学目标定位在不仅培养学生掌握离散结构的基础知识，还要培养学生在逻辑思维和计算思维方面的能力上，我们希望能将这两种思维能力的培养一直贯穿在离散数学类中。

在确定离散数学课程的教学目标后，我们立足于教材对教学内容进行精心选择，在与课程组老师多次研讨的基础上，形成了离散数学基础课程以及各门选修课程的详细教学大纲，列出了基本知识点与可选知识点。

3 措施与效果

由于离散数学课程对计算机专业很重要，高校对离散数学课程的教学改革做了许多探索，近年来教师对培养学生的逻辑思维能力、系统建模能力、计算思维能力也越来越重视。

首先，教材的选择最重要。我们经过对国内外著名教材的分析，最终选择Rosen编著的《离散数学及其应用》（英文影印版）作为首选教材。该教材的特点有：①内容比较全面，完全符合教育部计算机科学与技术专业规范对离散数学课程的要求；②例题、习题非常丰富；③每章后面有重要概念和总结；④“写作项目”( writingprojects)和“编程项目”(computer projects)可作为课程的实验和设计题目；⑤与计算机专业课程的联系非常紧密，列出了许多在计算机后续课程（如数字电路设计、数据库、人工智能等）应用离散数学知识的内容。

该教材有两个重要特点：其一，教材中不仅有一章专门讲述归纳证明和定义的基本知识，而且在组合计数、算法分析、集合与关系等多处介绍递归和证明的概念与应用；其二，教材讲解了有关算法的基本概念，给出了一种算法描述伪语言。

我们认为提高逻辑思维能力的基本要求应体现在思维严谨、条理清晰两方面。思维严谨要求在求解问题或推理时每一步都有逻辑依据；条理清晰要求学生在遇到问题时有比较清晰的求解思路。因此，教师在教学中要适当增加形式化推理的内容，对非形式化的证明技巧分门别类，从直接推理、间接推理、反证法、分情况证明、构造性证明、非构造性证明到归纳证明详细举例讲授；结合自顶向下的求解思路讲解数学证明中后向推理的分析方法，给学生讲清楚自顶向下分析与自底向上构造之间的异同，为学生理清问题求解思路，强化学生逻辑思维能力的培养。

在培养学生的计算思维方面，教师可要求学生在理解主要算法思想的基础上，结合程序设计课程的知识实现其中一些算法，还可结合教材中的“编程项目”指导学生编写一些程序。在教学实践中，为了让学生对教材中的主要算法有直观的认识，我们与学生一起编写了一些算法的演示系统。例如，图1给出了求从一个节点到所有节点最短路径的Dij kstra算法演示系统，它可给出该算法求解的每一步中间结果，从而使学生对该算法的运行有直观的理解。实践表明，这种演示对学生理解算法有比较大的帮助。

为了让学生更容易抓住重点，且有针对性地完成教材中的习题，教师可对教材中诸多知识点进行梳理，给出知识点之间的关联关系以及知识点与习题之间的覆盖关系。例如图2总结了逻辑等值这一节中重要知识点之间的关联关系，其中着色的是这一节的知识点，而没有着色的是前面章节的知识点。图3给出了部分知识点与习题之间的覆盖关系，其中菱形框中给出了这一节相应习题的编号。由于我们选择的是英文影印版教材，因此上述图中的知识点使用英文概括。初步调查表明，学生比较欢迎这种知识关联图，认为有助于梳理教材内容，便于复习和做习题。

基于这种知识点关联图，教师可进一步探讨课程的教学模式。在课程中，教师可利用这种知识点关联图向学生展示要讲授的知识点及其关联关系，对于细节则要求学生自己预习和复习；在课堂上可利用教材例题习题丰富的特点，精选一些相关的习题进行讲解。教学实践表明，这种方式有助于加深学生对知识点的理解，也有助于活跃课堂气氛，提高学生的学习兴趣。我们还对课程的考核做了一些改革，除了期中、期末考试之外，在教学过程中会不定期地进行小测验。

为了调查教学改革的效果，我们设计了问卷对2012级部分学生进行调研，回收75份有效问卷。37位学生（占50%左右）认为所选教材难度适中，52位学生（占70%左右）认为课程教学内容与计算机专业知识联系紧密，40位学生（占53%左右）认为提前接触算法知识对学习计算机专业课程最有帮助。以上结果表明该课程所选教材与教学内容比较符合学生的期待，引起了学生学习离散数学的兴趣。41位学生（占54%左右）非常认可我们的教学模式，40位学生（占53%左右）认为上课听讲很有收获。这些结果表明至少一半的学生认为课堂的教学效果良好。当然学生对幻灯片、作业批改、师生互动也提出不少建议，我们会借鉴并在今后的教学实践中做进一步的改进。

4 结语

课堂实践表明我们的教学内容与计算机专业知识联系比较紧密，很符合学生的期待，超过一半的学生认可我们的教学模式。未来我们将在实践中不断改进，继续把这种课程教学研究方法运用到其他课程中。

参考文献：

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[3]左孝凌，李为鑑，刘永才．离散数学[M]．上海：上海科学技术出版社，1982.

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[8]李艳玲，张剑妹，基于建模能力培养的离散数学思维模式[J]计算机教育，2014(4): 76-79．

篇6

随着网络和信息技术的不断发展，计算机在教育中的应用范围越来越广，数字化学习的普及和研究得到进一步的深入。网络的在线学习系统平台的功能侧重点已由注重对学习资源的管理及应用共享，转而注重强化管理学习者学习活动过程[1]。这种趋势也反映在远程教学、移动学习等基于网络的学习模式中，在这些学习模式中，教师将课程实施的重点从内容建设转向应用分析，逐步形成以学习者为中心的学习活动设计导向，强调学习者学习过程的优化和良好的师、生、学习资源的交互方式。

具体到课程实施环节，如何在数字化学习环境中实现信息技术与教学活动的深度融合以促进学习效果的提升？本研究探索将结构分析方法运用到学习者的学习活动中，通过对学生概念形成过程的分析，针对学生的个性化特征，制定符合个性化学习的最优化路径，动态调整学习活动序列，提升优质教学资源的利用水平。

一、相关概念的分析及问题的提出

1.结构分析法的介绍

结构分析法是一种对复杂系统中各要素间的关系，以视觉的几何学结构对系统的结构进行分析的方法[2]。在教学研究中的应用主要集中在分析教育系统中获取的数据，并将其结果用于教学实践。结构分析法可分为图表法和图示法两种不同类型的方法。从运用数学方法的角度分类来看，图表法主要使用矩阵运算处理，而图示法则是利用图论，特别是利用有向图进行处理。

用于教育信息的结构分析法主要有：

（1）教材结构分析法

教材结构分析法是一种将教材分解为许多知识要素，并将要素间的顺序关系以图论的方法进行表示和分析的结构分析法。

（2）S-P表分析法

通过教学测试，可以得到学生与测试得分（1表示正答，0表示误答）组成的得分矩阵。S-P表法将学生序号按得分的正答率顺序排成一览表，对变换后的得分矩阵进行结构分析。

（3）项目结构关联分析法（Item Relational Structure Analysis）

项目结构关联结构分析是一种基于测试得分，以图论的方法表示项目间的顺序结构，对项目的结构进行分析、表示的方法。

（4）意义结构分析法

这种分析方法分析以一定评价尺度构成的问卷获得的数据，用图结构表示各个项目间的顺序关系，并对这种关系进行结构分析。

（5）社会调查分析法

社会调查分析法是基于描述人际关系的心理测试数据，将人们直接的联系、排斥等关系，以图论的方法进行分析和表达的结构分析方法。

（6）尺度分析法

这种方法将基于某种评价尺度得到的表示态度的数据组成数据序列，在此基础上构成态度测定的尺度，据此进行系统的结构分析。

2.学习活动序列在数字化学习中的应用分析

数字学习环境下主要利用网络教学平台或学习管理系统开展教学活动，影响较大的如Blackboard、Sakai、Moodle、LAMS平台等，这些学习管理系统或平台大致经历了从内容管理系统（CMS，Content Management System）到学习管理系统LMS（Learning Management System），再到学习活动管理系统（LAMS，learning active management system）的发展历程，平台的发展重点从注重学习内容、资源的管理转变到对学习活动的分析和管理[3]。

以澳大利亚Macquarie大学开发的学习活动管理系统（lams）为例，它是一个设计、管理和实施在线协作学习活动的网络学习平台。教师从创建者界面中选择活动单元，将活动单元连接起来就产生了学习序列。由于其强调“活动”和“序列”，而“活动”又处于“内容”的上一个层次，因此，学习管理系统的架构和运行机制必然要发生改变，学习活动序列将替代学习内容成为教和学的中介。

在学习活动序列中，包含的要素主要有以下几点：活动要素、角色要素、资源要素、规则要素。活动要素是学习活动序列中的基本要素，单个活动要素要按照一定的逻辑性和事件性组成学习活动序列；角色要素是指参与学习活动的个体或小组，包括教师、学生；资源要素是在学习活动中每个活动要素中所包含的学习资源和环境；规则要素则约束管理学习活动的逻辑性和保证其实施的准确性。其中规则要素因其面对不同学习者表现的动态性、多角色变换的复杂性和制约因素的多维度性成为学习活动序列能否实现个性化学习、实现自适应路径重组、提高学习活动的针对性和智能化的关键。

本文探索使用结构分析法，基于学习者不同阶段的测试得分，以图论的方法表示项目间的顺序结构，对项目的结构进行分析、表示，辅助教师进行学习活动动态调整。

二、项目结构分析法的应用研究

学习活动序列的设置一般基于教材结构和教学设计方案，而教师对于学生的需求和能力进行深入的了解后，才可能做出合适的课程计划和决策。本研究使用IRS分析法对学生的知识能力水平进行测评分析。

IRS分析（Item Relational Structure Analysis）是一种用于教育信息处理的结构分析方法，它基于学生对测试问题的掌握程度排序，对问题间的关联层次结构进行分析。通常是以有向图来表示测试项目之间的关联结构。顺序系数是IRS分析法在判定项目间的顺序程度时制定的表示问题间顺序程度的标度，通常依据问题的实际情景，为标度设置一定的阀值，当达到这个阀值时就认定问题间的顺序关系成立。

以某次学习者测试得分数据表（见表1）和反映问题之间关系的四分表（如表2）来说明公式中的各个参数。在表2问题间关系的四分表中，N为参加测试的学生样本个数；a为问题Pi和Pj都答对的学生数量；b为答对Pi而答错Pj的学生数量；c为答对Pj而答错Pi的学生数量；d为问题Pi和Pj都答错的学生数量。

在顺序系数的表达式中，其分子表示测试中对问题Pi的误答，同时又是问题Pj的正答者在所有被测学生中所占的比例；当分子部分非常小时，rij趋于1，表示从项目Pi到项目Pj的顺序关系成立。其分母表示在问题Pi与问题Pj相互独立的情况下，问题Pi的误答者同时又是问题Pj的正答者所占的比例，这个比例数值表示了与从Pi到Pj顺序关系的相反方向；从顺序系数的定义公式可以看出，若顺序完全成立，rij将为最大值1。如果问题Pi与问题Pj之间相互独立，没有顺序关系，rij很小，顺序系数趋近于0。

IRS分析法中的阀值是判断顺序关系是否成立的一个重要参数，当顺序系数大于确定的阀值时，认为问题间的顺序关系成立；当顺序系数小于阀值时，就可以判定问题间的顺序关系不能够成立[4]。在IRS图的制作过程中，可以根据实际教学问题的情景需要，让阀值在一定取值范围内上下浮动。当阀值设置较高时，问题间的顺序关联关系成立较少，这样可以把问题间关联程度较大的问题分析出来。当阀值设置较低时，可以更全面地分析问题间的关联与层级特性。

通过计算得分数据的项目顺序系数表（如表3），这里取阀值为0.5后得到IRS矩阵（如表4），依据IRS矩阵就得到表示问题间层级结构的IRS图（如图1）。根据图示可知，问题5和6之间呈正相关性，处在同一层级，它们与问题4和1成层级单调性。同样，问题3、2、1依次也成层级单调性。通过获取学生信息、制定学习目标、进行活动设计、制定学生评估的过程，可以充分理解学生对于学习目标和内容的理解程度，通过教学实验的结果来看，依据学生测试的测试结果得到的问题层级关于往往与课程的知识点关系结构存在一定的差异，例如有学者进行过学习者英语语法学习的研究：“动词的时态一直被认为是英语语法教学的重点，但经过诊断测试，发现学生对动词时态的规则掌握扎实，却在不同语境中语言表达的应用情况不令人满意，这为教学活动中动词时态知识学习的调整提供了依据。”[5]基于本研究的结论，教师可以通过不断调整活动的结构和元素来实现最优的学习效果，过程示意图见图2。

综上所述，教师在进行学习活动设计过程时，通过使用IRS分析法分析学生各个阶段的测试数据，基于学习者的学习行为特点来制定教学目标和教学策略，可以实现以学习者为核心的教学活动设计思想，满足了学习者的情感以及认知的需求，依据这种学生测试结果的客观评价方式为设计高效、优质的学习活动系统提供了参考。

本研究基于结构分析法，从微观层面分析学生的学习数据，通过形象直观的分析结果指导教师设计学习活动序列，这为个别化教学的实施提供了参考和借鉴。下一步的工作将通过计算机程序的设计，实现学习活动序列的自适应调整，实现数字化学习环境中教学活动调整的智能化和自动化。

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参考文献

[1] 余胜泉，杨现民.辨析“积件”“学习对象”与“学习活动”――教育资源共享的新方向.中国电化教育，2007（12）.

[2] 傅德荣，章慧敏，刘清堂.教育信息处理.北京：北京师范大学出版社，2011.

[3] 王秀荣，刘敏斯，孙良林.四款开源学习管理系统的对比与探究.现代教育技术，2010（7）.

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Abstract:The advancedmathematics is an important chemical major foundation course. In this paper, Combinedwith chemical major, Elementary study on the learning effect improvement of advanced mathematics was done.Attempts to help students improve the efficiency of learning.

Key words:chemical education;the advanced mathematics; teaching中图分类号：G648文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）12-0292-01高等数学作为高等院校的基础学科,承担着培养学生数学能力,提高学生逻辑思维水平,为专业课程提供理论基础的重要任务。而随着化学学科与数学学科的交叉日益加深,定性定量分析发展迅速,化学对数学的知识需求日益增多。例如,高等数学的理论和方法在《物理化学》中的概念及公式的推导过程起着重要作用,在《化学热力学》及《化工基础》课程中数学知识的应用贯穿整个课程。具体地，考察化学热力学中反应热与温度和压力的关系、用等压法测定电解质溶液的活度系数、热力学中气体的焦耳-汤姆逊系数的描述等都要用到高等数学中的微积分知识。而化学动力学中连串反应的速率方程、氢原子与类氢离子的薛定谔方程则要利用到高等数学中的常微分方程和偏微分方程的知识。利用群论知识还可以处理苯分子的结构、利用矩阵还可以描述分子结构中的对称操作等。此外,还有许多数学知识,如场论、概率论、图论、复变函数等在物理化学中的应用也都十分广泛。本人长期担任化学教育专业高等数学的教学工作,认为提高化学专业高等数学的教学效果可以从以下几个方面进行探讨。

1.突出高等数学教学与化学专业知识的联系,充实教材内容

目前高等数学教材的专业特色不够突出,教学中缺乏与专业知识相结合的训练要求,学生难以达到学以致用水平。所用教材 虽然系针对对高等数学有中等程度要求的专业（如化学，生物学，地理学，心理学等专业）编写的教材，但书中列举的实例与化学工程联系颇少，对学生缺乏必要的引导，因此学生难以将所学的高等数学知识应用到化学工程中去.教师要对教材的实际运用功能进行不断充实与及时更新。例如：在讲解导数概念时，可结合化学反应速度来深刻理解导数的本质。

设一化学反应，其反应物的浓度 是时间 的函数 。当时间变量在时刻 有一增量 时，反应物的浓度也有一相应的增量 ，因而反应物的浓度从时刻 到时刻 这段时间间隔内的平均变化率为 ，当 时，若平均变化率 的极限存在，则其极限 就是反应物浓度在时刻 的瞬时变化率，也称为在时刻 的化学反应速度。通过该例可让大一学生更直观的理解导数的概念在化学中的重要作用。

2.提高学生的学习主动性，培养学生解决具体的化学问题的能力

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【中图分类号】G65 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）04-0010-02

1.引言

随着创客思想的普及，创客教育受到越来越多的教育者的思考与重视，2009年美国总统奥巴马宣布启动教育创新行动，并于2012年设立创客教育计划，同时创客教育在全球范围内掀起了将创客教育引入学校教育的浪潮，我国教育部2015于年了关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见，鼓励探索STEAM教育，创客教育等新模式，努力推进教学创新的发展，而师范类专业作为教育事业的主要力量，融入创客教育理念是非常重要的。

2.创客教育在师范类专业的应用

2.1 师范类专业概述

师范类泛指一类高校而不是具体某些专业，现在师范类高校融合多种学科，成为综合类高校，因此，师范学校中并不是所有专业都属于师范类专业，师范类专业主要包括数学、物理、化学、中文、外语、政治、体育等与中小学教育科目相关的专业，同时中小学教育的科研学科如教育学、心理学等也属于师范类专业。

2.2 创客教育概述

“创客行动”是由美国兴起的鼓励人们利用身边各种材料及计算机相关设备、程序以及其他技术性资源，通过自己动手或与他人合作创造出独创性产品的一种行动，“创客行动”基于对技术的应用，面向技术类产品的生成，在当前社会技术不断创新、技术产品不断丰富的背景下，越来越受到研究者与教育者的关注，将“创客行动”融入“创客教育”，使学生实现创造性学习。

创客教育旨在为所有中小学生提供适宜的用于创造的环境、资源、机会，特别是借助技术工具与资源让学生能够将学习过程融入创造过程，实现基于创造的学习，在创造过程中提升学科的学习质量，尤其是提升科学技术、工程、数学、艺术等学科的学习信心，投入基于创造的学习过程中，可以培养自己的判断性思维、创新思维与解决问题的能力。

2.3创客教育在师范类专业中的应用

师范类专业主要是服务于中小学教育的科目以及教育研究的专业，将创客教育融入师范类专业中，实现教师或研究者的创新教育和研究，使学生更好地实现创造性学习，本文主要探讨师范类专业中应用较广的数学教育、科学教育、现代信息技术教育以及中小学教育中的创客教育。

2.3.1数学教育中的创客教育

数学就其本身的知识特点为实践活动提供更多的创新机会，为创客教育的实施提供极好的载体，数学教育专业需要掌握数学的基础理论知识和教学技巧，掌握现代教育技术，能够胜任中小学数学教学的教育工作，数学专业不仅要学习相关的数学知识如：数学分析、高等数学、解析几何、概率与数理统计等，还要掌握计算机应用基础、教育学以及心理学等服务于教学事业的学科同时为创科教育提供基础，数学中的创客教育主要是计算机编程的应用，集合论是离散数学中的重要的一部分，在数据库中有广泛的应用，利用关系理论完成数据库网络型到关系型的转变，数据库中的数据易于存储和处理，逻辑结构简单；数学图论中二叉树在计算机中有很重要的作用，路由选择算法、桶排列算法等都是使用数学中的图论；有限机、开关线路的计算等在纠错码的应用很多，数据通信中常使用二进制数字信号进行转移，常采用纠错码避免传输中的错误。

2.3.2科学教育中的创客教育

科学教育旨在指导学生获得科学知识的同时培养学生学科学、用科学的能力，对于不同学习阶段的教育，其教学内容也有所不同，对于低年级的教育，科学教育旨在用简单的实验操作对具体事物进行初步分析综合，主要培养其动手能力，应用创客教育理念，低年级阶段的科学教育应该利用人类对自然界的简单利用开展科学实验，如利用废物进行回收利用的手工活动，培养学生的动手能力和创新思维，让学生在创造中学习，同时教育者也实现了创客教育；中年级的科学教育需要利用简单的仪器进行初步的定量观察，并用归纳、概括的方法形成简单的概念，因此基于创客教育理念需要开创“创客空间”，利用多媒体技术和计算机软件进行创客实验，如在学习3D打印中的数学建模、在掌握电路设计原理的基础上利用虚拟软件在模拟电路的各节点的电压、电流及经过的脉冲信号；对于高年级的科学教育，需要实现较高的操作能力和创造力，以项目为主，以团队的形式开展任务，对于创客教育的要求比较高，需要具备测试测量、控制、仿真、快速开发、跨平台的图形化语言的开发环境以及无人机技术的学习，包括图像信号和控制信号的无线传输及失控状态下的无人机执行返航程序的开发等都可作为创客活动。因此，科学中的创客教育以科学为主，在理论知识的教育上开展以科学技术为手段的创客活动，开创创新思维，提高动手能力。

2.3.3现代信息技术教育中的创客教育

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作者简介：陈蕾（1975-），男，江西宜春人，南京邮电大学计算机学院，副教授；张迎周（1978-），男，安徽合肥人，南京邮电大学计算机学院，教授。（江苏 南京 210003）

基金项目：本文系南京邮电大学教学改革项目（项目编号：JG00411J76）的研究成果。

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）13-0118-02

信息技术的快速发展使得以数理逻辑、组合数学、离散概率、集合论、代数系统和图论等为代表的离散数学分支越来越受到人们的重视。作为计算机专业和通信工程专业低年级学生的一门重要核心课程，“离散数学”课程不仅具有一般数学类课程所共有的理论性强、概念多、高度抽象等特点，而且还具有计算机类课程所具有的面向应用的特点，由于现有课程教学内容缺少应用实例分析和课程实践环节，学生在学习过程中往往会有畏难情绪，且普遍感觉到枯燥无味，因而缺乏学习的动力和兴趣。

近年来，由美国著名计算机教育学者Jeannette M.Wing教授提出的计算思维为我们提供了一种改革离散数学教学内容和教学模式的新视角。[1]计算思维是指运用计算机科学的基础概念去求解问题、设计系统和理解人类行为，它与数学思维非常相似，只是计算思维是建立在计算过程的具体实现和约束之上，并由程序控制计算机进行操作完成。计算思维的核心是问题抽象、数学建模和自动化求解。[2]从计算思维的角度来看，虽然离散数学由多个相对独立的课程模块组成，但这些内容本质上都是为了训练学生运用离散结构构建问题的抽象模型并在此基础上构造算法和解决问题的能力。[3]因此，一方面“离散数学”课程为我们培养学生的计算思维能力提供了一个很好的平台，另一方面计算思维能力的培养也反过来促进了“离散数学”教学内容和教学模式的改革。本文结合笔者多年的离散数学教学实践经验，以强化学生的计算思维能力培养为主要目标，对离散数学在本科教学中的教学内容、教学模式、实践环节和考核方式四个方面进行探讨，并进一步提出加强该课程教学改革的设想。

一、融入计算思维能力培养的“离散数学”课程教学内容

离散数学以离散结构及其相互关系为主要研究对象，在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，是计算机专业和通信工程专业诸多专业课程必不可少的先修基础课程，涵盖的内容涉及到逻辑学、集合论、代数系统、图论等多个现代数学分支。通过离散数学的学习，学生不但可以掌握各种离散结构的描述和处理方法，而且可以加强抽象思维和逻辑思维的培养，提高自动化问题求解的能力，为未来开展创新型研究工作打下扎实的基础。

根据离散数学所具有的特点以及南京邮电大学（以下简称“我校”）课程体系的设置情况，我们对传统的离散数学教学内容进行了调整，指导思想是让学生不仅学会一些特定的数学知识并知道怎样应用，还应教会学生怎样进行数学逻辑思维，更重要的是加强学生的计算思维能力培养。为此，本课程力求将数学推理、组合分析、离散结构、算法思想、应用与建模这5个重要的主题交织在一起，引入应用实例和课程实践环节。该课程安排总学时64学时，其中讲课60学时，课内实验4学时，课外实验12学时（选做），主要内容和学时分配如表1所示。课程具体内容涵盖数理逻辑、集合与函数、组合数学、代数系统、图论及离散概率论等六个分支。在学时安排上，鉴于我校计算机专业在二年级上学期已经开设了“概率论与数理统计”课程，因此离散概率论的相关内容以学生自学为主，同时为了体现计算思维抽象和自动化的思想，我们补充了一个有趣的“基于贝叶斯理论的垃圾邮件过滤器的设计与实现”应用实例。此外，还引入了初等数论和计数的基本内容，增加了RSA密码系统的设计与实现应用实例分析，这部分内容也以学生自学为主、教师讲授为辅，同时特别安排了4个课时的集中辅导答疑。

二、融入计算思维能力培养的“离散数学”启发式教学模式

“离散数学”是一门内容涉及面极为广泛的课程，这些内容不仅自成体系，而且每部分都包含大量抽象的概念、定理、公式以及各种推理规则，兼具理论和应用相结合的特点。因此传统的数学类课程或计算机类课程所采用的常规教学手段都无法适应现在的离散数学教学要求。

针对“离散数学”课程所具有的理论和应用相结合的特点，从强化学生的计算思维能力培养着手，采用了启发式教学模式，以充分调动学生的学习积极性。例如，一般教材中在讲述如何判定关系的传递性时，往往提到传递的特征复杂，不易从关系矩阵和关系图中直接判定，而且大部分学生都是根据传递性的定义采用穷举的方法来判定，既耗时又容易出错。这时可以启发学生从传递闭包的角度来判定关系的传递性，如果一个关系满足传递性，那么它的传递闭包就是它本身，而求传递闭包可以采用简单的Warshall算法，更进一步，可以据此启发学生将此知识点和图的连通性判定联系起来，当一个图表示为邻接矩阵时，如果将邻接矩阵看成是结点集合上的邻接关系图，则图的连通性可以通过求解邻接关系的传递闭包来判定。

再比如，学生在学习代数系统时，我们可以启发学生将代数系统和面向对象程序设计语言的类（Class）结构联系起来，告诉学生高级语言中的类结构就可以看成是一种代数系统，同时引导学生回忆在中小学阶段学习过的初等代数（涉及到加、减、乘、除运算）也是一种代数系统。因此学生容易得出结论：代数系统可以根据需要任意地构建。但这样一来就可能存在非常多的代数系统。为了尽可能抽象地研究代数系统具有的性质，我们进一步引入同构的概念，而同构又是一种等价关系，在等价关系的基础上可以定义等价类。由于代数系统的研究对象不是集合中的元素，而是定义在集合上的各种抽象运算，对于“元素本身是什么”这样的问题并不关心。因此，基于代数系统等价类的概念，教师可以进一步启发学生去探寻和理解布尔代数与等价类、命题逻辑之间的联系。在教师的引导下，学生会惊喜地发现看似独立的数理逻辑、集合、关系、函数与代数系统之间其实是有联系的，如果再辅以一些应用实例的建模与分析，就会很容易激发起学生学习离散数学的兴趣。

三、融入计算思维能力培养的“离散数学”课程实践环节

作为一门专业基础课，“离散数学”强调的是对概念、定理、公式的理解。在教学实践中，学生普遍认识不到这门课程的重要性，觉得这门课程与计算机科学联系不起来，看不到离散数学知识在计算机科学中的具体应用，从而缺乏相应的学习兴趣，进一步导致计算思维能力得不到良好的训练。因此利用计算机进行离散数学实验教学，让学生主动参与发现、探究和解决问题，从中获得解决实际问题的过程体验，产生成就感和自豪感，进而开发学生的创新潜能。这不仅仅是开展离散数学研究性学习的一种有效方式，而且也是促进学生计算思维能力培养的一种有效途径。“离散数学”课程的实验名称、学时分配及基本内容和要求如表2所示，在4学时的课内必做实验和4学时的课外选做实验中，每个学生要完成相应的实验题，通过独立思考、与同学讨论、老师辅导答疑，选择相应的方法，进行题目的分析、编程及测试工作，并按要求写出实验报告。

表2 “离散数学”课程实验内容、学时分配及基本要求

序号 实验项目名称 学时 实验内容和要求 每组人数 备注

1 构造合式公式的真值表 2 对给出的任意一个合式公式（不超过四个命题变元），编程实现自动画出其真值表 1 课内必做

2 判别图的连通性 2 给定n个结点的有向图邻接矩阵，判断该图是否为强连通、单向连通或弱连通 1 课内必做

3 RSA密码系统设计与实现 6 编程实现RSA的加密和解密过程，加深对公钥（非对称）密码算法的认识 5 课外选做

4 贝叶斯Spam过滤器设计与实现 6 编程实现一个适于客户端使用的贝叶斯垃圾邮件过滤器原型系统 5 课外选做

四、融入计算思维能力培养的离散数学课程考核方式

为了考查教师的教学效果和学生对知识的掌握程度，通常采用考试作为教学活动必不可少的重要环节，这在一定程度上可激发师生的教学积极性，提高教学与学习效果。因此，随着本课程实践训练环节的加强，我们对课程考核方式进行了相应的改革。目前采用综合考查的多元成绩评定考核方式。理论教学环节采取平时考查与期末考试相结合的方式。平时考查包括课堂考查、作业（课堂或课后思考题、课堂讨论）等方面，其成绩占课程总评成绩的25%。期末考试占课程总评成绩50%。实践教学环节考核内容包括实验和实践，其中，实验考评内容包括实验报告、实验操作、综合素质考核等，总评成绩为每次加权平均，占课程总评成绩20%；实践考评学生对基本算法的编程能力和自主创新能力，学生结合教学内容，通过自由选择综合实验或参与教师科研来完成，占课程总评成绩5%。这种考核方法更能全面地反映学生在知识掌握和知识应用方面的综合学习情况。

五、结论

离散数学不仅是计算机技术的支撑学科，更是提高学生计算思维、逻辑思维和创新思维能力以及形式化表述能力的有效途径，离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的各个领域。

参考文献：

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离散数学课程是计算机科学与技术系各专业的一门重要的基础课程，也是计算机科学基础理论的核心课程。本课程介绍计算机科学与技术系各专业所需要的离散数学基础知识，为进一步学习计算机科学的基本理论和方法、学好专业课奠定基础，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数、图论和在计算机中的应用共五部分。该课程是培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、缜密概括能力以及分析和解决实际问题能力的主干课程，对学习其他诸多课程，具有重要的指导作用。离散数学教学内容具有知识点多、散、抽象等特点，加之许多学生不能认识到该课程的重要性，缺乏学习兴趣和学习主动性，不仅忽视该课程的学习，甚至害怕这门课程。因此，创新教学方法，提高学生自主学习的积极性，对提高学生的能力、提升教学质量和水平，具有重要的意义。作者在离散数学教学和实践中，积累了若干经验和做法，仅供大家参考。

1 引导学生提高对离散数学课程应用性的认识，激发学生学习的兴趣和爱好，增强汲取知识的自主性

离散数学课程是一门基础性课程，由于许多学生并不能认识到离散数学课程对后续诸多主干课程的指导性作用，看不到该课程的实际应用价值，加上该课程知识比较难而且抽象，很多学生对该课程缺乏学习兴趣和学习主动性，对该门课程只是应付，甚至根本不愿意去学习。

学习离散数学课程对学生今后的学习和工作，具有重要的作用，例如，对数据结构、操作系统、数据库、编译原理、软件工程等后续课程学习的指导作用;培养学生的抽象思维能力和缜密的逻辑推理能力，并为学生今后处理离散信息，提高专业理论水平，从事计算机的实际工作提供必备的数学工具;通过学习，可以掌握数理逻辑，集合论，代数结构和图论的基本概念和原理，并会运用离散数学的方法，分析和解决计算机理论和应用中的一些问题等。学习主动性是学生的力量之源，因此，引导学生充分认识学习离散数学课程的作用，能够激发学生学习的爱好和热情，提升学生学习的积极性和主动性，从而使学生学有成效。

2 认真备课，合理准备教学内容和安排教学环节，优化教学方式方法

备好课是教学取得预期效果的前提和基础，针对学生学习具体情况，合理准备教学内容和安排教学环节，使用恰当的教学方法，在教学中可以起到事半功倍的效果。

(1)合理地准备教学内容。根据课程教学大纲和离散数学课程定理定义比较多、知识比较抽象的特点以及学生的实际情况，准备深度和广度适合学生特点的教学内容。

(2)合理地讲解课程内容，重难点突出讲解，注意轻重缓急。对于离散数学中比较重要、比较抽象的概念和定理，如逻辑的推理理论、关系的性质、群、图等，认真分析，用多种方式和方法深入讲解，可以使用解析法、图示法、矩阵法举实例等多种方法讲解，例如对关系的对称性质的讲解中，可以使用矩阵法进行讲解，判断一个关系是否对称，只需观察它的关系矩阵是否对称即可，再如对关系的传递性质的讲解中，可以使用关系图进行讲解，判断一个关系是否传递，只需观察在关系图中，当x到y有一条路径时，x与y是否有关系即可。对于比较容易理解和掌握的内容，可以一笔带过。这样，学生对所学内容就会有重点地学习，主次分明，学生不仅可以对所学内容掌握透彻，更能熟练把握离散数学中分析问题和解决问题的思路、方式和方法。

(3)启发式教学和教师讲授相结合。很多人认为，大学教学课时紧，内容多，关键靠学生自主学习，所以，大学教学以教师的讲授为主，不需要通过提问、讨论等方式进行教学互动。笔者认为这是不全面的。如果教师不顾学生的理解情况，只顾在讲台上讲授知识，课堂氛围会很沉闷，很多同学不能专注于该门课程的学习，经常走神，教学很难达到预期的效果。因此，有针对性地提问和展开讨论，不仅能够培养学生的思考能力，更能调动学生学习的兴趣和积极性，从而使教学达到最佳效果。

然而，由于离散数学课程在教学难度、课堂教学时间等方面的原因，很多学校都出现师生、学生之间的交流较少，致使学生对该门课程缺乏兴趣，教学效果不佳。所以，教师有必要针对课程中的主要问题或疑难问题适时地提问或者让学生展开讨论，鼓励他们进行独立思考，各抒己见，引导他们逐步深入地对问题进行实质性地分析，必要时，教师对其进行引导，及时总结，使教学达到预期效果。

3 合理布置作业，认真批改作业，有针对性地安排习题课和课后答疑

为了强化学生能力的训练，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际问题的解决能力等，在保证作业数量的同时，更要提高布置作业的质量，增加典型简答题、讨论题、推理题、实际应用题等习题在作业中的分量，使学生在掌握各种基本知识和基本技能的同时，提高自身的综合能力。当然，布置作业是一回事，学生能否认真完成作业，是预期目标能否实现的关键所在，认真检查和批改作业，是督促学生学习的主要途径，也是教师了解学生理解和掌握所学课程情况的主渠道。必要时，教师可以批改一部分作业，其他作业让同学们之间互相检查和批改，不仅可以督促学生学习，更能让学生在批改其他同学作业时逐步认识到自身的缺陷和不足，以备今后更有针对性地学习。

教师在作业检查和批改过程中发现的主要问题和疑难以及学生提出的有代表性的问题，有必要安排习题课进行讲解，帮助学生对解决疑难，加深对所知识的理解。对于学生比较争论的问题，可以展开讨论，鼓励学生大胆发言，培养学生探索未知的精神和创造性解决实际问题的能力。

因此，上好离散数学课，关键是根据学生具体实际，有针对性地安排教学内容，合理使用教学方式方法，最大限度地激发学生的学习兴趣，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，达到教与学和谐。

参考文献

[1] 屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].北京:高等教育出版社.2008.

[2] 黄巍，金国祥.”离散数学”课程教学改革的探讨[J].中国电力教育，2009(8):82-83.